¡Descarga Matemáticas I: Producto escalar, norma de un vector, distancia y vectores ortogonales - Pr y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!
Matem`atiques I
Pau Artis´o
- Espai euclidi`a (R
n , +, ·, ×)
2.1 Producte escalar
Donats ¯u = (u 1 , u 2 ,... , un) i ¯v = (v 1 , v 2 ,... , vn)
Definirem el producte escalar de ¯u · v¯ =
u 1
u 2
. . .
un
v 1
v 2
. . .
vn
= u 1 · v 1 + u 2 · v 2 + · · · + un · vn
Propietat Commutativa: u¯ · ¯v = ¯v · u¯
Propietat Distributiva: u¯ · (¯v + ¯w) = ¯u · ¯v + ¯u · w¯ o λ · (¯u · v¯) = (λ · u¯) · ¯v
2.2 Norma d’un vector (R
n , +, ·, ×)
Donat un vector ¯u = (u 1 , u 2 ,... , un) de R
n anomenarem norma dels vector ¯u a l’arrel
quadrada de la suma de les seves components al quadrat.
‖u¯‖ = +
u
2 1 +^ u
2 2 +^ · · ·^ +^ u
2 n = +
¯u · u¯
Propietats:
©^1 : ‖u¯‖ ≥ 0 i ‖u¯‖ = 0 ↔ ¯ 0
© 2 : ‖λ · u¯‖ = |λ| · ‖u¯‖
© 3 : ‖u¯ + ¯v‖ ≤ ‖u¯‖ + ‖v¯‖
© 4 : ¯u · v¯ = ‖u¯‖ · ‖v¯‖ · cos α
2.3 Dist`ancia
Sigui ¯u, ¯v ∈ R
n anomenarem dist`ancia de ¯u a ¯v a la norma de la resta de dos vectors.
d (¯u, v¯) = ‖u¯ − ¯v‖
©^1 : d (P, Q) = d (Q, P )
© 2 : d (P, Q) ≥ 0
©^3 : d (P, Q) = 0 ↔ P = Q
© 4 : d (P, Q) ≤ d (P, R) + d (R, Q)
2.4 Vectors ortogonals
Dos vectors ¯u i ¯v s´on ortogonals si formen angle recte. (´es a dir α = 90
◦ )
¯u ⊥ v¯ → u¯ · v¯ = 0
2.5 Base ortogonal i base ortonormal
Direm que una base ´es ortogonal quan els seus vectors s´on perpendiculars dos a dos.
Direm que una base ´es ortonormal quan ´es ortogonal i tots els seus vectors s´on uni-
taris (la seva norma ´es igual a 1).
Per a saber si dos vectors s´on ortogonals fem el producte escalar de vectors ja que:
cos α =
¯u·¯v ‖¯u‖·‖v¯‖
si ¯u · ¯v = 0 → α = arccos (0) → α = 90
◦
Ex:
Per a quins valors de k {( 1 , −k, k) ; ( 2 , k, 3 ) ; (−2k, k, 0 )} s´on una base ortogonal?
Hem de mirar si s´on base i si s´on ortogonals dos a dos.
Per a saber si s´on base primer hem de calcular el determinat format pels tres vectors
del conjunt i veure quan no sera 0 ja que sera quan els vectors no ser´an linealment
independents i, per tant, no ser`an base.
2.6 Nocions topologiques basiques
Bola oberta: Donat a ∈ R i r > 0 anomenarem bola oberta de centre a i radi r al
conjunt de nombres tals que la dist`ancia de a a x sigui m´es petita que r.
B (a, r) = {x ∈ R
n | d (a, x) < r}
Frontera d’un conjunt: Donat un conjunt A ⊆ R
n , direm que a ´es un punt frontera
d’A si tota bola oberta de centre a t´e punts del conjunt i punts del complementari (A).
Es denota F r(A)
Conjunt obert i tancat: Sigui A ⊆ R
n direm que A ´es un conjunt
Obert en R
n si F r(A) ∩ A = ∅
Tancat en R
n si F r(A) ⊆ A
Propietat: Si A ´es obert ↔ A ´es tancat
F r(A) = F r(A)
Conjunt acotat, compacte i convex: Sigui A ⊆ R
n direm que A ´es un conjunt
Acotat en R
n si existeix una bola B(a, r)|A ⊂ B(a, r)
Es a dir que no tendeix al infinit cap a cap de les dues bandes.´
Compacte en R
n si ´es tancat i acotat.
Convex en R
n si ∀a, b ∈ A → ab ⊂ A.
2.7 Formes quadr`atiques
Forma quadratica: Sigui A una matriu simetrica, A = A
t on A ´es una matriu qua-
drada d’ordre n, la forma quadr`atica associada a la matriu A ´es la funci´o:
f : R
n → R
n on (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ R
n
f (x 1 , x 2 ,... , xn) = (x 1 , x 2 ,... , xn) · A ·
x 1
x 2
. . .
xn
Ex:
A =
Apliquem : (x 1 , x 2 ,... , xn) · A ·
x 1
x 2
. . .
xn
(x, y, z) ·
x
y
z
(^) = (x, y, z) ·
x − 4 y 2 z
− 4 x 3 y 0
2 x 0 5 z
= x
2
2
2 − 8 xy + 4xz
x
2 xy xz
xy y
2 yz
xz yz z
2
(^) = x^2 + 3y^2 + 5z^2 − 8 xy + 4xz
Ex:
Transforma la funci´o quadr`atica: f : (x, y, z) = 2x
2
2 − 3z
2
3yz
Com que dos elements de la matriu tenen les variables xy i uns altres dos yz els
coeficients que multipliquen aquestes variables els dividirem entre 2.
f : (x, y, x) =
3 2
3 2
√ 3 2
0
√ 3 2
ii. Calcula el signe de la forma quadr`atica de la funci´o anterior restringida al
subespai:
S = {(x, y, z) ∈ R‖x + y − z = 0 }
A¨ıllem una inc`ognita i substitu¨ım a la funci´o.
x + y − z = 0 → z = x + y → f (x, y, z) = 3x
2
2
2 − 2 xy + 4x · (x + y) =
3 x
2
2
2
2 − 2 xy + 4x
2
2
2
Transformem la funci´o en matriu
i ara calculem els menors principals.
M P 1 = {| 9 |, | 3 |} = { 9 , 3 } > 0
M P 3 =
Per tant la funci´o ´es definida positiva, si que canvia el signe.
Ex:
Per a quins valors del parametre k la forma quadratica f ´es definida positiva?
f (x, y, z) = 5x
2
2
2 − 2xy + 8yz
Transformem la funci´o en matriu
(^) i ara calculem els menors principals.
M P 1 = {| 5 |, | 8 |, |k|} = { 5 , 8 , k} → M P 1 > 0 si k > 0
M P 2 =
4 k
0 k
= {| 39 , 8 k − 16 , 5 k|} → M P 2 > 0 si
8 k − 16 > 0 → M P 2 > 0 si k > 2
M P 3 =
0 4 k
= { 39 k − 80 } → M P 3 > 0 si 39k − 80 > 0 → M P 3 > 0 si
k >
80 39
Per tant la funci´o ´es definida positiva per a k >
80 39
Ex:
Una empresa del sector tur´ıstic vol oferir aquest any nom´es 3 packs de viatges.
Segons un estudi de mercat el benefici que obtindr`a en la venta dels 3 packs
ve definida per:
B (x, y, z) = 3x
2
2
2
on x, y i z representen les quantitats anuals venudes de cadascun dels 3 packs.
Verifiqueu que amb aquestes hip`otesis ´es impossible que l’empresa pugui tenir
p`erdues.
Transformem la funci´o en matriu
(^) i ara calculem els menors principals.
M P 1 = {| 3 |, | 4 |, | 3 |} = { 3 , 4 , 3 } > 0
M P 2 =
M P 3 =
Per tant la funci´o ´es definida positiva i l’empresa mai tindra perdues.
