Selectivitat amb v´ıdeos
Matem`atiques
Batxillerat cient´ıfic - tecnol`ogic
Recull de problemes per la preparaci´o de la selectivitat
solucionats en format v´ıdeo
———
Catalunya
Actualitzat: Setembre 2021
Autor:
Bogdan Crintea
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
tot el temari resumit de selectivitat
Tipo: Exámenes
2021/2022
1 / 27
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga matematiques cientific y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Selectivitat amb v´ıdeos
Matem`atiques
Batxillerat cient´ıfic - tecnol`ogic
Recull de problemes per la preparaci´o de la selectivitat
solucionats en format v´ıdeo
Catalunya
Actualitzat: Setembre 2021
Autor:
Bogdan Crintea
´Index
- 1 Matrius
- 2 Sistemes d’equacions lineals
- 3 Geometr´ıa anal´ıtica R^3
- 4 An
alisi matematica - 5 Optimitzaci´o
- 6 C`alcul integral
Matem`atiques - Proves PAU Bogdan Crintea
- (Juny 2020 - S`erie 1) Sigui la matriu:
A =
(a) Trobeu la matriu X que satisfa l’equaci´o AX = I − 3 X en que I ´es la matriu identitat d’ordre 2. (b) Comproveu que la matriu X ´es invertible i calculeu-ne la matriu inversa.
Soluci´o: https://youtu.be/kwxBOPIONu
- (Juny 2020 - S`erie 3) Sigui la matriu:
A =
0 a 1
en que a ´es un parametre real.
(a) Determineu el rang de la matriu A en funci´o del par`ametre a. (b) Comproveu que det(A^2 + A) = 0
Soluci´o: https://youtu.be/qJeEGbmMeJM
- (Setembre 2019 - S`erie 5) Siguin les matrius:
A =
B =
(a) Calculeu A · B i B · A. (b) Justifiqueu que si el producte de dues matrius quadrades no nul·les t´e per resultat la matriu nul·la, aleshores el determinant de totes dues matrius ha de ser zero.
Soluci´o: https://youtu.be/LcejNBCt9h
- (Juny 2019 - S`erie 1) Sigui la matriu M =
1 a a 0
en que a ´es un parametre real.
Matem`atiques - Proves PAU Bogdan Crintea
(a) Calculeu per a quins valors del parametre a se satisfa la igualtat M 2 − M − 2 I = 0, en qu`e I ´es la matriu identitat i 0 ´es la matriu nul·la totes dues d’ordre 2. (b) Fent servir la igualtat de l’apartat anterior, trobeu una expressi´o general per a calcular la inversa de la matriu M i, a continuaci´o, calculeu la inversa de M per al cas a =
Soluci´o: https://youtu.be/XIuCctrlz_I
- (Juny 2018 - S`erie 1) Siguin les matrius:
M =
t 2
N =
− 1 t 2 1 0 − 1
(a) Calculeu M · N i comproveu que la matriu resultant no ´es inver- tible. (b) Trobeuels valors de t per als quals la matriu N · M ´es invertible.
Soluci´o: https://youtu.be/FloQh09IMtM
- (Juny 2017 - S`erie 1) Considereu les matrius quadrades d’ordre 2 de la forma: M =
x − 1 y^2 + 1 x
amb x, y nombres reals.
(a) Comproveu que la matriu M ´es sempre invertible, independent- ment dels valors de x i de y. (b) Per a x = 1, i y = −1, calculeu M −^1.
Soluci´o: https://youtu.be/YzOzSXgCxNI
- (Juny 2017 - S`erie 5) Considereu la matriu:
(a) Calculeu les pot`encies A^2 , A^3 i A^6. (b) Calculeu la inversa de la matriu A^5.
Soluci´o: https://youtu.be/Q9dbN9393uI
Matem`atiques - Proves PAU Bogdan Crintea
- (Juny 2020 - S`erie 3) Considereu el sistema d’equacions lineals seg¨uents: (^)
ax + y = a x + ay + z = 5 x + 2y + z = 5
(a) Discutiu el sistema per als diferents valors del par`ametre a. (b) Resoleu el sistema per al cas a = 2.
Soluci´o: https://youtu.be/cIjcL7Xm7pI
- (Juny 2019 - S
erie 1) Considereu el sistema d’equacions lineals seg¨uent, que depen del par`ametre real k:
x + 3y + 2z = − 1 x + k^2 y + 3z = 2k 3 x + 7y + 7z = k − 3
(a) Discutiu el sistema per als diferents valors del par`ametre k. (b) Resoleu el sistema per al cas k = −1.
Soluci´o: https://youtu.be/E2MK6gK3NnA
- (Juny 2019 - S
erie 4) Considereu el sistema d’equacions lineals seg¨uent, que depen del par`ametre real a:
ax + 7y + 5z = 0 x + ay + z = 3 y + z = − 2
(a) Discutiu el sistema per als diferents valors del par`ametre a. (b) Resoleu el sistema per al cas a = 2.
Soluci´o: https://youtu.be/365m7dLfVWs
- (Juny 2018 - S
erie 1) Uns estudiants de batxillerat han programat un full de calcul que dona la soluci´o d’un sistema d’equacions compatible determinat de manera automatica, com el de la figura seg¨uent (seg¨uent pagina):
Matem`atiques - Proves PAU Bogdan Crintea
(a) Escriviu el sistema i comproveu que els valors proposats com aso- luci´o s´on correctes. (b) Quin valor s’hauria de posar enlloc del 2 que esta emmarcat en la imatge, corresponent a la cel·la E8 (a 33 de la matriu de coefici- ents), perque el sistema fos incompatible?
Soluci´o: https://youtu.be/2T8seeBsbjs
Figura 2.1: Figura de l’exercici 5
- (Juny 2017 - S
erie 1) Considereu el sistema d’equacions lineals seg¨uent, que depen del par`ametre real λ:
λx + y − z = 0 y + z = 10 2 λx − y + 5λz = 30 (a) Estudieu per a quins valors del par`ametre λ el sistema ´es incom- patible. (b) Resoleu el sistema per al cas λ = 1.
Soluci´o: https://youtu.be/CWucOPEJ1r
- (Juny 2017 - S`erie 1) Sabem que el sistema d’equacions seg¨uent t´e una ´unica soluci´o: (^)
x + ay = 1 x + az = 1 y + z = a
Cap´ıtol 3
Geometr´ıa anal´ıtica R
- (Juny 2021 - S`erie 2) Considereu el punt P (− 1 , 3 , 1), el pla π : x = y i la recta r :
x − 1 2
y 3
= z − 2
(a) Trobeu les coordenades del punt P ′^ sim`etric a P respecte al pla π. (b) De tots els plans que contenen la recta r, trobeu l’equaci´o carte- siana del que ´es perpendicular al pla π.
Soluci´o: https://youtu.be/0CUBkl981-s
- (Setembre 2020 - S`erie 4) Un avi´o es despla¸ca des d’un punt A de coordenades (0, 3 , 1) cap a una plataforma plana d’equaci´o π : x − 2 y + z = 1 seguint una recta r paral·lela al vector v = (1, − 1 , 0).
(a) Calculeu les coordenades del punt de contacte B de l’avi´o amb el pla i la dist`anciarecorreguda. (b) Calculeu l’equaci´o general del pla perpendicular a la plataforma i que cont´e a la recta r seguida per l’avi´o des del punt A.
Soluci´o: https://youtu.be/ivHI00eLBrI
- (Setembre 2020 - S`erie 4) Siguin les rectes r i s:
r :
x − 3 2
= y = z − 1 s : (μ, −μ, μ)
Matem`atiques - Proves PAU Bogdan Crintea
(a) Determineu la posici´o relativa de les rectes (b) Calculeu la dist`ancia entre la recta r i la recta s.
Soluci´o: https://youtu.be/fJy1lqJDhNw
- (Juny 2020 - S`erie 1) Responeu les q¨uestions seg¨uents:
(a) Calculeu l’equaci´o general del pla π que passa pel punt (8, 8 , 8) i t´e vectors directors u = (1, 2 , −3) i v = (− 1 , 0 , 3). (b) Determineu el valor del parametre a perque el punt (1, − 5 , a) per- tanyi al pla π i calculeu l’equaci´o param`etrica de la recta que passa per aquest punt i ´es perpendicular al pla π.
Soluci´o: https://youtu.be/l5mgfb_coqU
- (Juny 2020 - S`erie 3) Considereu la recta r d’equaci´o
x − 1 2
y − 3 − 2
z 1
i la recta s que passa pel punt P (2, − 5 , 1) i que t´e per vector director (− 1 , 0 , −1).
(a) Estudieu la posici´o relativa de les rectes r i s. (b) Calculeu l’equaci´o general del pla que ´es paral·lel a la recta r i cont´e la recta s.
Soluci´o: https://youtu.be/3qWmA3O4wCo
- (Setembre 2019 - S`erie 5) Considereu la matriu:
A =
1 0 a − 1 1 a 1 4 3 a 1
en que a ´es un parametre real.
(a) Trobeu els valors del par`ametre a per als quals la matriu ´es inver- tible.
Matem`atiques - Proves PAU Bogdan Crintea
(a) Calculeu l’equaci´o parametrica de la recta que ´es perpendicular al pla π i que el talla en el mateix punt en que el talla la recta r. (b) Trobeu els punts de r que estan a una dist`ancia de
8 unitats del pla π.
Nota: Podeu calcular la dist`ancia d’un punt de coordenades (x 0 , y 0 , z 0 ) al pla d’equaci´o Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressi´o:
|Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D| √ A^2 + B^2 + C^2
Soluci´o: https://youtu.be/b5OddHzYujg
- (Juny 2019 - S
erie 4) Considereu els plans π 1 : 2x + ay + z = 5, π 2 : x + ay + z = 1 i π 3 : 2x + (a + 1)y + (a + 1)z = 0, en que a ´es un par`ametre real.
(a) Estudieu per a quins valors del parametre a els tres plans es tallen en un punt. (b) Comproveu que per al cas a = 1 la interpretaci´o geometrica del sistema format per les equacions dels tres plans ´es la que es mostra en la imatge seg¨uent:
Soluci´o: https://youtu.be/3TJQegG2YyU
- (Juny 2018 - S`erie 1) Sigui rla recta que passa pels punts A = (0, 1 , 1) i B = (1, 1 , –1).
(a) Trobeu l’equaci´o param`etrica de la recta r.
Matem`atiques - Proves PAU Bogdan Crintea
(b) Calculeu tots els punts de la recta rque estan a la mateixa dist`ancia dels plans: π 1 : x + y = − 2 π 2 : x − z = 1
Nota: Podeu calcular la dist`ancia d’un punt de coordenades (x 0 , y 0 , z 0 ) al pla d’equaci´o Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressi´o:
|Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D| √ A^2 + B^2 + C^2
Soluci´o: https://youtu.be/as78mTpH-Kc
- (Juny 2018 - S`erie 1) Considereu els punts P = (3, − 2 , 1), Q = (5, 0 , 3), R = (1, 2 , 3) i la recta:
r :
x + y + 1 = 0 2 y + 3z − 5 = 0
(a) Determineu l’equaci´o general (´es a dir, la que t´e la forma Ax + By + Cz = D) del pla que passa per P i Q i ´es paral·lel ala recta r. (b) Donats el pla x + 2y + mz = 7 i el pla que passa per P , Q i R, trobeu m perqu`e siguin paral·lelsi no coincidents.
Soluci´o: https://youtu.be/ZqevPG4XbVg
- (Juny 2017 - S`erie 1) Considereu els plans π 1 : 5x − y − 7 z = 1 i π 2 : 2x + 3y + z = 5
(a) Determineu l’equaci´o general (´es a dir, la que t´e la forma Ax + By + Cz = D) del pla que passa per l’origen de coordenades i ´es perpendicular als plans π 1 i π 2. (b) Calculeu l’angle que formen els plans π 1 i π 2.
Soluci´o: https://youtu.be/9H8hIrKTytc
- (Juny 2017 - S`erie 5) Siguin les rectes de R^3 :
r :
2 x − y = 1 y − 2 z = 0
s : x + 1 =
y − 2 2
= z − 1
Cap´ıtol 4
Analisi matematica
- (Juny 2021 - S`erie 2) Considereu la funci´o f (x) = ex−^1 − x − 1
(a) Estudieu-ne la continu¨ıtat, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement. (b) Demostreu que l’equaci´o f (x) = 0 t´e exactament dues solucions entre x = –1 i x = 3.
Soluci´o: https://youtu.be/gvmY3TP1_pk
- (Juny 2020 - S`erie 1) Considereu la funci´o f (x) =
ax^2 + b x
en que a i b s´on dos parametres reals. Calculeu els valors de a i b de manera que la funci´o f (x) tingui una as´ımptota obliqua de pendent 1 i un m´ınim en el punt de la gr`afica amb abscissa x = 2.
Soluci´o: https://youtu.be/Vubm0645d5Q
- (Setembre 2019 - S`erie 5) Considereu la funci´o f (x) =
1 + x^2
(a) Calculeu l’equaci´o de la recta tangent a la grafica en aquells punts en quela recta tangent ´eshoritzontal. (b) Calculeu les coordenades del punt de la grafica de la funci´o f (x) en que el pendent de la recta tangent ´es m`axim.
Soluci´o: https://youtu.be/j39mjvYxdZA
Matem`atiques - Proves PAU Bogdan Crintea
- (Setembre 2020 - S
erie 4) Sigui f (x) una funci´o derivable la grafica de la qual passa pel punt (0, 1). La gr`afica de la seva derivada, f ′(x),´es la que es mostra en la figura:
(a) Calculeu l’equaci´o de la recta tangent a la grafica de la funci´o f (x) en elpunt de la grafica d’abscissa x = 0. (b) Trobeu els punts singulars de la funci´o i classifiqueu-los.
Soluci´o: https://youtu.be/-1R4wwo804U
- (Juny 2019 - S`erie 1) Considereu la funci´o f (x) =
2 x^3 − 5 x + 4 1 − x
(a) Calculeu-ne el domini i estudieu-ne la continu¨ıtat. T´e cap as´ımptota vertical?
(b) Observeu que f (−2) = −
, f (0) = 4 i f (2) = −10. Raoneu si, a partir d’aquesta informaci´o, podem deduir que l’interval (− 2 , 0) cont´e un zero de la funci´o. Podem deduir-ho per a l’interval (0, 2)? Trobeu un interval determinat per dos enters consecutius que con- tingui, com a m´ınim, un zero d’aquesta funci´o.
Soluci´o: https://youtu.be/GFoD1HMf0HA
Cap´ıtol 5
Optimitzaci´o
- (Juny 2021 - S
erie 2) Considereu la parabola y = 4 − x^2 i un valor a > 0.
(a) Comproveu que l’equaci´o de la recta tangent a la grafica de la parabola en el punt d’abscissa x = a ´es y = –2ax + a^2 + 4 i calculeu els punts de tall d’aquesta recta tangent amb els eixos de coordenades. (b) Calculeu el valor de a > 0 perque l’area del triangle determinat per aquesta recta tangent i els eixos de coordenades sigui m´ınima.
Soluci´o: https://youtu.be/vifk8M3GPTQ
- (Setembre 2020 - S
erie 4) Una empresa esta treballant en el disseny d’unes capsules de cafe. L’empresa ha constru¨ıt la secci´o transversal de les capsules inscrivint-la en una semicircumferencia de radi 1, tra¸cant una corda CD paral·lela al diametre AB i incorporant el punt E en el punt mitja de l’arc CD. D’aquesta manera queda tra¸cat elpent`agon ACEDB, tal com es mostra enla figura.
(a) Expresseu en funci´o de x i h l’area del pentagon ACEDB. (b) Quina ha de ser la distancia (indicada a la figura per h) a que s’ha de situar la corda CD de AB per tal que l’area del pentagon ACEDB sigui m`axima?
Soluci´o: https://youtu.be/Ti1q39mYJDI
Matem`atiques - Proves PAU Bogdan Crintea
Figura 5.1: Figura de l’exercici 2
- (Juny 2020 - S`erie 1) Tracem la recta tangent a la funci´o:
f (x) =
x^2
per un punt P (a, f (a)) del primer quadrant. Aquesta recta juntament amb els eixos de coordenades formen un triangle.
(a) Comproveu que l’`area d’aquest triangle, en funci´o d’a, ve donada per la funci´o: g(a) =
(a^2 + 3)^2 4 a (b) En quin punt P l’`area del triangle ´es m´ınima? Calculeu aquest valor m´ınim.
Soluci´o: https://youtu.be/-vrOSp9sRZQ