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calculo de varias variables limites, integrales dobles y triples.
Tipo: Apuntes
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Edición ALPHA
Créditos de Edición: Prof. Soveny Soraya Solís García Estudiante Darla Burgos
Mayo de 2016 Guayaquil-Ecuador
En el estudio de las funciones de varias variables es imprescindible que el estu- diante interprete correctamente el sistema de referencia espacial, puesto que algunas grá cas de estas funciones se representan en este sistema. A su vez, una región de integración puede estar determinada por grá cas de super cies las cuales se convier- ten en los límites de integrales triples. Entre otras cosas, la capacidad de visualizar en tres dimensiones es fundamental en la formación de un ingeniero.
Respecto a la notación, se usará una letra mayúscula seguida de las coordenadas, para de nir puntos: P (2, 1 , 1); Letras minúsculas seguidas del signo igual y de las coordenadas para de nir vectores: v = (2, 3 , −1) ó v = 2i + 3j − k.
Dados dos puntos P 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), se de ne el vector entre ellos, con punto inicial P 1 y punto terminal P 2 , como: − P− 1 →P 2 = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ).
Lo conocemos como el sistema de referencia espacial formado por tres rectas perpendiculares entre sí, llamadas ejes coordenados. El punto donde se intersecan se
denomina origen de coordenadas O. La convención es gra carlos de tal forma que el I octante sea visible, como lo ilustra la gura 1.1. Los nombres de los ejes pueden ser cambiados pero generalmente el plano XY se lo relaciona con el piso y el eje Z con la altura respecto a éste.
Figura 1.
En general, un punto P de coordenadas (x, y, z) es un punto que se gra ca partiendo desde O, luego recorre x unidades paralelas al eje X, desde aquí recorre y unidades paralelas al eje Y y desde aquí recorre z unidades paralelas al eje Z. En el recorrido debe respetarse el signo de las coordenadas. Otra forma de gra car el punto es como la intersección de tres planos paralelos a los coordenados, así:
La coordenada x indica un plano paralelo al plano Y Z. La coordenada y indica un plano paralelo al plano XZ. La coordenada z indica un plano paralelo al plano XY.
De aquí, podemos decir que un plano es paralelo a uno de los planos coordenados, cuando una de las variables es ja, según corresponda a uno de los casos precedentes. Por otra parte, aunque no se haya visto todavía la de nición formal de una recta en es espacio, es importante observar las siguientes características:
Todo punto del eje X es de la forma (x, 0 , 0) y toda recta paralela a este eje tiene puntos de la forma (x, y 0 , z 0 ) donde y 0 y z 0 son constantes. Estas constantes representan el punto donde la recta penetra en el plano Y Z.
Figura 1.
Con estas ecuaciones podemos obtener un punto de la recta dando a t un valor real arbitrario. Inversamente, podemos conocer si un punto dado pertenece a la rec- ta, esto es, si las ecuaciones paramétricas tienen solución para algún t ∈ R.
Ejemplo 1.3.1 Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene el punto P 0 (− 1 , 2 , 4) y es paralela al vector d = (2, 0 , −2). Luego, determine si el punto (3, − 1 , 1) pertenece a esta recta.
Una observación del vector director es que este puede ser reemplazado por cual- quier múltiplo no nulo de el. En el ejemplo anterior, se pudo haber utilizado el vector d = (1, 0 , −1) ó d = (− 1 , 0 , 1) ó d = (3, 0 , −3), etc. En este caso, los valores de los parámetros cambian dependiendo del punto que queremos obtener, sin embargo el conjunto de puntos es el mismo.
De lo expuesto, para rectas paralelas a los ejes coordenados, es su ciente consi- derar el vector director igual a los unitarios i = (1, 0 , 0), j = (0, 1 , 0) y k = (0, 0 , 1), respectivamente.
Por otra parte, rectas que son paralelas a los planos coordenados tienen una coordenada ja, lo cual implica que el vector director tiene nula la coordenada co- rrespondiente.
De estos ejemplos se concluye que las ecuaciones paramétricas son aplicables a todo tipo de recta. No obstante, existen otro tipo de ecuaciones que también se em- plean para representar una recta, las cuales se denominan ecuaciones simétricas.
En el supuesto que: a, b, c 6 = 0, x^ − a^ x^0 = y^ − b^ y^0 = z^ − c^ z^0 , representan las ecua- ciones simétricas de la recta que contiene al punto P 0 y es paralela a la dirección d = (a, b, c).
Si alguno de los valores a, b, c es nulo (claro está que no todos a la vez), las ecua- ciones simétricas se presentan de manera incompleta. Otra observación respecto a estas ecuaciones, es que para reconocer el vector director, el numerador debe estar normalizado, esto es, el coe ciente de cada variable es 1.
Ejemplo 1.3.2 Escriba las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que contiene los puntos P (1, 2 , 3) y Q(0, 2 , −1)
En el espacio las rectas pueden ser:
Paralelas, si y sólo si sus vectores directores son paralelos. A su vez, podemos tener el caso de paralelas coincidentes o paralelas no coincidentes.
Perpendiculares, si y sólo si sus vectores directores son perpendiculares.
Secantes, si y sólo si tienen un punto en común.
Alabeadas, si y sólo si no son paralelas ni secantes.
Las dos primeras condiciones son inmediatas, identi cando los vectores directores de ambas rectas. Para la coincidencia de las rectas paralelas, basta tomar un punto de una de ellas y veri car que éste pertenece a la otra.
Figura 1.
De aquí se deduce que P ∈ π si y sólo si a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0, con lo cual se obtiene la ecuación general del plano que contiene a P 0 y es normal a la dirección n = (a, b, c), dada por:
ax + by + cz + d = 0; donde la constante d se determina con P 0.
Para obtener un punto del plano se debe dar valores arbitrarios a dos de las coor- denadas, es decir, un plano tiene dos grados de libertad. Por otra parte, un punto pertenece al plano si y sólo si sus coordenadas satisfacen su ecuación general.
Notar que el término d = 0 si y sólo si el plano contiene al origen de coordenadas.
Ejemplo 1.4.1 Determine la ecuación general del plano que contiene al punto P 0 (3, 1 , 1) y es normal a la dirección de nida por:
a. P 1 (3, 1 , 4) y P 2 (0, 2 , 1).
b. El eje X.
Paralelos, si y sólo si sus vectores normales son paralelos. A su vez, podemos tener el caso de paralelos coincidentes o paralelos no coincidentes. Perpendiculares, si y sólo si sus vectores normales son perpendiculares.
Secantes, si y sólo si tienen una recta en común.
Obs. En el espacio se cumple que si dos planos no son paralelos entonces son secantes.
Las dos primeras condiciones son inmediatas, identi cando los vectores normales de ambos planos. Para la coincidencia de dos planos paralelos basta observar que sus ecuaciones con equivalentes (todos los coe cientes son múltiplos entre sí).
Para la condición de secantes, es necesario veri car que no son paralelos y la rec- ta común se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones que forman las ecuaciones generales de los dos planos.
Otra forma de determinar el vector director de la recta común es con el produc- to vectorial de los vectores normales. Para un punto de la recta se toma un punto común a ambos planos.
Cuando los planos son secantes, es de interés conocer la medida del ángulo que forman entre sí, el cual es igual a la medida del ángulo que forman sus vectores normales.
Ejemplo 1.4.2 Dados los planos π 1 : 2x − y + 3z = 2; π 2 : x − y − z = 0, determine si son paralelos, perpendiculares o secantes. En caso de ser secantes, determina la recta intersección y la medida del ángulo entre ellos.
Todo plano posee al menos un intercepto o una traza con alguno de los ejes o planos coordenados, respectivamente. El intercepto o la traza correspondiente resul- ta de intersecar el plano con el eje o plano coordenado respectivo.
b. L 1 :
x = 6t y = − 4 − 4 t z = 3 − 2 t
; t ∈ R; L 2 :
x = 1 + 3u y = 1 − 2 u z = 1 − u
; u ∈ R.
Ejemplo 1.4.6 Determine de ser posible la ecuación general del plano que contiene a la recta L :^2 x^4 − 1 =^2 − 3 y=^4 − 2 2 z y al punto (1, 1 , −1).
1.5. Distancias con puntos, rectas y planos
Teorema 1.5.1 (Distancia de un punto a un plano) Sea el plano π con ecua- ción general ax + by + cz + d = 0. Sea P 0 ∈ R^3. Entonces la distancia de P 0 a π, está dada por:
d(P 0 , π) = |^ ax^0 √^ +a^2 by (^) +^0 b+ 2 cz+ 0 c^2 +^ d^ | Demostración:
Tomando un punto arbitrario Q ∈ π, de namos el vector − P− 0 →Q (ó su inverso aditivo). La distancia de P 0 a π es el valor absoluto de la proyección escalar de − P− 0 →Q sobre el vector normal de π.
Figura 1. Algunas aplicaciones de este teorema son:
Distancia entre dos planos paralelos. Si los planos no son paralelos la distancia no está de nida entre ellos. Distancia entre una recta paralela a un plano. Si la recta es secante al plano, la distancia no está de nida. Lugares geométricos.
Ejemplo 1.5.1 Determine de ser posible, la distancia entre los planos π 1 : 3x − y + 2z − 6 = 0 y π 2 : 6x − 2 y + 4z + 4 = 0.
Ejemplo 1.5.2 Determine de ser posible, la distancia de la recta L :
x = 4 + t y = −6 + 8t z = 7 − 3 t
t ∈ R, al plano π : − 2 x + y + 2z + 4 = 0.
Teorema 1.5.2 (Distancia de un punto a una recta en el espacio) Sea L una recta de R^3 con vector director d. Sea P 0 ∈ R^3. Entonces la distancia de P 0 a L está dada por:
d(P 0 , L) = ‖
− P− 0 →Q × d‖ ‖d‖ ; donde Q ∈ L es arbitrario.
Demostración: Tomando un punto arbitrario Q ∈ L, de namos al vector de enlace − P− 0 →Q (ó su inverso aditivo). La distancia de P 0 a L es la longitud h del cateto opuesto al ángulo que forman el segmento P 0 Q y el vector director d.
Figura 1.
De nición 1.6.1 (Super cie Cuadrática) Una super cie cuadrática de R^3 es el conjunto de puntos P (x, y, z) que satisfacen una ecuación de la forma: ax^2 +by^2 +cz^2 +dxy +exz +f yz +gx+hy +iz +j = 0; con los coe cientes elementos de R y a, b, c no todos nulos.
Mediante un proceso de rotación de ejes principales, conocido del álgebra lineal, se puede obtener una ecuación equivalente de la super cie de la forma:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dx + Ey + F z + E = 0,
la cual puede representar una super cie degenerada (un punto, par de rectas, con- junto vacío, etc.) o alguna de las siguientes super cies. En cada una de ellas, diremos que los cortes son planos paralelos a los planos coordenados, representan conjuntos de nivel de la super cie.
Esfera: (x − h)^2 + (y − k)^2 + (z − l)^2 = R^2 ; (h, k, l) es el centro de la esfera y R es la longitud del radio. Los conjuntos de nivel pueden ser: circunferencias, puntos o conjuntos vacíos.
Figura 1.
Elipsoide: (x^ −^ h)
2 a^2 +
(y − k)^2 b^2 +
(z − l)^2 c^2 = 1;^ (h, k, l)^ es el centro del elipsoide y a, b, c son las longitudes de los semiejes, respectivamente. Los conjuntos de nivel pueden ser: elipses, puntos o conjuntos vacíos.
Figura 1.
Hiperboloide de una hoja: (x^ −^ h)
2 a^2 +
(y − k)^2 b^2 −^
(z − l)^2 c^2 = 1;^ (h, k, l)^ es el cen- tro del hiperboloide y el signo negativo indica la dirección del eje de simetría; a, b, c son los parámetros de los conjuntos de nivel: elipses o hipérbolas.
Figura 1.
