Transformadas de Laplace: Definición, Propiedades y Aplicaciones, Apuntes de Ecuaciones Diferenciales

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MA 264 EDO & AL

ECUACIONES DIFERENCIALES

Y ÁLGEBRA LINEAL

Unidad 6 TRANSFORMADA DE LAPLACE

MA 264 EDO & AL ¿Para qué estudiar las transformadas de Laplace?

Importancia

GNP:

• Integrales impropias.
• Fracciones parciales Para resolver problemas de valor inicial (PVI) que por ejemplo se presentan en el modelo matemático lineal de un sistema físico, como el de una masa y resorte o de un circuito eléctrico en serie.

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Transformada de Laplace:

• Definición y propiedad de linealidad

• Transformada de la derivada.

• Transformada inversa.

CONTENIDO

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Definición de transformada de Laplace y

propiedad de linealidad

TEMA 1

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Observación importante

Debemos tener presente que por definición: න 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Integral impropia = lim 𝑏→∞

0 𝑏 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

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Ejemplo 1

Determine ℒ 𝑓 𝑡 siendo 𝑓 𝑡 = 1 Solución ℒ 𝑓 𝑡 = න 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 1 𝑑𝑡 = lim 𝑏→∞

0 𝑏 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = lim 𝑏→∞

−𝑠𝑡 −𝑠 0 𝑏 = lim 𝑏→∞

−𝑠𝑏 −𝑠

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Tabla básica de Transformadas de Laplace

𝑛+ 1

𝑎𝑡 1 𝑠 − 𝑎

5. sen(𝑎𝑡)

2

• 𝑎 2

6. cos(𝑎𝑡)

2

• 𝑎 2

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Ejemplo 2

Determine ℒ 2 𝑒 3 −𝑡

• 𝑡 3
• 𝑡 + 1 2 Solución

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Transformada de Laplace de la derivada de una

función

TEMA 2

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TRANSFORMADA DE DERIVADAS

2 ℒ 𝑓(𝑡) − 𝑠𝑓 0 − 𝑓′( 0 ) ℒ 𝑓′′′ 𝑡 = 𝑠 3 ℒ 𝑓(𝑡) − 𝑠 2 𝑓 0 − 𝑠𝑓 ′ 0 − 𝑓′′( 0 ) En general, obtenemos el siguiente resultado: ℒ 𝑓 (𝑛) 𝑡 = 𝑠 𝑛 ℒ 𝑓(𝑡) − 𝑠 𝑛− 1 𝑓 0 − 𝑠 𝑛− 2 𝑓 ′ 0 … − 𝑓 (𝑛− 1 ) ( 0 )

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Transformada de Laplace inversa de una

función

TEMA 3

MA 264 EDO & AL Transformada de Laplace inversa Si ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑠) representa la transformada de Laplace de 𝑓(𝑡), decimos que la Transformada de Laplace inversa es:

− 1

{ F (s)}

Transformada Transformada inversa ℒ 1 = 1 𝑠 1 = ℒ − 1 1 𝑠 ℒ 𝑡 = 1 𝑠^2 𝑡 = ℒ − 1 1 𝑠^2 ℒ 𝑡 𝑛 = 𝑛! 𝑠𝑛+^1 , 𝑛 ∈ 𝑁 𝑡 𝑛− 1 𝑛 − 1! = ℒ − 1 1 𝑠𝑛^ , 𝑛 ∈ 𝑁 ℒ 𝑒 𝑎𝑡 = 1 𝑠 − 𝑎 𝑒 𝑎𝑡 = ℒ − 1 1 𝑠 − 𝑎 ℒ sen(𝑎𝑡) = 𝑎 𝑠^2 + 𝑎^2 sen(𝑎𝑡) = ℒ − 1 𝑎 𝑠^2 + 𝑎^2 ℒ cos(𝑎𝑡) = 𝑠 𝑠^2 + 𝑎^2 cos(𝑎𝑡) = ℒ − 1 𝑠 𝑠^2 + 𝑎^2

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Propiedad de linealidad

La transformada inversa de Laplace es una TRANSFORMACIÓN LINEAL.

− 1

− 1

− 1

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Determine ℒ

− 1 −3𝑠− 5 𝑠 2

• 4

Solución:

ℒ − 1 𝑎 𝑠 2

• 𝑎 2 = sen(𝑎𝑡) ℒ − 1 𝑠 𝑠^2 + 𝑎^2 = cos(𝑎𝑡)

Ejemplo 6