MILSTD 414
Ventajas
Muestreo por
variables
Muestreo por
atributos
Planes por
atributos
Cameron
MIL STD 105-E
Dodge-Roming
LTPD con c = 0
Muestreo de adaptación
Estadística
Índices de calidad
Múltiple
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Resumen de control de calidad
Tipo: Diapositivas
2019/2020
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MIL STD 105-E
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304 CAPÍTULO 12 Muestreo de aceptación
En las actividades de control de calidad, en ocasiones es necesario inspeccionar lotes de materia prima, así como partes o productos terminados para asegurar que se cumplen ciertos niveles de calidad con un buen grado de confianza. El muestreo de aceptación es el proceso de inspección de una muestra de unidades extraídas de un lote que se realiza con el propósito de aceptar o recha- zar todo el lote. En este capítulo se presentan los conceptos y técnicas de este tipo de muestreo.
Cuándo aplicar el muestreo de aceptación
El muestreo de aceptación se puede aplicar en cualquier relación cliente-provee- dor, ya sea en el interior de una empresa o entre diferentes empresas; se considera una medida defensiva para protegerse contra la amenaza del posible deterioro en la calidad. Una situación típica del muestreo de aceptación es la siguiente: una compañía recibe un lote de materiales o componentes de cierto proveedor, se selecciona una muestra de artículos del lote y se inspeccionan de acuerdo con ciertos criterios de calidad. Con base en la información obtenida en la inspección se tomará una decisión: aceptar o rechazar todo el lote. Si los lotes son aceptados pasan directamente a ser utilizados, pero si el lote es rechazado, entonces es devuelto al proveedor o podría estar sujeto a alguna otra disposición (por ejemplo, inspección de todos los productos del lote —inspección al 100%— pagada por el proveedor). Si los criterios de calidad con los que se inspecciona son variables de atributos del tipo pasa- no pasa, entonces un plan simple de muestreo de aceptación estaría definido por un tamaño de lote, N , un tamaño de muestra, n , y el número de aceptación, c. Por ejemplo el plan:
N = 6 000, n = 200 y c = 2
significa que de un lote de 6 000 unidades se seleccionan e inspeccionan 200; y si entre éstas se encuentran dos o menos piezas defectuosas, entonces el lote completo es aceptado. Pero si aparecen tres o más piezas defectuosas el lote es rechazado. Lo anterior se muestra en el esque- ma de la figura 12.1. Se debe tener claro que el muestreo de aceptación es una forma particular de inspección, en la que simplemente se aceptan y rechazan lotes, pero no mejora la calidad. Es decir, este mues- treo no es una estrategia de mejora de la calidad, sino más bien una estrategia para proporcio- nar cierto nivel de seguridad de que los niveles de calidad con los que se diseña el plan se están alcanzando. Por lo tanto, es una estrategia defensiva ante el posible deterioro de la calidad. Cuando se pretende enjuiciar un lote se tienen tres alternativas: inspección al 100%, cero inspección o muestreo de aceptación. Esta última es una decisión intermedia entre las otras dos alternativas opuestas, y a veces resulta la más económica a nivel global. A continuación expli- camos cuándo se aplica cada una de ellas.
1. Cero inspección (aceptar o mandar el lote sin inspección). Esta alternativa es adecuada cuando se ha demostrado que el proceso que fabricó el lote cumple de manera holgada los niveles de calidad acordados entre el cliente y el provee- dor. También se aplica cero inspección cuando la pérdida global causada por las unidades defectuosas es pequeña en comparación con el costo del muestreo. 2. Inspección al 100%. Consiste en revisar todos los artículos del lote y quitar los que no cumplan con las características de calidad establecidas. Los que no cumplen podrían ser devueltos al proveedor, reprocesados o desechados. La inspección al 100% se utiliza en aquellos casos en que los productos son de alto riesgo y si pasan defectuosos se puede generar una gran pérdida económica. También es útil cuando la capacidad del proceso de fabricación del lote es inadecuada para cumplir las especificaciones. Se pensaría que la inspección al 100%, aunque costosa, es una buena estrategia para garantizar la calidad; sin embargo, esto no es así, pues con este tipo de inspección se corre el riesgo de caer en la monotonía, en mayores errores de inspección y en ocasiones el pro- ducto se daña. Incluso, hay casos en los que debido a los primeros dos problemas de la
Muestreo de aceptación
Es el proceso de inspección de una muestra de unidades de un lote con el propósito de aceptar o rechazar todo el lote.
Cero inspección
Es cuando se acepta o envía un lote sin ninguna inspección.
Inspección al 100%
Consiste en revisar todos los artícu- los del lote para quitar aquellos que no cumplen con las especificacio- nes establecidas.
306 CAPÍTULO 12 Muestreo de aceptación
posición es que se debe poner énfasis en mejorar la calidad y corregir de fondo las causas de la mala calidad; pero en aquellos procesos o productos que no se tengan niveles óptimos de cali- dad, seguirá siendo necesario aplicar estrategias de contención como el muestreo de aceptación.
Tipos de planes de muestreo
Un primer nivel de clasificación de los planes de muestreo de aceptación está en función del tipo de característica de calidad bajo análisis, que puede ser de atributos o por variables conti- nuas. En los planes por variables se toma una muestra aleatoria del lote y a cada unidad se le mide una característica de calidad de tipo continuo (longitud, peso, etc.). Con las mediciones se calcula un estadístico que por lo general está en fun- ción de la media, la desviación estándar muestral y las especificaciones, y al com- parar el valor de tal estadístico frente a un valor de tablas, se aceptará o rechazará todo el lote. Más adelante en la sección “Muestreo de aceptación por variables” se estudiará este tipo de planes. En los planes por atributos se extrae de manera aleatoria una o más muestras de un lote y cada pieza de la muestra es clasificada de acuerdo con ciertos atributos como aceptable o defectuosa; la cantidad de piezas defectuosas es usada para deci- dir si el lote es aceptado o no. En general, los planes más usuales son los de atributos, a pesar de que con los planes por variables se requiere un menor tamaño de muestra para lograr los mis- mos niveles de seguridad. Esta aparente contradicción se puede deber a la tradi- ción, pero también a que en los planes por variables es necesario diseñar un plan para cada característica de calidad. Además, en ocasiones, las mediciones en los planes por variables son más costosas. En cualquier caso se debe evaluar cuál de los dos tipos de planes es más adecuado en una situación en particular.
Muestreo por atributos: simple, doble y múltiple
Los planes por atributos se clasifican como simple, doble o múltiple dependiendo del número de muestras que se toman para llegar a una decisión. Por ejemplo, en el plan de muestreo simple ( n , c ) se toma una muestra de tamaño n , y si en ésta se encuentra c o menos unidades defectuosas, el lote es aceptado, o en otro caso es rechazado. Por su parte, en el plan de muestreo doble se pueden tomar hasta dos muestras para tomar la decisión de aceptar o no. La idea es tomar una primera muestra de tamaño más pequeño que el plan simple para detectar los lotes que son muy bue- nos o los que son muy malos. En los casos que con la primera muestra no se puede decidir, entonces se toma la segunda muestra para llegar a una conclusión defini- tiva. Por ejemplo, un plan doble de la forma N = 3 000, n 1 = 80, c 1 = 1, n 2 = 80, c 2 = 4, significa que: N = tamaño de lote n 1 = tamaño de la primera muestra c 1 = número de aceptación para la primera muestra n 2 = tamaño de la segunda muestra c 2 = número de aceptación para las dos muestras Por lo tanto, del lote de 3 000 piezas se toma una muestra inicial de 80 y, con base en la información aportada por esta primera muestra, se toma una de las siguientes tres decisiones:
1. Aceptar el lote cuando la cantidad de unidades defectuosas sea menor o igual que c 1 = 1. 2. Rechazar el lote cuando el número de piezas defectuosas sea mayor que c 2 = 4. 3. Tomar una segunda muestra de n 2 = 80 unidades cuando no ocurra ninguno de los dos casos anteriores. Si la cantidad de unidades defectuosas en las dos muestras es menor o igual que c 2 = 4, el lote es aceptado; pero si es mayor, el lote es rechazado.
Planes por variables
Es cuando a cada unidad de la muestra se le mide una variable continua y con los datos se calcula un estadístico, que permite recha- zar o aceptar el lote.
Planes por atributos
Cuando cada artículo de la mues- tra se clasifica como conforme o no conforme; la cantidad de no conformes se utiliza para aceptar o rechazar el lote.
Plan de muestreo simple
Plan por atributos en el que se toma una muestra de n artículos y si el número de artículos defec- tuosos es menor o igual que cierto número c el lote se acepta; de lo contrario se rechaza.
Plan de muestreo doble
Plan por atributos en el que se pueden tomar hasta dos muestras para decidir si un lote se acepta o se rechaza.
Formación del lote y selección de la muestra 307
El plan de muestreo múltiple es una extensión del concepto del muestreo doble, donde se toma una muestra inicial considerablemente más pequeña que el plan simple, y si con ella ya se tiene evidencia suficiente para sentenciar el lote la deci- sión que proceda se toma en consecuencia, de lo contrario se toma una segunda muestra y se intenta decidir; pero si esto todavía no es posible se continúa con el proceso hasta tomar la decisión de aceptar o rechazar el lote en la última muestra considerando todos los defectuosos encontrados. Con los planes de muestreo doble y múltiple por lo general se requiere menos inspección que con el simple, pero es más difícil administrarlos. En cuanto a los riesgos, pueden ser diseñados de modo que produzcan resultados equivalentes.
Formación del lote y selección de la muestra
La formación de un lote influye en la eficacia del plan de muestreo de aceptación, por lo que se sugiere atender las siguientes recomendaciones para formar los lotes que serán sometidos a un plan de inspección.
1. Los lotes deben ser homogéneos. Las unidades que forman un lote en particular deben haber sido fabricadas en condiciones similares en cuanto a máquinas, operadores, materia prima, tiempo (fechas), etc. Cuando el lote se forma mezclando unidades de diferentes fuentes, la variación dentro del lote aumenta y el muestreo de aceptación pierde efectividad. Además, la existencia de lotes no homogéneos hace más difícil identificar las causas de los problemas de calidad y con ello será más complicado tomar acciones correctivas para eliminar las causas. 2. Los lotes deben ser formados de manera que no compliquen su manejo durante la inspección. Todos los artículos de los lotes deben ser empaquetados y embarcados con un mínimo de riesgo y de manera que la selección de las unidades de la muestra sea relativamente fácil. 3. Con las reservas del caso, los lotes deben ser tan grandes como sea posible. Esto debido a que en los lotes grandes es necesario inspeccionar, de manera proporcional, menos que en los lotes pequeños; además, los planes que resultan de tamaños de lotes grandes tienen mayor poder para detectar los lotes de mala calidad. Por lo que se tendrá un menor costo y mayor eficacia de la inspección. Sin embargo, esta recomendación puede tener un aumento significativo en los inventarios en procesos y en producto terminado, con el consecuente aumento de los costos y del tiempo de ciclo del proceso. De aquí que la recomendación de referencia sólo se debe aplicar en la medida que no se afecten sensiblemente los aspectos comentados.
Selección de la muestra
Todos los planes de muestreo de aceptación basan su funcionamiento en que las unidades seleccionadas para la inspección son representativas de todo el lote. De aquí que la selección de las unidades que forman la muestra debe hacerse aplican- do un método de muestreo aleatorio (vea Gutiérrez Pulido, 2005). Por ejemplo, si se aplica el método de muestreo aleatorio simple , entonces se asigna un número a cada uno de los N artículos del lote, y al azar se seleccionan n de estos números para determinar qué artículos del lote constituyen la muestra. Para la selección de los números es posible recurrir a una tabla de números aleatorios o a un software estadístico; por ejemplo, en Excel se puede utilizar n veces la función ALEATO- RIO.ENTRE(1 , N). Cuando es difícil numerar, el número seleccionado puede usarse para determinar en qué zona está el artículo a seleccionar. Por ejemplo, el número 482 puede ser la representación de una unidad localizada sobre un cuarto nivel, octava fila y segunda columna. Otra opción es que el inspector divida el lote en estratos o capas y cada estrato en cubos, como se muestra en la figura 12.2; las unidades se toman de manera aleatoria dentro de cada cubo.
Plan de muestreo múltiple Plan por atributos que consiste en una generalización del plan de muestreo doble, donde se pueden extraer dos o más muestras para aceptar o rechazar el lote.
Muestreo aleatorio simple Es cuando los artículos se escogen al azar de manera que cada posible muestra tiene igual oportunidad de resultar seleccionada.
Aspectos estadísticos: variabilidad y curva característica de operación 309
tamaño de lote grande). Con base en esta tabla se obtiene la correspondiente curva CO de la figura 12.3. Por lo tanto, si este plan se aplica a un lote que tenga 2% de artículos defectuosos, entonces la probabilidad de aceptarlo es de 0.6619. En cambio, si el lote tiene 10% de defectuosos ( p = 0.1), la probabilidad de aceptarlo será muy baja (de 0.0137), por lo que con este plan, un lote así casi siempre será rechazado. En general, en la curva CO se tiene un amplio rango de valores de p porque en la práctica no se sabe exactamente la proporción de defectuosos de un lote. Para calcular las probabilidades de aceptación ( Pa ) de la tabla 12.2, y en casos similares, se utiliza la distribución binomial con parámetros n y p (vea el capítulo 3). En específico para un plan ( n , c ), la Pa se obtiene con:
Pa = P (0) + P (1) +…^ + P ( c ); para cada valor de p.
En el caso de la tabla 12.2, como c = 1, entonces se calcula P (0) + P (1). Por ejemplo si p = 0.02, se obtiene que P (0) = 0. y P (1) = 0.3633; por lo tanto, Pa = 0.6619, como se especifica en la tabla 12.2.
Curva CO ideal
Supongamos que se quiere diseñar un plan de muestreo para rechazar todos los lotes que no tengan un nivel de calidad deter- minado. Por ejemplo, supongamos que se quiere rechazar los lotes que tengan una proporción de artículos defectuosos mayor que 1%, y aceptar los que tengan 1% de defectuosos o menos. La curva CO ideal para esta situación se muestra en la figura 12.4, en donde si el porcentaje de defectuosos de un lote es menor a 1%, se está satisfecho con tal calidad y ese lote se acepta con probabilidad 1. Mientras que si la proporción de defectivos de un lote es mayor a 1%, no se está satisfecho con esa calidad y la probabilidad de aceptar es cero, es decir, un lote así se rechaza siempre (con probabilidad 1). Sin embargo, no existe ningún plan de muestreo que tenga esta curva ideal y que sea capaz de hacer una discriminación perfecta entre lotes “buenos” y “malos”. En teoría, la curva CO ideal se puede alcanzar con inspección al 100%, siempre y cuando tal inspección estuviera libre de errores, lo que difícilmente ocurre. De acuerdo con lo anterior, lo más que se puede hacer en la práctica es diseñar planes de muestreo de aceptación que tengan una alta probabilidad de aceptar lotes buenos y una baja probabilidad de aceptar lotes malos. Por ejemplo, con el plan n = 60, c = 1 (vea la tabla 12. y figura 12.3), se tiene una probabilidad de 0.879 de aceptar lotes con una proporción de defectuosos de 1%, y para porcen- tajes menores a este 1% se tienen mayores probabilidades de aceptación. No obstante, aquellos lotes con 4% de defectivo toda- vía tienen una probabilidad de aceptación de 0.3. Por lo tanto, si se quiere un plan más estricto que no permita pasar tan fácil- mente lotes de ese tipo, entonces será necesario diseñar un plan con un tamaño de muestra mas grande, como lo veremos en seguida.
Propiedades de las curvas CO
1. No existe un plan de muestreo que tenga una curva CO ideal , capaz de distinguir perfectamente los lotes buenos de los malos. De esta manera, todo plan de muestreo tiene riesgos de rechazar
Curva CO ideal Aquella que tendría una discrimina- ción perfecta entre lotes “buenos” y “malos”. No existen planes con este tipo de CO.
Proporción de defectuosos ( p )
Probabilidad de aceptación ( Pa )
TABLA 12.2 Probabilidad de aceptación del plan n = 60, c = 1, para diferentes valores de p y suponiendo tamaño de lote grande
■ FIGURA 12.3 Curva CO para el plan n = 60, c = 1 y tamaño de lote grande.
Proporción de artículos defectuosos en el lote ( p )
Probabilidad de aceptar
Pa
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.
n = 60, c = 1
310 CAPÍTULO 12 Muestreo de aceptación
la buena calidad y aceptar la mala. Lo que sí existe son planes que tienen mayor probabilidad de aceptar la buena calidad y de rechazar la mala.
2. Al aumentar el tamaño de muestra y el número de aceptación se obtienen planes que tienen mayor potencia para distinguir la buena calidad de la mala. Esta propiedad queda en evi- dencia en la figura 12.5, en donde se muestran las curvas CO de tres planes de muestreo; note que entre mayor es n más rápido cae la curva, no obstante que el número de aceptación c se mantiene proporcional al tamaño de mues- tra. Entre más rápido caiga la curva, menos probabilidad se tiene de aceptar lotes de mala calidad. Por ejemplo, suponga que un lote con 4% de defectivo se considera de mala calidad, entonces con las tres curvas de la figura 12. se tiene que:
Plan n = 60, c = 1; probabilidad de aceptación 0. Plan n = 120, c = 2; probabilidad de aceptación 0. Plan n = 240, c = 4; probabilidad de aceptación 0.
De esta manera, el último plan sólo dejará pasar 3.5% de los lotes de referencia.
3. El criterio de tamaño de muestra igual a un porcentaje del tama- ño de lote es un mal criterio. Es frecuente encontrar casos en los que el tamaño de muestra se toma igual a cierto porcen- taje del tamaño del lote y el número de aceptación se esta- blece como c = 0. Pero esto no es adecuado, ya que si por ejemplo se tienen lotes de tamaño, N , igual a 300, 500 y 800, el tamaño de muestra se toma igual a cierto porcenta- je del tamaño del lote, 10% por ejemplo, entonces los pla- nes de muestreo resultantes son: N = 300 n = 30 c = 0 N = 500 n = 50 c = 0 N = 800 n = 80 c = 0 En la figura 12.6 se muestran las curvas CO para estos tres planes. De allí se observa que estos tres planes, obteni- dos con el mismo criterio (no estadístico), proporcionan distintos niveles de protección para un mismo nivel de cali- dad en los lotes. Por ejemplo, si los lotes tienen una propor- ción de defectivo de 0.05 (5%), entonces la probabilidad de aceptarlo, Pa , en cada caso es la siguiente: N = 300, Pa = 0.214; N = 500, Pa = 0. N = 800, Pa = 0. 0165 Así, en el primer caso se aceptará 21.4% de los lotes, en el segundo 7.69% y en el último 1.65%. Por lo anterior, obtener el tamaño de muestra igual a un porcentaje del tamaño del lote no tiene el mismo efecto y, por lo tanto, es una forma inadecuada de proceder. 4. Al disminuir el número de aceptación, la curva CO cae más rápi- do y con ello los planes se vuelven más estrictos. Esto se aprecia en las curvas CO para los planes n = 80, c = 0, n = 80, c = 1 y n = 80, c = 2, que se muestran en la figura 12.7.
■ FIGURA 12.4 Curva CO ideal para la calidad p = 0.01 (1%).
Proporción de artículos defectuosos en el lote ( p )
Probabilidad de aceptar
Pa
0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.
Curva CO ideal para p = 0.
■ FIGURA 12.5 Cuando n crece y c lo hace de manera proporcional, aumenta el poder de discriminación de un plan.
Proporción de artículos defectuosos en el lote ( p )
Probabilidad de aceptar
Pa
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.
n = 60, c = 1 n = 120, c = 2 n = 240, c = 4
■ FIGURA 12.6 Curvas CO para tamaño de muestra igual a 10% del lote y c = 0.
Proporción de artículos defectuosos en el lote ( p )
Probabilidad de aceptar
Pa
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.
N = 300 n = 30 c = 0 N = 500 n = 50 c = 0 N = 800 n = 80 c = 0
312 CAPÍTULO 12 Muestreo de aceptación
Índices para los planes de muestreo de aceptación En una relación cliente-proveedor en la que existe un plan de muestreo de aceptación de por medio hay dos intereses: por un lado, el proveedor quiere que todos los lotes que cumplen con un nivel de calidad aceptable sean aprobados; y por el otro, el cliente desea que todos los lotes que no tienen un nivel de calidad aceptable sean rechazados. Por desgracia, no es posible satis- facer de manera simultánea ambos intereses mediante un plan de muestreo de aceptación y la razón de ello se explicó cuando vimos la curva CO ideal. Ante esta situación, lo que se hace para atender de manera parcial ambos intereses es diseñar planes de muestreo que tengan una alta probabilidad de aceptar lotes “buenos” y una baja probabilidad de aceptar lotes “malos”. El punto de partida para esto es definir índices que establezcan, para una situación específica, lo que se considerará como calidad aceptable, intermedia y no aceptable, con sus correspon- dientes probabilidades de aceptación. Esto se explica a continuación:
1. Nivel de calidad aceptable , NCA o AQL ( Aceptancing Quality Level ). El NCA se define como el porcentaje máximo de unidades que no cumplen con la calidad especificada, que para propósitos de inspección por muestreo se considera como satisfactorio o aceptable como un promedio para el proceso (al NCA también se le conoce como nivel de calidad del productor ). De acuerdo con lo ante- rior, si un lote tiene un nivel de calidad igual al NCA, entonces la probabilidad de aceptarlo debe ser alta (0.90, 0.95) (vea la figura 12.9), y a esa probabili- dad se le designa con 1 − α. Note que la probabilidad de aceptar lotes con un NCA no es igual a 1 y por lo tanto hay un riesgo de no aceptar lo que se conside- ra un nivel de calidad satisfactorio. A este riesgo que tiene una probabilidad igual a α, por lo general pequeña (0.05, 0.10), se le conoce como riesgo del productor. Debido a este riesgo, el NCA debe ser un nivel de calidad de referencia para el proceso de producción del productor y de ninguna manera un valor objetivo. Más aún, el productor debe buscar que su proceso opere con un mejor nivel que el NCA. 2. Nivel de calidad límite , NCL o LQL ( Limiting Quality Level ). Es el nivel de calidad que se considera como no satisfactorio y que los lotes que tengan este tipo de calidad casi siempre deben ser rechazados. El NCL en algunos planes específi- cos (por ejemplo, los “Planes de muestreo Dodge-Roming” que se explican más adelante) se conoce como porcentaje defectivo tolerado del lote , PDTL o LTPD ( Lot Tolerance Percent Defective ). Por lo antes dicho, si un lote tiene calidad igual al NCL entonces la probabilidad de aceptarlo debe ser muy baja (por lo general de 0.05, 0.10), y a esta probabilidad se le designa con la letra β (vea la figura 12.9). Note que la probabilidad de aceptar lotes de calidad no satisfactoria (NCL) no es cero y, por lo tanto, hay un riesgo de no rechazar este tipo de lotes. A este riesgo, que tiene probabilidad igual a β, se le conoce como riesgo del con- sumidor. 3. Calidad promedio de salida , CPS o AOQ ( Average Outgoing Quality ). Es la calidad promedio que se alcanza después de aplicar el proceso de inspección. Este concepto es una forma de medir el efecto de un plan de muestreo sobre la cali- dad que se tendrá después de aplicarlo. Cuando un programa de muestreo de aceptación aplica muestreo de 100% a los lotes rechazados, entonces la calidad de salida de esos lotes es perfecta (si no hay error de inspección), ya que todas las unidades defectuosas de éstos son sustituidas por artículos buenos. Mientras tanto, en los lotes aceptados es pro- bable que su calidad de salida después de la inspección mejore un poco, porque las unidades defectuosas encontradas en la muestra son reemplazadas por uni- dades buenas. De esta manera, independientemente de si el lote es aceptado o rechazado, la calidad que llega al cliente tiende a ser mejor que la que tenían los lotes antes de ser inspeccionados.
Nivel de calidad aceptable (NCA)
Es el porcentaje máximo de defec- tuosos que el consumidor considera aceptable en un lote.
Riesgo del productor ( α )
Es la probabilidad de rechazar lotes con un nivel de calidad aceptable.
Nivel de calidad límite (NCL)
Es el porcentaje de defectuosos en un lote que el consumidor conside- ra no satisfactorio y quiere que se rechace con alta probabilidad.
Porcentaje defectivo tolerado del lote (PDTL)
Nombre alternativo del nivel de calidad límite.
Riesgo del consumidor ( β )
Es la probabilidad de aceptar lotes con calidad igual al NCL.
Calidad promedio de salida
Es el nivel promedio de calidad que se alcanza al aplicar un programa de inspección para determinada calidad de entrada.
Aspectos estadísticos: variabilidad y curva característica de operación 313
Por lo anterior, una forma de caracterizar la bondad de un plan de muestreo de acepta- ción es calcular la calidad promedio de salida que genera. Este cálculo se realiza en forma similar a como se obtiene la curva característica de operación, ya que para cada proporción de defectuosos que contiene el lote en la entrada se espera una proporción promedio de defectuosos de salida (CPS o AOQ). Al graficar la proporción de entrada, p , frente a la pro- porción promedio de defectuosos después de la inspección, CPS, se obtiene una curva para la calidad promedio de salida ( curva CPS ). En la figura 12.10 se muestra tal curva para el plan n = 60, c = 1.
Un cliente plantea a su proveedor que sólo le envíe aque- llos lotes que tengan un buen nivel de calidad, y deciden establecer un plan de muestreo de aceptación simple por atributos. El tamaño del lote es grande. Se acuerda un NCA = 0.4% y que un lote con calidad igual a NCA tendrá pro- babilidad de aceptación de 1 −α = 0.95. El riesgo del pro- veedor (productor) es α = 0.05, ya que los lotes con 0.4% de defectuosos, a pesar de tener calidad aceptable, tendrán una probabilidad de no aceptación de 0.05. También acuerdan un NCL = 2.55%, y que los lotes con este nivel de calidad tendrán una probabilidad de acepta- ción de β = 0.10. Con ello, el cliente (consumidor) está asu- miendo un riesgo de β = 0.10 de aceptar lotes de calidad pobre (2.55% de defectuosos).
Un plan de muestreo que cumple moderadamente bien los acuerdos anteriores es n = 205, c = 2, como queda cla- ro con la curva CO de dicho plan (vea la figura 12.9). Es importante entender bien el funcionamiento de este plan: garantiza que los lotes que tengan un porcentaje de uni- dades defectuosas menor o igual al NCA = 0.4% serán aceptados con facilidad. A medida que este porcentaje sea mayor, cada vez será menos probable que los lotes corres- pondientes sean aceptados. En particular, si un lote tiene un porcentaje de 2.55%, entonces tendrá apenas 0.10 de probabilidades de ser aceptado.
12.
La curva CPS, cuando se tiene un tamaño de lote grande, se obtiene con la fórmula:
CPS = p * Pa
donde p es la proporción de defectuosos a la entrada del lote, y Pa la probabilidad de acep- tación de tal lote que proporciona el plan de muestreo. De esta manera, si ya se tienen los cálculos para la curva CO, como en la tabla 12.2, entonces la obtención de CPS es directa,
■ FIGURA 12.9 Curva CO con NCA = 0.4%, α = 0.05, NCL = 2.55% y β = 0.10.
Proporción de artículos defectuosos en el lote ( p )
Probabilidad de aceptar
Pa
0.0 0.01 0.02 0.03 0.
β
NCA NCL
n = 205, c = 2 NCA = 0.4% NCL = 2.55%
■ FIGURA 12.10 Calidad promedio de salida ( CPS ) del plan n = 60, c = 1.
Proporción de defectuosos de los lotes a la entrada ( p )
Calidad promedio de salida
(CPS)
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.
0.0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.
1. Especificar los valores porcentuales deseados para NCA y NCL, con su correspondiente
probabilidad de aceptación, 1 − α y β, respectivamente.
4. De acuerdo con los valores de α y β, buscar en la columna apropiada de la tabla 12.4 el valor
R más cercano a R (^) c. Si en la tabla hay dos números R aproximadamente igual de cercanos a R (^) c se debe elegir el menor.
5. Ubicado el valor R en la tabla 12.4, el número de aceptación, c , se encuentra en el mismo
renglón que R en la columna c hacia la izquierda.
- Diseño de un plan de muestreo simple con NCA y NCL específicos (método de Cameron) - Calcular la razón de operación, Rc = p 2 / p 2. Convertir estos porcentajes a proporciones, sea p 1 = NCA/100 y p 2 = NCL/100. - c α =. Valores de R para: Valores de R para: - β =. - α =. - β =. - α =. - β =. - np 1 c α =. - β =. - α =. - β =. - α =. - β =. - np
- 0 44.89 58.80 89.78 0.05 0 229.1 298.1 458.2 0.
- 1 10.95 13.35 18.68 0.35 1 26.18 31.93 44.68 0.
- 2 6.51 7.70 10.28 0.82 2 12.20 14.43 19.27 0.
- 3 4.89 5.67 7.35 1.36 3 8.11 9.41 12.20 0.
- 4 4.06 4.65 5.89 1.97 4 6.24 7.15 9.07 1.
- 5 3.55 4.02 5.01 2.61 5 5.19 5.88 7.34 1.
- 6 3.21 3.60 4.43 3.28 6 4.52 5.08 6.25 2.
- 7 2.96 3.30 4.01 3.98 7 4.05 4.52 5.50 2.
- 8 2.77 3.07 3.70 4.69 8 3.70 4.11 4.96 3.
- 9 2.62 2.89 3.46 5.42 9 3.44 3.80 4.54 4.
- 10 2.50 2.75 3.26 6.16 10 3.22 3.55 4.22 4.
- 11 2.40 2.63 3.10 6.92 11 3.05 3.35 3.95 5.
- 12 2.31 2.53 2.96 7.69 12 2.91 3.18 3.74 6.
- 13 2.24 2.44 2.85 8.46 13 2.79 3.04 3.55 6.
- 14 2.17 2.37 2.75 9.24 14 2.69 2.92 3.40 7.
- 15 2.12 2.30 2.66 10.03 15 2.60 2.82 3.26 8.
- 16 2.07 2.24 2.58 10.83 16 2.52 2.73 3.15 8.
- 17 2.03 2.19 2.52 11.63 17 2.45 2.65 3.04 9.
- 18 1.99 2.14 2.45 12.44 18 2.39 2.58 2.95 10.
- 19 1.95 2.10 2.40 12.25 19 2.33 2.51 2.87 11.
- 20 1.92 2.06 2.35 14.07 20 2.28 2.45 2.79 11.
- 21 1.89 2.03 2.30 14.89 21 2.24 2.40 2.73 12.
- 22 1.86 2.00 2.26 15.71 22 2.20 2.35 2.67 13.
- 23 1.84 1.97 2.22 16.54 23 2.16 2.31 2.61 14.
- 24 1.82 1.94 2.19 17.38 24 2.12 2.27 2.56 14.
- 25 1.79 1.92 2.15 18.21 25 2.09 2.23 2.51 15.
- Calcular la razón de operación, Rc = p 2 / p 2. Convertir estos porcentajes a proporciones, sea p 1 = NCA/100 y p 2 = NCL/100. - c α =. Valores de R para: Valores de R para: - β =. - α =. - β =. - α =. - β =. - np 1 c α =. - β =. - α =. - β =. - α =. - β =. - np
316 CAPÍTULO 12 Muestreo de aceptación
Obtención de la curva CO Para tener un mejor panorama del desempeño de un plan diseñado con el método de Cameron, se obtiene la curva CO correspondiente mediante la tabla 12.5. Recuerde que esta curva se forma con un conjunto de valores ( p , Pa ), los cuales indican que un lote con una proporción de defectuosos de p se acepta con una probabilidad Pa. Para encontrar los valores ( p , Pa ), primero en los encabezados de la tabla 12.5, se encuentra una serie de valores predefinidos para Pa que van desde 0.995 hasta 0.005. Para determinar los correspondientes p , es preciso ubicarse en el renglón del valor c del plan y al dividir entre n a los valores localizados en ese renglón se encuentra el p que corresponde a cada Pa. En el caso del ejemplo 12.2, como n = 205 y c = 2; así, al entrar en el renglón de c = 2 de la tabla 12.5, se encuentra que:
Nota : Los valores de p se obtienen al dividir los valores del renglón c = 2 entre n = 205.
Pa 0.995 0.975 0.950 0.900 0.750 0.500 0.250 0.100 0.050 0.025 0.010 0. Valores en c = 2
p 0.0016 0.0030 0.0040 0.0054 0.0084 0.0130 0.0191 0.0260 0.0307 0.0352 0.0410 0.
De esta manera, si un lote tiene una proporción de defectuosos de p = 0.0016, entonces ese lote tendrá una probabilidad de aceptación de Pa = 0.995. Con el resto de parejas de valores ( p , Pa ) obtenidas antes, se grafica la curva CO para el plan n = 205, c = 2, que se muestra en la figura 12.9. En particular, se observa que cuando los lotes tienen una proporción de defectuo- sos de 0.0130 (1.3%), la probabilidad de aceptarlos será de 0.5. A este nivel de calidad, que tiene probabilidad de aceptarse de 0.5 en un plan, se le conoce como nivel de calidad indiferente (NCI). El método de Cameron garantiza de manera exacta el NCA, mientras que el NCL sólo lo refiere de manera aproximada (debido a que el tamaño de muestra es redondeado), como se puede ver en la curva CO de la figura 12.9. Además, en este método el plan se obtiene supo- niendo que el tamaño de lote es grande, por lo que si el tamaño de muestra es más de 10% del lote, entonces el plan obtenido será aproximado y será mejor tener una curva tipo A usando la distribución hipergeométrica, o bien, alguno de los otros métodos que toman en cuenta el tamaño del lote que veremos en las siguientes secciones.
6. En el mismo renglón donde se localizó a R , pero en la columna np 1 a la derecha de R , loca- lizar el valor de np 1. El tamaño de muestra se encontrará al dividir ese valor entre p 1. Estos pasos se ilustran en el ejemplo 12.2.
Al aplicar los pasos anteriores a la situación expuesta en el ejemplo 12.1 de la sección anterior se obtiene que:
- NCA = 0.4%, α = 0.05, NCL = 2.5% y β = 0.10. 2_. p_ 1 = 0.4/100 = 0.004; p 2 = 2.5/100 = 0.025. 3_. Rc_ = p 2 /p 1 = 0.025/0.004 = 6.25.
- En la columna de α = 0.05 y β = 0.10 de la tabla 12.4, el valor de R más cercano a 6.25 es 6.51. 5. A la izquierda de R = 6.51, en la columna de c , se obser- va que c = 2. 6. A la derecha de R = 6.51, en la columna de np 1 se en- cuentra que np 1 = 0.82, así que n = 0.82/0.004 = 205. Por lo tanto, el plan simple por atributos que ayuda a ga- rantizar los niveles de calidad acordados, es n = 205 y c = 2.
12.
318 CAPÍTULO 12 Muestreo de aceptación
trato o por la autoridad responsable del muestreo, de acuerdo con diferentes crite- rios, por ejemplo: al nivel de calidad que se considera como aceptable, a los antecedentes del productor y los niveles de calidad que tiene la rama industrial o comercial del productor. Pueden considerarse diferentes NCA para distintos tipos de defectos. Por ejemplo, el estándar distingue entre defectos críticos, defectos mayores y defectos menores. Es una práctica común escoger un NCA = 1.00% para defectos mayores y NCA = 2.5% para defectos menores. Ningún defecto crí- tico debe ser aceptado, aunque a veces se usan NCA menores a 0.10 por ciento. El estándar ofrece tres procedimientos de muestreo: muestreo simple, doble y múltiple. Para cada plan de muestreo se prevé: inspección normal, severa o redu- cida. La inspección normal es usada al iniciar una actividad de inspección. La ins- pección severa se establece cuando el vendedor ha tenido un mal comportamiento en cuanto a la calidad convenida. Los requisitos para la aceptación de los lotes bajo una inspección severa son más estrictos que en una inspección normal. La inspección reducida se aplica cuando el vendedor ha tenido un comportamiento bue- no en cuanto a la calidad. El tamaño de muestra utilizado en una inspección reducida es menor que en una inspección normal, por lo que el costo de inspec- ción es menor. Así, la idea de estos tres tipos de inspección es alentar al vendedor para mejorar su calidad o castigarlo si no lo hace. Un plan de muestreo inicia con el plan normal y el estándar proporciona reglas que señalan cuándo cambiar a inspección severa o a inspección reducida. El tamaño de muestra usado en MIL STD 105E se determina por medio del tamaño del lote, el nivel de inspección elegido y el NCA acordado. El estándar proporciona tres niveles generales de inspección: I, II, III. El nivel II es el más usual. El nivel I requiere cerca de la mitad de inspección que el nivel II y podría ser usado cuando pocos productos son rechazados. La diferencia entre usar algu- nos de estos niveles se da en el tamaño de muestra y, por lo tanto, en la capacidad del plan para rechazar una calidad peor que el NCA, ya que la curva CO del nivel de inspección III cae más rápido que la de los otros dos. De manera adicional, el estándar proporciona cuatro niveles especiales de ins- pección, S1, S2, S3 y S4, que se aplican en las situaciones que requieren tamaños pequeños de muestra, por ejemplo, en pruebas destructivas y cuando es posible tomar riesgos altos de no rechazar niveles de calidad peores que el NCA.
Diseño de un esquema de muestreo con MIL STD 105E Para obtener los planes de muestreo aplicando el MIL STD 105E se procede de acuerdo con los siguientes pasos:
1. Determinar el tamaño de lote. 2. Especificar el NCA (o AQL). 3. Escoger el nivel de inspección (usualmente el nivel II, que puede ser cambiado si la situa- ción lo justifica). 4. Dada la información anterior, en la tabla 12.6 se encuentra la letra código correspondiente para el tamaño de muestra. 5. Determinar el tipo de plan de muestreo a ser usado (simple, doble o múltiple). 6. De acuerdo con la letra código y el NCA, en la tabla 12.7 se especifican los planes simples para inspección normal, en la tabla 12.8 el plan simple para inspección severa y en la tabla 12.9 el plan de inspección reducida. El lector interesado en inspección doble y/o múltiple puede con- sultar el estándar de manera directa.
Como queda claro del ejemplo 12.3 y en general, el plan de muestreo reducido implica menos inspección que el normal y es más tolerante con los lotes que tienen un porcentaje mayor que el NCA = 0.4%, como se puede ver si se contrastan sus correspondiente curvas CO
Inspección normal
Se implementa al iniciar el esquema de muestreo de acuerdo con el MIL STD 105E.
Inspección severa
Se establece en un esquema MIL STD 105E cuando el proveedor ha tenido un mal desempeño en cuan- to a la calidad convenida.
Inspección reducida
Se utiliza en un esquema MIL STD 105E cuando el proveedor ha te- nido un buen comportamiento en cuanto a la calidad.
Niveles generales de inspección I, II y III
Niveles en el MIL STD 105E que permiten modificar la cantidad de inspección sin afectar el riesgo del productor pero cambiando el ries- go del consumidor.
Niveles especiales de inspección S1-S
Niveles en el MIL STD 105E que se utilizan cuando se requieren mues- tras pequeñas y se pueden tolerar riesgos altos.
Military Standard 105E 319
en las figuras 12.7 y 12.9 (en esta última se tiene un plan muy similar al normal). Por ejemplo, si un lote tiene un porcentaje de defectuosos de 2.5%, entonces con el plan normal tiene una probabilidad de aceptación de 0.12, mientras que con el plan reducido, Pa = 0.40, y si se consi- dera que incluso con dos defectuosos es aceptable, entonces Pa sería de 0.67.
Tamaño de lote Niveles especiales de inspección Niveles generales de inspección
S-1 S-2 S-3 S-4 I II III
2 a 8 9 a 15 6 a 25
A
A
A
A
A
A
A
A
B
A
A
B
A
A
B
A
B
C
B
C
D
26 a 50 51 a 90 91 a 150
A
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
D
C
C
D
D
E
F
E
F
G
151 a 280 281 a 500 501 a 1 200
B
B
C
C
C
C
D
D
E
E
E
F
E
F
G
G
H
J
H
J
K
1 201 a 3 200 3 201 a 10 000 10 001 a 35 000
C
C
C
D
D
D
E
F
F
G
G
H
H
J
K
K
L
M
L
M
N
35 001 a 150 000 150 001 a 500 000 500 001 y más
D
D
D
E
E
E
G
G
H
J
J
K
L
M
N
N
P
Q
P
Q
R
TABLA 12.6 Letras códigos para el tamaño de muestra (MIL STD 105E)
Retomamos la situación descrita en el ejemplo 12.1, el NCA = 0.4%. Si el tamaño de lote es de N = 6 000 uni- dades y se utiliza el nivel de inspección II, entonces, de acuerdo con la tabla 12.6, la letra código para el tamaño de muestra es L. Con esta letra se obtienen los planes para inspección normal, severa y reducida.
Plan de muestreo normal. En la tabla 12.7, en el renglón de la letra L y la columna NCA = 0.4%, se encuentra que n = 200 y c = 2 (en la tabla aparece A c ). Bajo este plan se rechaza al lote cuando se obtienen tres ( Re = 3) defectuosos o más. Este plan es relativamente similar al que se diseñó por el método de Cameron en el ejemplo 12.2 de la sección ante- rior, donde además de tener NCA = 0.4% se fijó NCL = 2.5%.
Plan de muestreo severo. De la misma forma pero en la tabla 12.8 se obtiene n = 200, Ac = 1, Re = 2. Así, en este plan se toma el mismo tamaño de muestra que en inspección normal, pero se es más estricto ya que el número de acep- tación es menor.
Plan de muestreo reducido. De la tabla 12.9 se obtiene n = 80, Ac = 1, Re = 3. De esta manera, es claro que si en la muestra se encuentran uno o cero defectuosos el lote es aceptado, si se encuentran tres o más, entonces el lote es rechazado. Pero si se encuentran dos unidades malas el lote es aceptado, aunque al siguiente lote se le debe aplicar el plan de inspección normal.
12.
Military Standard 105E 321
(NCA o AQL), en porcentaje 1.0 1.5 2.5 4.0 6.5 10 15 25 40 65 100 150 250 400 Ac Re Ac Re^ Ac Re^ Ac Re^ Ac Re^ Ac Re^ Ac Re^ Ac Re^ Ac Re^ Ac Re^ Ac Re^ Ac Re^ Ac Re^ Ac Re 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 30 31 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 30 31 44 45 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 30 31 44 45 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 7 8 10 11 14 15 21 22 10 11 14 15 21 22 14 15 21 22
21 22
322 CAPÍTULO 12 Muestreo de aceptación
Indicaciones: Si en la intersección del renglón (letra código) y la columna (NCA) se encuentra una flecha en lugar de los números de aceptación ( Ac ) o de rechazo ( Re ), entonces siga la dirección de la flecha y use el primer plan que esté después de la flecha. Por ejemplo, supongamos que la letra código para un caso particular es H , por lo que el tamaño de muestra asociado con esta letra es n = 50, y si NCA = 0.1%, entonces en la intersección correspondiente se encuentra una flecha con dirección hacia abajo; al seguirla al primer plan que se encuentra es Ac = 0, Re = 1, y el tamaño de muestra a usar es n = 200.
Letra código para el tamaño de la muestra
Tamaño de la muestra n
Nivel de calidad aceptable 0.010 0.015 0.025 0.040 0.065 0.10 0.15 0.25 0.40 0. Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re A 2 B 3 C 5 D 8 E 13 F 20 G 32 0 1 H 50 0 1 J 80 0 1 K 125 0 1 1 2 L 200 0 1 1 2 2 3 M 315 0 1 1 2 2 3 3 4 N 500 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 P 800 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 Q 1 250 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 R 2 000 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 S 3 150 1 2
TABLA 12.8 Tabla para inspección severa. Muestreo simple (MIL STD 105E)