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Emilio Rivera Chávez
Cuando un fluido se mueve a velocidades compa- rables con la velocidad del sonido en el medio
fluido, se producen cambios considerables en la densidad, este tipo de flujo se denomina compresi- ble. Estos flujos se presentan con frecuencia en
dispositivos en los que los gases fluyen a altas velocidades, situaciones en las que basta una
relación de presiones de 2:1 para causar flujos sónicos, en los líquidos es difícil de obtener este
tipo de flujos pues se necesitarían presiones del orden de 1000 atm para generar velocidades sóni-
cas. El estudio de los flujos compresibles combina la dinámica de fluidos y la termodinámica, am-
bas disciplinas son necesarias para el desarrollo de los fundamentos teóricos necesarios asociados
al flujo compresible por ello esta disciplina se suele denominar también dinámica de gases.
Los efectos más trascendentes y característicos de
los flujos compresibles son: el estrangulamiento, que limita fuertemente el flujo en conductos
cuando se dan las condiciones sónicas, y las ondas de choque, que son cambios casi disconti-
nuos en las propiedades de los flujos supersónicos. El contenido de este capítulo tiene la finalidad de
explicar estos y otros fenómenos físicos implica- dos, sus efectos y exponer las relaciones generales
asociadas con el flujo compresible para un gas ideal con calores específicos constantes.
Al finalizar la lectura de este capítulo y desarro-
llar las actividades que se plantean, se espera que el estudiante esté capacitado para: Deducir y des-
cribir las consecuencias de la compresibilidad en un flujo compresible; entender por qué una tobera
debe tener una sección divergente para acelerar el gas a velocidades supersónicas; predecir choques y
calcular cambios de las propiedades a través de una onda de choque; entender los efectos de la
fricción y la transferencia de calor en flujos com- presibles.
Flujo
Compresible
Apuntes de Clase
Teoría y problemas resueltos
Emilio Rivera Chávez
US Navy Photo
A V p h x
dx
d
x dx
dv v
x dx
dp p
x dx
dA A
x dx
dp p 2
x
x
http://erivera-2001.com/flujo-compresible.html
Emilio Rivera Chávez
Septiembre de 2009
(Borrador en revisión)
Contenido
1.1 Introducción.
1.2 Conceptos básicos de la Termodinámica.
1.3 Efectos de la compresibilidad
Propagación de las ondas sonoras.
El cono de Mach.
1.4 Estados de referencia
Propiedades de estancamiento isentrópico local;
Condiciones críticas.
Ecuaciones fundamentales para un flujo isentrópico.
1.5 Efectos del cambio de área en las propiedades.
1.6 Flujo isentrópico en toberas.
1.6.1 Operación de Toberas convergentes
1.6.2 Operación de Toberas convergente-divergentes
1.7 Flujo en una tobera real en condiciones de diseño. Eficiencia.
1.8 Flujo adiabático en conducto de sección constante con fricción.- línea de Fan-
no.
1.9 Flujo permanente sin fricción en un ducto de área constante con intercambio
de calor.- Línea de Rayleigh.
1.9.1 Relaciones matemáticas para el cálculo del flujo de la línea de Rayleigh de un
gas ideal
1.10 Ondas de choque normales.
1.7.1 Ecuaciones para el cálculo de ondas de choque normales en un gas ideal.
Problemas resueltos.
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1.2 Consideraciones termodinámicas
En este epígrafe se hace un resumen de la termodinámica necesaria para el estudio del flujo compresible, incluyendo la ecuación de estado, y ecuaciones de temperatura- entropía.
Relaciones termodinámicas para un gas ideal
La presión, la densidad y la temperatura de una sustancia pueden relacionarse funcionalmente mediante una ecuación de estado. Para la mayoría de los gases usados en la ingeniería existe una relación sencilla entre sus propiedades que esta representada por la conocida ecuación de estado del gas ideal ,
R es una constante para cada gas y esta dada por R=Ru/M
Donde RU= 8314N.m/kgmol.K es la constante universal de los gases y M es la masa molecular del gas.
El gas ideal tiene otras características sencillas y muy útiles que se exponen a continuación.
Energía interna
La energía interna para una sustancia cualquiera puede expresarse como una función de la temperatura y del volumen específico,
u u ( T , )
de donde,
d
u
dT
T
u
du
T
Los calores específicos a cp, a presión constante y cv, a volumen constante se definen como:
(^)
T
u
c
u
c v
T
p
Para el caso de un gas ideal (p v =RT) la energía interna, para un proceso isotérmico, se ajusta a la relación:
^0
d
u
T en consecuencia
u u ( T )
por lo que
du cpdT
Lo que significa que para un gas ideal, la energía interna y los cambios de temperatura pueden relacionarse si se conoce cv.
Entalpía
A partir de la definición de entalpía y de la ecuación de estado del gas ideal se puede escribir:
RT
p
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RT h u RT
p p
h u
como u = u(T) para un gas ideal, entonces h debe ser también solo una función de la tempera- tura. Así,
h h ( T )
Es posible establecer una relación entre h y T, expresando h como una función de p y T,
h h ( p , T )
entonces
dp
p
h
dT
T
h
dh
p T
Como h es función solo de T, se tiene
^0
dp
p
h
T y como
T
p
u
c
por lo que
dh cpdT
Relación entre los calores específicos
A partir de la ecuación, h u RT se puede escribir
R
dT
du
dT
dh
dh du RdT
Debido a que h y u son funciones solamente de la temperatura, los calores específicos, cp y cv, serán también funciones solo de la temperatura, de modo que no se precisan derivadas parcia- les dadas en sus definiciones, por tanto para un gas ideal
dT
du
c
dT
dh
c p ; v
Entonces,
c p cv R
La razón entre los calores específicos, es parámetro adimensional útil, se define como:
v
p c
c k
Combinado adecuadamente estas dos últimas relaciones, se pueden escribir expresiones para los calores específicas, aplicables a los gases ideales. Así,
k
R
c k
kR c (^) p v
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compresible y por tanto se justifica repasar algunos conceptos y relaciones útiles que involucran a la entropía.
La entropía se define matemáticamente mediante la siguiente relación:
rev
rev T
Q
o dS
T
Q
S
De la segunda ley se deduce la conocida desigualdad de Clausius, que establece que:
0
T
Q
S
Como una consecuencia de la segunda ley, estos resultados pueden extenderse a:
o TdS Q
T
Q
dS
Para procesos reversibles, se puede escribir la siguiente ecuación:
dm
Q
Tds
En tanto que para un proceso irreversible se cumple la desigualdad,
dm
Q
Tds
Para un proceso adiabático, como 0 dm
Q , se tiene:
ds 0 (Proceso adiabático reversible )
y
ds 0 (Proceso adiabático irreversible )
En consecuencia se puede afirmar que un proceso que es reversible y adiabático también es isentrópico; es decir que la entropía permanece constante durante el proceso. Así mismo la última relación muestra que la entropía debe crecer cuando un proceso es adiabático e irrever- sible.
Es decir que: la entropía de un sistema aislado térmicamente durante un proceso siempre se incrementa o, en el restrictivo caso de un proceso reversible, permanece constante. Dicho de otro modo, la entropía – para un sistema adiabático- nunca disminuye. Esto se conoce como el principio de incremento de entropía^1. Entonces, en ausencia de cualquier intercambio de calor,
(^1) El principio de incremento de entropía no implica que la de un sistema no pueda disminuir. El cambio de
entropía de un sistema puede ser negativo durante un proceso, pero la generación de entropía no. El prin- cipio de incremento de entropía puede resumirse de la siguiente manera: Si Sgenerada > 0 entonces el proceso es irreversible Si Sgenerada = 0 entonces el proceso es reversible Si Sgenerada < 0 entonces el proceso No es posible Estas relaciones pueden servir como criterio de decisión respecto de la irreversibilidad, irreversibilidad o imposibilidad de un proceso. (Yunus Cengel, Mecánica de fluidos.-Fundamentos y Aplicaciones, 1ª Ed.).
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6
el cambio de entropía se debe solo a la irreversibilidad y su efecto es siempre incrementar la entropía.
Un análisis del conjunto de las ecuaciones anteriores, muestra que el cumplimiento de cuales- quiera dos de tres las restricciones – reversible, adiabático o isentrópico- debe implicar el cum- plimiento de la tercera. Así por ejemplo, un proceso que es isentrópico y reversible debe ser también adiabático.
A partir de la primera y segunda ley de la termodinámica, es posible obtener una relación ma- temática entre la presión, volumen específico, temperatura absoluta, entropía y energía interna específica ( p, v, T, s, u), valida para todos los procesos entre estados de equilibrio. Esta rela- ción esta dada por:
Tds du pdv dh vdp
Para un gas ideal, se puede escribir
p
dp
R
T
dT
ds cp
Ejemplo 1 Fluye aire a través de un ducto de sección constante a razón de 0.15 kg/s. Un tramo corto del conducto se enfría con nitrógeno líquido que rodea al ducto. La razón de pérdida de calor del aire en esta sección es 15.0 kJ /s. La presión, temperatura y velocidad de entrada en la sección fría son 188 kPa (abs), 440K y 210 m/s, respectivamente. Las condiciones de estado en la sali- da son 213 kPa (abs.) y 351 K. Calcule el área de la sección transversal del ducto y los cambios de entalpía y entropía para este flujo.
El objetivo de este ejemplo es consolidar los conceptos básicos expuestos hasta ahora.
RESOLUCION
Datos:
Entrada Salida
T 1 440 K T 2 351 K P 1 188 kPa P 2 213 kPa
V 1 210
m s
Hipótesis: i flujo permanente ii flujo uniforme en cada sección
iii gas ideal R 287 J kg K
a) Cálculo del área de la sección de flujo
El área de la sección de flujo del ducto se calcula a partir del flujo másico a la entrada, que de acuerdo al planteamiento hipotético y de acuerdo con la ecuación de continuidad debe ser cons- tante a lo largo del tubo: m = ρVA = cte.
Previamente debemos calcular la densidad, para ello usamos la ecuación del gas ideal,
1
P 1
R T 1
kg
m 3
m 0. kg s
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1.3 Efectos de la compresibilidad
Dos parámetros importantes en el estudio de flujo compresible son la velocidad de sonido, c , y el número de Mach, M. La velocidad del sonido es la velocidad a la cual una onda de presión infinitesimalmente pequeña viaja a través de un medio. Una onda de presión puede ser origina- da por una pequeña perturbación, la cual crea un ligero aumento en la presión local. El numero de Mach se define como el cociente de la velocidad real del fluido (o de un objeto que se mueve en el fluido en reposo) entre la velocidad del sonido en el mismo medio fluido, en el mismo es- tado.
M = V/c
Es decir que el número de Mach depende de la velocidad del sonido, c, que a su vez depende del estado del fluido, como se verá más adelante.
Propagación de una onda elástica
Si en un fluido se origina una perturbación, la velocidad de avance del frente de onda corres- pondiente es proporcional a la raíz cuadrada del cociente entre el modulo de compresibilidad del fluido y su densidad.
Esto se puede comprobar, al considerar la propagación de una perturbación en un fluido ini- cialmente en reposo: debido a la acción molecular, la presión se incrementa a la derecha de de la perturbación y este incremento se moverá hacia aguas abajo a una velocidad c por otra parte de acuerdo a la segunda ley de newton, el fluido localizado inmediatamente a la derecha del frente de onda se acelerara como consecuencia de la diferencia de presión dp .a una velocidad dV.
Se puede analizar el fenómeno a partir de un volumen de control que se mueve encerrando al frente de onda como se muestra en la figura. Luego a partir de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento aplicadas a este volumen de control se pueden escribir las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.3.
y combinado ambas ecuaciones y despejando la velocidad de propagación, se obtiene:
d
dp
c 1.3.
Para el caso de un gas ideal, la presión y la densidad en un proceso isentrópico están relacio- nados mediante la ecuación:
cte
k
p
Volumen de control Vo=c
c velocidad
densidad
p presión
c – dV velocidad
+d densidad
p+dp presión
Fig. 1.3.1 Volumen de control alrededor del frente de onda.
c
dp
dV
d
dV c
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A partir de la que se obtiene por derivación (previa logaritmización ):
kp
d
dp
Entonces la velocidad de propagación de una onda de presión en función de las propiedades termodinámicas del fluido estará da- da, para un gas ideal, por:
kp
c 1.3.
c kRT 1.3.
Como, para un gas ideal en particular, R es constante y k (relación de calore s específicos) es, cuando mucho, una función de la temperatura, T, se con- cluye que la velocidad del sonido en un gas ideal dado es función sola- mente de la temperatura (figura 1.3.2).
El Cono de Mach
Número Mach.- Conocido coloquialmente como mach (" mac "), se define como el cociente entre la velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve dicho objet o. Dicha relación puede expresarse según la ecuación:
c
M V 1.3.
Si un objeto viaja a través de un medio, entonces su número de Mach es la razón entre la ve- locidad del objeto y la velocidad del sonido en ese medio. Es un número sin unidades, típica- mente usado para describir la velocidad de los aviones. Mach 1 equivale a la velocidad del so- nido, Mach 2 es dos veces la velocidad del sonido, etc. Este número fue propuesto por el físico y filósofo austriaco Ernst Mach^2 , como una manera sencilla de expresar la velocidad de un objeto con res- pecto a la velocidad del sonido. La utilidad del número de mach reside en que permite expresar la veloci- dad de un objeto no de forma absoluta en km/h o m/s, sino tomando como referencia la velocidad del sonido, algo interesante desde el momento en que la velocidad del sonido cambia dependiendo de las condiciones de la atmósfera. Por ejemplo, cuanto mayor sea la altura sobre el nivel del mar
(^2) Ernst Mach (18 de febrero, 1838 - 19 de febrero, 1916) físico y filósofo austriaco. Trabajó como catedrático de matemáticas en la Universidad
de Graz y de 1867 a 1895 como catedrático de física experimental en la Universidad de Praga. Realizó importantes descubrimientos en los campos de la óptica, la acústica y la termodinámica. Sus trabajos acerca de la mecánica newtoniana tuvieron una gran importancia ya que con ellos rebatió en parte dicha teoría y en particular el concepto de espacio absoluto. Sus tesis desempeñaron un papel muy importante en la formu- lación de la teoría especial de la relatividad por parte de Albert Einstein en el año 1905. Mach estudió sobre todo la física de fluidos a velocidades superiores a la del sonido, y descubrió la existencia del cono que lleva su nombre. Se trata de una onda de presión de forma cónica que parte de los cuerpos que se mueven a velocidades superiores a la del sonido. Descubrió que la relación entre la velocidad a la que se desplaza el cuerpo y la velocidad del sonido es un factor físico de gran importancia. Dicho factor se conoce con el nombre de número de Mach, en su honor. Una velocidad de Mach 2,7 significa que el cuerpo se mueve a una velocidad 2,7 veces superior a la de propagación del sonido. Como filósofo de la naturaleza, rechazó de forma contundente toda metafísica y religiosidad convirtiéndose por ello en uno de los representantes mas destacados del positivismo. Fuente: "http://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Mach"
Ernst Mach
Fig. 1.3.2 La velocidad del sonido, C, varia con al tem- peratura, T, y con el fluido.
Ca T( )
Che T( )
T
c
Helio
Aire
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V ( t to )
c ( t to ) SILENCIO
ACCION
Figura 1.3.3d. V>0. Movimiento supersónico
Supongamos, ahora, que se emite una perturbación ins- tantánea infinitesimal en un punto de un fluido. El frente se propaga en forma esférica con la velocidad del sonido, el patrón de sonido se propaga uniformemente en todas las direcciones. En cualquier instante el radio de la esfera es c(t-t 0 ), cuyo centro coincide con el punto de emisión de la perturbación. Se explicarán ahora cuatro situaciones posi- bles:
En el instante ( t-t o) después de la emisión, cualquier pulso sonoro se localiza en el radio c ( t-t o), medido desde la fuente, figura 1.3.3a.
Si la perturbación se emite en un fluido que se mueve con una velocidad uniforme Vo < C, figura 1.3.3b. La concentricidad del patrón de onda se pierde; ya no hay círculos concéntricos, debido a que la propagación se mueve hacia fuera esféricamente con respecto al fluido y por consiguiente se mueve hacia aguas abajo con ve- locidad Vo.
Si ahora, que la perturbación se emite en un medio que se mueve con una velocidad constante VO=C; (M=1). El lugar geométrico de las superficies delanteras de las ondas sonoras es un plano en la fuente. Consecuente- mente, un observador enfrente de la fuente no la escu- chará cuando ella se acerque.
Si, ahora, se emite una perturbación en un medio fluido que se mueve con velocidad Vo>C. Esto representa una acción simple en un flujo supersónico. En este caso, el lugar geométrico de las superficies delanteras de las ondas sonoras es un cono, denominado cono de Mach. También en este caso, ningún sonido se escuchará fren- te al cono.
El ángulo del cono, 2, está relacionado con el número de Mach, relación que puede obtenerse a partir de la geome-
tría de la figura (como se vera en el ejemplo 3) y está dado por:
V M
C sen 1
Es decir
c ( t to )
Vo ( t to )
Figura 1.3.3b Propagación de una onda V 0 <c. corrimiento Doppler.
c ( t to )
c ( t to )
Figura 1.3.3c. V 0 =c
M
arsen 1
c ( t to )
Figura 1.3.3a Propagación de una onda en un fluido en reposo. V 0 =0.
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Ejemplo3. -
Un avión que vuela a 2000 m de altitud pasa directamente por arriba de un observador. Si el avión se desplaza a un número de Mach igual a 1.5 y la temperatura ambiente es 10ºC, ¿cuán- tos segundos tiene que esperar el observador antes de escuchar el sonido producido por el avión?
Datos: T= 10 + 273 = 283 oK; M = 1.5; Z = 2000 m
Para el aire se puede tomar: k = 1.
Para M=1.5 se tiene V > C es decir flujo supersónico, por lo que usaremos el cono de Mach como referencia para resolver el problema.
Donde el ángulo de Mach está dado por:
V M
C
sen
( )
La velocidad del sonido se puede calcular a partir de:
C kRT
El tiempo se puede calcular a partir de la relación
x V ( t to ) V t
CM
x
V
x
t
Así mismo, x se calcula a partir del cono de Mach, así:
tg
z
x
Reemplazando valores numéricos, en las ecuaciones anteriores se tiene que el observador oirá el sonido luego de un tiempo de t= 4.420 s.
SILENCIO ( )
c t to
ACCIÓN
z
x= V.(t - to)
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De la relación anterior se establece que la temperatura de estancamiento T 0 , es constante para un flujo adiabático.
En la ecuación 1.4.2, la temperatura de estancamiento T 0 , representa la temperatura que alcanza un gas ideal cuando se lleva al reposo adiabáticamente. El término V^2 /2cp corresponde al incremento de la temperatura alcanzado durante el proceso y se llama temperatura dinámica. Estas ecuaciones nos muestran que para flujos a bajas velocidades las temperaturas de estan- camiento y estática, T 0 y T, son prácticamente iguales, pero para flujos a altas velocidades la temperatura de estancamiento puede ser considerablemente mayor que la temperatura estática del fluido^4.
Si recordamos que:
C
R C kRT y M V k
c k P ^ ;^2 1
A partir de la relación 1.4.2 se puede obtener una relación para la razón de las temperaturas de estancamiento y estática, en función del número de Mach:
1.4.
Figura 1.4.2. Variación de la razón To/T vs M
(^4) Así pues, cuando un flujo es llevado al reposo, el flujo está en estancamiento, por lo tanto, un termóme-
tro en un flujo compresible medirá T 0 , no T.
Entonces, cuando T = 17 0C ≡290 K, si:
M=0.10, T 0 /T=1.002, entonces T 0 =290.58 K ≡17.58 oC;
M=0.50, T 0 /T=1.050, entonces T 0 =304.5 K ≡ 31.50 oC;
M=2.0 T 0 /T=1.80, entonces T 0 = 522 K ≡ 249 oC
M T 0 /T
M T 0 /T
M
k T
To
Razon T0/T vs M
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10. Núm ero de Mach M
To/T
… esta última ecuación sólo requiere que el flujo sea adiabáti- co, es decir que sigue siendo válida en presencia de irreversibi-
lidades tales como las pérdidas por fricción u ondas de choque.
en presencia de irreversibilidades tales como las pérdidas por
fricción u ondas de choque.
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Relaciones isentrópicas de presión y densidad en función al número de Mach.
A partir de esta última relación, y de las conocidas relaciones isentrópicas para un gas ideal, pueden formularse relaciones similares para la densidad y la presión de estancamiento:
Presión de estancamiento .- Se denomina presión de estancamiento, p 0 , a la presión que alcanza un fluido cuando se lleva al reposo isentrópicamente. Para un gas ideal con calores específicos constantes, p 0 se puede relacionar con la presión estática del fluido, p, y el número de Mach de la siguiente manera:
1
k
k o o T
T p
p
2 1 1 2
1
^ k
k o k M p
p
Análogamente la densidad de estancamiento, 0 , y la densidad estática,, pueden relacionarse mediante las siguientes expresiones:
1
1
o o k T
T
1
1 (^2 ) 2
o k M k
Consideremos ahora un flujo fluido a través de un ducto, si se usan entalpías de estancamiento, el balance de energía (primera ley e la termodinámica) para un volumen de control con flujo estacionario y con una entrada y una salida puede expresarse del siguiente modo:
( ) 2 2
( ) 2 1
2 1 2 2 2 1 gz z
V V q w h h
Reordenando convenientemente;
2 1 1
2 2 2 gz z
V
h
V
q w h
y de (1.4.1) q - w = h 02 + h 01 + g(z 2 -z 1 ) 1.4.
Donde h 02 y h 01 son las entalpías de estancamiento en los estados 2 y 1, respectivamente.
Es decir que: cuando se usan entalpías de estancamiento no es necesario referirse a la energía cinética de manera explicita , sin embargo las entalpías de estancamiento, como ya se dijo, to- man en cuenta su contribución.
Para flujo adiabático (sin intercambio de calor), en ausencia de trabajo y sin cambio de energía potencial, se tiene que: h 02 = h 01 = constante
Es decir que en estas condiciones la entalpía permanece constante.
Cuando el fluido es un gas ideal con calores específicos constantes, la ecuación (1.4.6) toma la siguiente forma: q - w = cp(T 02 +T 01 ) + g(z 2 -z 1 ) 1.4.
Donde T 02 y T 01 son las temperaturas de estancamiento.
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T
M 1 =0.4, T 1 =2350oF p 1 =90.
M 2 =0.8, T 2 =1200oF p 2 =3.
R 53.3pie
lbf lbm
R k 1.
cp 0.
Btu lbm R
cv 0.
Btu lbm R
Ejemplo 4 .-Entra aire a una turbina a M 1 =0.4, T 1 =2350oF y p 1 =90.0 psia. Las condiciones a la
salida de la turbina son M 2 =0.8, T 2 =1200oF y p 2 =3.00 psia. Evalúe las condiciones locales de estancamiento isentrópico a) en la entrada de la turbina y b) en la salida de la turbina. Calcule el cambio de entropía específica a través de la turbina. Grafique los puntos de estado estático y de estancamiento en un diagrama T-s.
DATOS Otros datos importantes (aire estándar).
Haciendo uso de las relaciones matemáticas, establecidas en esta sección, se pueden calcular las condiciones de estanca-
miento del aire tanto en la entrada como en la salida de la turbina. (Para esto se utilizó el MatCAD).
Btu lbm R
s cp ln de donde: s 0.
T
T
(cp cv) ln p p
s cp ln R cp cv
T
T
R ln p p
c)Cambio de l a entropia específica.- Para calcular el cambio de entropia, utilizam os la
ecuación: Tds=dh-vdp; que para un gas ideal se puede s¡escribir:
o2 6.598 10 3
lbm
pie 3
o1 0.
lbm
pie 3
o
po1 144 R To1
o
po2 144 R To2
a partir de la ecuación general de los gases:
Densidad de estancamiento
po1 100.49 psia po2 4.573 psia
po
k 1 2
M
2
k k 1 po1 p
k 1 2
M
2
k k 1 p
-Presión de estancamiento
To1 2.9 10 R 3 To2 1.872 10 R 3
To
k 1 2
M
2
To1 T
k 1 2
M
2
T
- Temperatura de estancamiento
a) en la entrada de la turbina b) en la salida de la turb ina
* El estudiante debe dibujar el diagrama T-s, referido a los puntos de estado del proceso.
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1 2
v1 500 pie/s v2 ? R 53.3 lbf.pie/lbm.R
T1 600 R T2 800 R k 1.
p1 60 psia p2 40 psia cp 0.24^ Btu/lbm.R
sección 1 sección 2 constantes
2 v2 A
v
1 v1 2
v2 1 10 3 pie/s
M
v c
M2 0.
Con estos datos, la pre sión de estancamiento en 2, se puede calcular del siguiente modo:
po2 p2 1
k 1 2
M
2
k k 1 po2 56.56 psia
Ahora a partir de la pri mera ley de la termodinámica calculamos el calor transferido:
q h k donde :
h cp ( T2 T1 ) k
v 2 v 2 2
entonces se tiene que:
q cp T2 cp T1
v 2
2
v 2
2
q cp T2
v 2
2
cp T1
v 2
2
v1 500 v2 En base a estos datos realizamos algunos calculos preliminares, que serán úitles posteriormente; seccción de flujo 1 seccción de flujo 2
p2 144 R T2
p1 144 R T1
c1 k R 32.2 T1c1 1.201 10 3 c2 k R 32.2 T2 c2 1.386 10 3
M
v c
M1 0.416 M2
A partir de la ecuación de continuidad, podemos calcular la velocidad v2, que es necesario conocer para calcular el cambio de energía cinética:
1 v1 A =
Ejemplo 5 .- Fluye aire por un ducto de área constante. En la sección1 el aire está a 60 psia, 600 R y
500 pies/s. Como e resultado de la transferencia térmica y de la fricción, el aire en la sección 2 aguas abajo se encuentra a 40 psia, 800 R. Calcule la transferencia térmica por libra de aire entre las secciones 1 y 2, así como la presión de estancamiento en la sección 2. RESOLUCION DATOS
