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PROBLEMAS FASE DE DISTRITO
1.- Calcular el valor de la expresión: E ^ sec^ x cosec x 2 tg x^ + cot x• sen x.
2 2
2.- Dada la recta x = a, un punto M(x 1 ,y 1 ) se proyecta ortogonalmente sobre x = a en D y se traza
OM que corta a x = a en B. Una paralela a OX por B corta a OD en N. Hallar la ecuación del lugar geométrico. de N cuando M describe la circunferencia (x-b)^2 + y^2 = b^2.
3 .- Resolver sin calculadora la ecuación : 4 6561. 12 x^ 6 x
4.-a) Determinar el movimiento resultante de tres simetrías centrales respecto a los vértices de un triángulo equilátero de lado 3 cm. Estudiar si el producto es conmutativo. b) Idem simetrías axiales respecto a las mediatrices. Estudiar el grupo que engendran.
5.-Determinar x, y, z en el número 33xy49z para que sea múltiplo de 693.
6.- Siendo M el punto medio del segmento de extremos A y B , estudia el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que PM sea media proporcional entre PA y PB.
7.- Determina la relación entre b y c para que estén en progresión aritmética las raíces de
x 3 bx 2 cx 0
8 - Construir y resolver un triángulo rectángulo en A, conocidos c y a + b.
9.- Al dividir p(x) por (x + 2), (x - 2) y por (x + 3) se obtienen los restos 4, 8 y 13, respectivamente. Determinar el resto de dividir p(x) por (x + 2)(x - 2)(x + 3).
10.-En el cuadrado de vértices A, B, C y D, de lado a, se trazan los arcos BD y AC con centro en C y en D respectivamente, y radio a. Los dos arcos se cortan en M. Hallar el radio del círculo inscrito en el triángulo curvilíneo DMC.
11.- Hallar la suma: S n (^) n n
calculando sus valores para n = 1, 2, 3, 4 para luego demostrar la fórmula por inducción.
12.- Sobre un segmento AB = 2a, tomado como base, se construyen tres triángulos isósceles ACB, AC'B y AC"B, de alturas respectivas a, 2a y 3a. Demostrar que C + C' + C" = 180º.
13.- Se considera el triángulo ABC en el que A = 70º, B = 60º, y el triángulo A'B'C' formado por los pies de las alturas del ABC. Hallar los ángulos A', B', C'.
14.- Demostrar que los números de la serie 16, 1156, 111556, 11115556, ...que se van obteniendo intercalando 15 entre las cifras centrales, son siempre cuadrados perfectos.
15.- Construir un cuadrado cuyos lados o sus prolongaciones pasen por cuatro puntos dados sobre una recta.
16.- Sobre el anillo de los números enteros descomponer el polinomio P = x^5 -209x+56 en producto de dos factores, sabiendo que se anula para dos valores x 1 , x 2 recíprocos entre sí.
17.-Dados dos puntos A y B de la Tierra, supuesta esférica, tales que AB = 60º, hallar la relación entre las alturas x e y, a que deben elevarse dos observadores en las verticales de A y de B para que puedan verse y su valor concreto cuando sea x = y.
18.- Hallar los polígonos regulares cuyos ángulos miden un número entero de grados.
19.- Un depósito cerrado tiene la forma de un cilindro "tumbado" acabado en dos semiesferas por sus lados. Graduar una varilla para medir verticalmente el volumen de liquido contenido en el depósito en función del la altura marcada en la varilla.
20.- Expresar (x - y)^4 como función polinómica de s = x + y, y de p = xy.
21.- Determinar el conjunto de puntos P(x,y) tales que sen(x + y) = senx + seny.
22.- En el conjunto de puntos del plano de coordenadas enteras se define una relación de equivalencia por la condición de ser las primeras coordenadas congruentes módulo 2 y las segundas congruentes módulo 3. Se pide :
a) Número de clases de equivalencia.
b) Buscar el representante de cada clase que está a distancia mínima del origen.
c) Se definen una suma y un producto componente a componente, módulo 2 y 3 en cada una respectivamente. Comprobar que es un anillo y hallar sus divisores de cero.
23.- Resolver la ecuación z^3 =1 y probar que las tres raíces obtenidas forman un grupo multiplicativo. Tabla del grupo.
24.- Construir un rectángulo conociendo un lado a = 6 y la diferencia d-b = 4 entre la diagonal y el otro lado.
25.- Hallar los valores n (entero positivo) para los que N = 2^8 +2^11 + 2n^ es n cuadrado perfecto.
26.- Dos puntos A y B distan 86 km. Un móvil m sale de A hacia B, con velocidad v y otro móvil, n, sale a la vez de B hacia A, con velocidad 3v. Cuando n encuentra a m se vuelve hacia B y al llegar sale de nuevo hacia A. El proceso se repite hasta que los dos coinciden en B. ¿Cuál es la longitud total recorrida por n? ¿qué pasaría si n hubiera salido inicialmente también de A?
27.- Hallar todos los números complejos que verifiquen (^) z z^3
28.- Resolver la siguiente ecuación sabiendo que una de sus raíces es inversa de otra:
2 x^4 3 x 3 3 2 x 2 6 x 2 2 0
29.-Determinar el grupo de movimientos del triángulo equilátero. Tablas.
42.- Por el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo se traza una recta que corta al cateto mayor con un ángulo de 45º. Calcular en función de la hipotenusa, la suma de los cuadrados de los segmentos determinados así en ese cateto.
43.- Dada una circunferencia de radio R, considerar cuatro circunferencias iguales de radio r, tangentes interiormente a la dada y tangentes exteriores cada una de ellas con las otras. Expresar r en función de R, primero exactamente y luego con cuatro decimales del correspondiente coeficiente. Hallar las áreas de los recintos que determinan.
44.-Demostrar que para todo n natural se verifica : 32 n^ ^2 2 6 n^1 0 (mód 11).
45.-Dada una circunferencia y un punto exterior, trazar por él una secante que intercepte en la circunferencia una cuerda de longitud dada.
46.- Siendo A + B + C = 180º demostrar que tg A + tg B + tg C = tg A ·tg B· tg C.
47.- Hallar los valores naturales de x que convierten a la expresión E = x^2 + 5x +160 en un cuadrado perfecto.
48.- Demostar que si en el triángulo ABC se cumple que sen^2 A +sen^2 B + sen^2 C = 2, entonces el triángulo es rectángulo.
49.-Un montón de naranjas se apila cuidadosamente en capas de forma que en el hueco de 4 naranjas de una capa se coloca otra de la capa superior. La primera capa por abajo tiene m filas y n columnas y la última por arriba una sola fila; siendo m el número de diagonales de un decágono y n el menor número que dividido por 4 da resto 3, por 5 da resto 4, y por 6 da resto 5. ¿Cuántas naranjas tiene el montón?
50.- Demostrar que para números reales cualesquiera :x 2 y 2 z 2 xy yz zx
51.- Se tiene una botella de fondo plano circular, cerrada y parcialmente llena en su parte cilíndrica. Discutir en qué circunstancias podemos calcular la capacidad de la botella y en qué forma se haría, si sólo disponemos de un doble decímetro graduado.
52.- Sea C una semicircunferencia de diámetro AB. Se construye una quebrada con origen A, que va alternativamente del diámetro a la semicircunferencia y de ésta al diámetro de modo que los lados formen todos igual ángulo con el diámetro AB, alternativamente de uno y otro signo. Hallar el ángulo para que la quebrada pase por el otro extremo B del diámetro. y la longitud total de la quebrada en función del ángulo y de la longitud a del diámetro.
53.-Se da un triángulo equilátero ABC de centro O y radio OA = r. Las rectas de sus lados dividen al plano en 7 regiones. (el propio triángulo, 3 angulares abiertas y 3 poligonales abiertas) Se pide dibujar y describir las regiones del plano transformadas de una de las angulares y de una de las
poligonales, por la inversión de centro O y radio r^2.
54.-Calcular los valores enteros de x que hacen entera:
x x + 6
2 f ( x)
55.- En el 5º piso de una casa de 7 estoy esperando el ascensor que inicia el ascenso con dos inquilinos dentro. Sabiendo que en cada piso viven 10 personas y que soy ajeno a la casa ¿cuál es la probabilidad de que se pare en el 5º piso?
56.- Para cada natural a definimos la sucesión:
S (^) a : x 1 a , x (^) n+ 1 2 x (^) n 1 (n = 1,2,3,... )
Demostrar que dado cualquier número natural b > 1, existe un único número par p tal que b es término de la sucesión Sp antes definida.
57.- Si z, z’ son números complejos, demostrar: z z z z es número real
iz z
58.- Calcular
(^49) (
(
k k k
k
sabiendo que 11 y 1331 están escritos en base k > 3.
59.- Demostrar que en el triángulo ABC, de lados a ^ b ^ c :
aA bB cC a b c
60.- Calcular: lim n
n n n n
n
61.-De entre los números 1, 2, 3, ..., 2n, se eligen de cualquier forma (n + 1) distintos. Demostrar que entre los números elegidos hay por lo menos dos tales que uno es divisor del otro.
62.- Demostrar :
n N y n n
n n
n 1
63.- En un grupo de 24 alumnos de COU que han escogido al menos una de las asignaturas de Filosofía, Geografía y Matemáticas, 5 alumnos escogen Filosofía y Geografía, 3 Filosofía y Matemáticas, 6 Geografía y Matemáticas. El número de los que escogen sólo una de esas asignaturas es el mismo para las tres. ¿Qué número de alumnos ha escogido cada una de esas asignaturas?
64.- Sea un prisma hexagonal regular. ¿Cuál es la poligonal que partiendo de un vértice de la base, recorre todas las caras laterales y termina en el vértice de la cara superior, situado en la misma arista que el vértice de partida, y tiene longitud mínima?
65.- Se consideran en el plano los conjuntos de números complejos :
A z z ^ i B (^) z z ^ i
arg 2 3 4
Determinar la proyección ortogonal del conjunto intersección de A y B sobre el eje OX.
79.- En una circunferencia de radio 1, se trazan dos cuerdas AB y AC de igual longitud.
a) Construir la cuerda DE que queda dividida en tres partes iguales por sus cortes con AB y AC
b) ¿Cuánto valen los dos segmentos en que queda dividida AB, cuando AB abarca un arco de 90º?
80.- Se consideran las parábolas de ecuaciones:
y cx d c d
x ay b a b
2
2
que se cortan en cuatro
puntos. Demostrar que esos cuatro puntos están en una misma circunferencia.
81.- Demostrar que, si a es natural no nulo, a^4 se escribe, en base 5, con cifras que terminan en uno o en cuatro ceros.
82.- Demostrar que en un grupo de orden par existe al menos un elemento distinto del neutro, que es su propio inverso.
83.- Calcular: lim
n n n n
84.- Dada la función f(x), real y continua en [0,1], demostrar que tiene límite y calcularlo :
B (^) n=
f f n
f n
f
n n n
85.- Demostrar que siendo a y b enteros positivos:
a b
a b a b
¿Cuál de las dos fracciones está más cerca del número 2?
86.- Se colocan doscientos soldados (todos ellos de talla diferente) en formación de 20 columnas y 10 filas. Tomando el soldado más alto de cada una de las 20 columnas, llamemos X al menor de los veinte. Tomando el más bajo de cada una de las 10 filas, llamemos Y al más alto de los diez. ¿ Cuál es más alto X ó Y?
87.- Completar la siguiente fila del triángulo de Tartaglia:
1,......................, 3003, 2002, 1001,....................
88.- Sean P 0 , P 1 , P 2 los afijos de i, 1, 0. Llamemos P 3 al punto en que la perpendicular trazada desde P 2 corta a P 0 P 1 ; sea P 4 al punto en que la perpendicular trazada desde P 3 corta a P 1 P 2 ; y así
sucesivamente. Hallar el límite de la sucesión Pn.
89.- Demostrar que: N = 3 45 + 29 2 3 45 29 2 es entero
90.- Hallar la potencia n-ésima de la matriz A =
Calcular el limite de la sucesión : An n n n n
n n
n k n
k k
k k
k k
k k
92.- Probar que si el producto de n números reales y positivos es igual a 1, su suma es mayor o igual que n.
93.- En el plano, dada una recta r y dos puntos A y B exteriores a la recta, y en el mismo semiplano; se pide determinar un punto M de la recta, tal que el ángulo de r con AM sea doble del de r con BM.
94.- Se eligen aleatoriamente dos números reales entre 0 y 1; calcular la probabilidad de que uno cualquiera de ellos sea menor que el cuadrado del otro.
95.- Calcular :
-2 2 -4x 2
12 x 5
dx mediante su interpretación geométrica.
96.- En el interior de un cuadrado ABCD de lado unidad se toma un punto P y se consideran las cuatro distancias PA, PB, PC, PD. Demostrar que :
a) A lo más una de dichas distancias es mayor que 5 /
b) A lo más dos de dichas distancias son mayores que 1
c) A lo más tres de dichas distancias son mayores que 2 /
97.- Se toma un número A = a 1 a 2 a 3 .... y el número A' = a 1 +a 2 +a 3 +...formado por la suma de sus
cifras. De la diferencia de ambos A - A' = b 1 b 2 b 3. se quita una de sus cifras bi Averiguar cuál es
el valor de esa cifra si nos dan la suma B = b 1 + b 2 + b 3 +... de las restantes cifras de A - A'.
98.- Si se calcula aproximadamente el cuadrado de un número decimal mediante interpolación con una tabla de cuadrados de números naturales, utilizando la misma idea que para hallar el logaritmo de un número no contenido en la tabla, demostrar que el máximo error cometido es menor o igual que 0,
99.- En un plano se dan cuatro puntos fijos A, B, C, D no alineados tres a tres. Construir un cuadrado cuyos lados a, b, c y d sean segmentos a los que pertenezcan respectivamente A, B, C y D.
100.- Demostrar que la ecuación : z^4 +4(i+1)z + 1 = 0 tiene una raíz en cada cuadrante del plano complejo.
101.- Probar que la siguiente sucesión es monótona y acotada. Calcular su límite.
a (^) o 1 ; a (^) n 4 3 a (^) n 1 , n = 1,2,3,...
102.- a) Si 0 < x < 1, probar que x.(1-x) ^ 1/4 ¿Se alcanza la igualdad?.
cuadrantes y a la anterior (excepto la primera que es tangente al lado superior del rectángulo). Si numeramos las circunferencias en orden de tamaños decrecientes se pide demostrar que la expresión para el diámetro dn de la n-ésima circunferencia es:
d
R
n (^) n n
siendo R la altura del rectángulo. Como aplicación demostrar que:
lim n (^) n n
117.- En una circunferencia se dan dos puntos fijos A y B y otro variable M. Sobre la recta AM y fuera de la circunferencia, se toma un punto N tal que MN = MB. Hallar el lugar de N.
118.- En un cuadrilátero arbitrario ABCD se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos. Demostrar que los cuatro puntos de intersección de las bisectrices A y C con B y D son concíclicos.
119.- Dada una circunferencia y dos números positivos h y m, de modo que exista un trapecio ABCD inscrito en la circunferencia, de altura h y suma de sus bases m. Construir dicho trapecio.
120.- Demostrar que para todo entero n se cumple:
a) n^3 -n es divisible por 3.
b) n^5 -n es divisible por 5.
c) n^7 -n es divisible por 7.
121.- Demostrar que :
n n n 2
expresado en forma decimal, da un número periódico
mixto para cualquier n.
122.- La suma de un cierto número de enteros consecutivos vale 1000. Hallar esos enteros.
123.- Encontrar un número de 4 cifras de la forma aabb que sea cuadrado perfecto.
124.- ¿Quién es mayor: 1000^1000 ó 1001^999 ?.
125.- Resolver la ecuación: a a x x.
126.- Resolver: x 2 2 ax a a 2 x
127.- Resolver la ecuación: x 1 x 3 x 1 2 x 2 x 2
128 .- ¿Cuántas raíces tiene la ecuación: sen x?
x (^100).
129.- Encontrar la suma de los coeficientes del polinomio que resulta de operar y reducir términos en la expresión: (1 - 3x + 3x^2 )^743 (1 + 3x - 3x^2 )^744.
130.- Demostrar que en el desarrollo de la siguiente expresión no existen términos de grado impar:
(1 - x + x^2 - x^3 +........ - x^99 + x^100 ) (1+ x + x^2 + x^3 +........+ x^99 + x^100 ).
131.-Resuelve en R el sistema:
x x y y x y xy
4 2 2 4 3 3
132.- Hallar a para que los polinomios: x^2 + ax + 1; y x^2 + x + a tengan al menos una raíz común.
133.- Demostrar que si un polinomio de cualquier grado con coeficientes enteros toma el valor 7 para cuatro valores enteros de x, entonces no puede tomar el valor 14 para ningún valor entero de x.
134.- Dadas dos circunferencias C y C' y un segmento AB de longitud L, hallar una recta paralela a AB que interseque en C y C' cuerdas cuya suma de longitudes valga L.
135.- Dado un triángulo ABC, determinar un punto P tal que los ángulos PAB, PBC y PCA sean iguales.
136- Encontrar dos cifras distintas entre sí A y B tales que el número de la forma BABABA sea múltiplo de AAA, de BBB y de AB, y, sin embargo, BA no sea múltiplo de B.
137.- Un número entero se escribe con tres cifras distintas. Obtenemos tres números de dos cifras cada uno suprimiendo la cifra de las centenas, la de las decenas y la de las unidades. La suma de estos tres números es la mitad del número de tres cifras inicial. Hallarlo.
138.- En la isla de Camelot viven 13 camaleones rojos, 15 verdes y 17 amarillos. Cuando dos de distinto color se encuentra, cambian simultáneamente al tercer color. ¿podría darse la situación en la que todos tengan el mismo color?.
139.- Sobre una cinta métrica de dos metros subdividida en milímetros, señalamos un trazo verde cada 11 mm. y un trazo rojo cada 17 mm, ambos comenzando desde el mismo extremo. Hallar cuántos trazos verdes están, a 1mm. de un trazo rojo.
140.- Un gato está quieto a la izquierda de una ratonera (considerada como un punto) acechando la salida de algún ratón. Sale un ratón que huye hacia la derecha lo más rápido que puede. El gato corre tras él y lo atrapa. Cuándo se dispone a devorarlo ve cómo sale un segundo ratón que huye hacia la izquierda a la misma velocidad que el primero. El gato sale en su persecución y atrapa a su segunda víctima después de una carrera que dura cinco veces más que la anterior. De nuevo se dispone a comérselo cuando ve salir un tercer ratón que huye hacia la derecha algo más despacio que los anteriores debido al reuma que padece. El gato sale tras él y lo caza en un tiempo doble del empleado para el segundo ratón. Con estos datos se trata de hallar la relación Vs/Vr siendo Vs la velocidad del ratón sano y Vr la del ratón con reuma.
152.- Hallar la inversión que transforma tres puntos alineados A,B,C en los vértices de un triángulo equilátero.
153.- Dada la siguiente configuración de los números naturales:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 .............................................................
hallar la suma de los números situados en la n-ésima fila.
154.- Hallar una progresión aritmética tal que la suma de sus n primeros términos valga n^2 para todo n.
155.- En un pentágono regular se trazan las diagonales, que forman otro pentágono regular en su interior. Hallar la razón entre sus áreas.
Demostrar n N n n n n n
y n > 1
157.- Hallar las posiciones de las manecillas de un reloj susceptibles de estar en posición inversa. Es decir la horario en la posición de la minutera y viceversa.
158.- Resolver la ecuación : 4x^3 + 6x^2 + 12x + 5 = 0, sabiendo que existen enteros a y b tales que la ecuación dada puede ponerse en la forma: (x + a)^4 = (x + b)^4
159.- Demostrar que si una ecuación P(x) = 0 tiene dos raíces inversas, éstas también son raíces de
la ecuación P x
. Aplicar el resultado para resolver la ecuación:x 4 4 x 3 3 x 2 8 x 2 0
sabiendo que tiene dos raíces inversas.
160.- En el triángulo ABC, el vértice A es fijo y el ángulo BAC constante. B recorre una recta y el producto AB·AC es constante. Hallar el lugar geométrico de C.
161.- Hallar una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los cubos de las de:
ax^2 + bx + c = 0
162.-En un pentágono regular se trazan las diagonales que forman en su interior otro pentágono regular. Hallar la razón entre sus áreas.
163.- Se tienen dos semirrectas OX y OY con origen común y formando un ángulo x. A y B son dos puntos fijos sobre OX. Se pide:
a) Hallar sobre OY un punto T tal que la diferencia de los ángulos TAB y TBA valga x.
b) Lugar de T al variar x.
164.- Dado un cono recto de generatriz a y diámetro de la base b, determinar un plano paralelo a la generatriz de modo que el segmento parabólico que resulta en la sección tenga área máxima.
165.- Una semicircunferencia de radio r se divide en n + 1 partes iguales. Se une el k-ésimo punto de división con los extremos del diámetro formándose un triángulo. Si llamamos A(k) a su área, hallar el límite cuando n tiende a infinito de la media aritmética de las áreas A(k).
166.- Demostrar que para todo n entero positivo, el número 3n^ - 2n^2 -1 es múltiplo de 8. Probar además que, si n no es múltiplo de 3, entonces 3n^ - 2n^2 -1 es múltiplo de 24.
167.- Si a, b, c son los lados de un triángulo, demostrar: 1 <
a b + c
b a + c
c a + b
168.- En un sistema cartesiano rectangular se dan los puntos A(6,0) y B(-3,0). Por A se traza una recta variable y sobre ella se toma un punto C a distancia 6 de A. Por B se traza una recta paralela a la anterior y sobre ella se toma D distantes 3 unidades de B y en el mismo sentido. Hallar el lugar geométrico del punto P de intersección de AD con BC.
169.- Resolver el sistema siguiente en las incógnitas x,y,z:
x y z a x y z b xy z
2 2 2 2 2
170.- Demostrar que: n N :
2n n
^
^
n n n n 0 1 2 n
2 2 2 2 .........
171.- Sobre una circunferencia se dan tres puntos A,B,C. Construir con regla y compás un cuarto punto D de modo que en el cuadrilátero ABCD se pueda incribir otra circunferencia.
172.- Sea AC la diagonal mayor del paralelogramo ABCD. Desde C se trazan las perpendiculares a AB y AD. Sean E y F los pies de estas perpendiculares. Demostrar que:
AB ·AE AD ·AF AC
2
173.- De tres números x,y,z se conoce su suma S 1 , la suma de sus
cuadrados S 2 y la suma de sus cubos S 3. Hallar el producto xyz.
174.- Se considera la función: f(x) = x^4 - x^3 + x^2 +6x + 4.
a) Hallar para que f(x) tenga dos raíces x 1 y x 2 cuyo producto sea 2.
b) Calcular x 1 y x 2 para el valor de hallado.
c) Para el mismo valor de resolver la ecuación f(x) = 0.
175.-Dadas las ecuaciones con coeficientes complejos:
A B
D C
E
F
186 .- Siendo n múltiplo de 3 , hallar el valor de: ( 1 3 i ) n^ ( 1 3 i)n
187.- Sobre una circunferencia k, se dan tres puntos distintos, A,B,C. Indicar cómo se puede obtener con regla y compás un cuarto punto D sobre k, tal que se pueda inscribir un circulo en el cuadrilátero así construído.
188.- Los cuadrados de los lados de un triángulo ABC son proporcionales a 1, 2 y 3. a) Demostrar que los ángulos formados por las medianas son iguales a los ángulos del triángulo ABC. b) Demostrar que el triángulo cuyos lados son las medianas de ABC, es semejante a ABC.
189.- Dado un ángulo agudo XOY, y un punto A sobre OY, indicar cómo se puede determinar con regla y compás un punto M sobre OY que equidiste de A y del otro lado OX del ángulo.
190.- Sea n un número natural cualquiera. Demostrar que, para todo k < n, la expresión:
(n + 1 )(n + 2) ... (2n - 1 )(2n) es divisible por 2k.
191.- Se consideran los lados del pentágono, hexágono y decágono regulares, inscritos en una misma circunferencia de radio R. Demuéstrese que el triángulo, cuyos lados son los de esos tres polígonos, es rectángulo.
192.-Hallar tres números naturales en progresión aritmética de diferencia 2, tales que la suma de sus cuadrados sea un número de 4 cifras iguales.
193.- Dado un cuadrado de lado a, se trazan arcos de circunferencia, de radio a, con centro en cada uno de los vértices, interiores al cuadrado, dividiendo a éste en 9 regiones, cuatro iguales entre sí, otras cuatro iguales entre sí, y una distinta. Calcular el área de cada uno de los tres tipos de regiones en que ha quedado dividido el cuadrado.
194.- Se considera un polinomio P(x) de grado 100, con coeficientes enteros, todos ellos distintos entre sí, y cuyos valores absolutos son menores o iguales que 50. Determinar si P(x) es divisible por x - 1.
195.- Sean ak y Ak las áreas de los polígonos regulares de k lados, inscrito y circunscrito,
respectivamente, a una misma circunferencia. Demostrar que:
a (^2) n a (^) n ·An
196.- Sin resolver la ecuación cúbica x^3 + ax^2 + bx + c =0, expresar la suma de los cubos de sus raíces en función de los coeficientes a, b, y c.
197.- Sobre una mesa se encuentra una semiesfera de radio 1 con su parte plana hacia abajo. En forma circular, rodeando la semiesfera, se colocan 6 esferas de radio r, de tal forma que cada una es tangente a la semiesfera, a la mesa y a las dos esferas adyacentes. Calcular r.
198.- Se define la sucesión de números complejos {an}, n >1, por
a i
i i n n ^ (^1 ^ )(^1 ^ ).........(^ ). 2
Averiguar si existe un número natural m tal que:
|a (^) n (^)
a^ n n
m 1 1
199.- La ecuación x^3 + ax^2 + bx+ c = 0, (c no nulo), tiene tres raíces distintas en progresión geométrica y cuyos inversos pueden ordenarse de modo que formen progresión aritmética. Hallar b y c en función de a.
200.- Sea ABC un triángulo cualquiera. Exteriormente a él se construyen dos cuadrados BAEP y ACRD de lados AB y AC, respectivamente. Sean M y N, respectivamente, los puntos medios de BC y ED. Demostrar que AM es perpendicular a ED y que AN es perpendicular a BC.
