Introducción al análisis matemático: funciones y sus propiedades, Apuntes de Cultura Rusa

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INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS

MATEMÁTICO

FUNCIONES

DEFINICION: Es una regla que asocia a cada elemento de un

conjunto A un único y en B, talque que 𝒚 = 𝒇(𝒙). Es decir

Ejemplos:

Hallar dominio y rango de las siguientes funciones:

2

Solución:

Dominio Rango

2

2

2

2

2

2

2

Luego el rango de f es:

Dominio

Rango

Ejemplo

2 ; 𝑥 ≥ 0 Dominio: −∞, 0 ∪ 0 , +∞ = ℝ

Rango: −∞, 1 ∪ 0 , +∞ = ℝ

Funciones Especiales

1. Función Constante

Ejemplo

3. Función Cuadrática

𝟐

• 𝒃𝒙 + 𝒄; 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝝐ℝ 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ 𝑹 𝒇 = ℝ

Ejemplo

2 − 4 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ Rango 𝑥𝜖ℝ ⟹ 𝑥 − 1 ∈ ℝ ⟹ (𝑥 − 1 ) 2 ≥ 0 ⟹ (𝑥 − 1 ) 2 − 4 ≥ − 4 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑓(𝑥) ≥ − 4 𝑅 𝑓 = − 4 , ∞

4. Función Valor Absoluto

Ejemplo

Funciones Polinómicas

𝑛

• 𝑎𝑛− 1 𝑥 𝑛− 1 … … 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 0 ; 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛− 1 , … 𝑎 1 , 𝑎 0 ∈ ℝ; 𝑎𝑛 ≠ 0. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 6 𝑥 2 + 8𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ; 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

Ejemplo

Función Racional

Ejemplo 𝒇 𝒙 = 𝒙 = 𝒏 ⟺ 𝒏 ≤ 𝒙 < 𝒏 + 𝟏; 𝒏 ∈ ℤ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ; 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℤ 𝒇 𝒙 = 𝒙 = 𝒏 =

Función Máximo Entero

Función Escalón Unitario

Ejemplo

Algebra de Funciones

Dadas las funciones f y g cada uno con D(f) y D(g), sus dominios respectivamente;

entonces

Suma

Resta

Producto

División

Composición de Funciones

Dadas las funciones f y g cada uno con D(f) y D(g), sus dominios respectivamente; entonces Dominio de la Composición 𝐷(𝑓𝑜𝑔) = 𝐷(𝑔) ∩ 𝑥 / 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷(𝑓) Regla de Correspondencia (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔 𝑥 );

Ejemplo

Dadas las funciones f y g, hallar fog y gof. 𝑓 𝑥 =

2 ; 𝑥 ≥ 0 y 𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 4 ; 𝑥 ∈ − 3 , 6 Solución Se tiene que hallar: f 1 og y f 2 og:

𝐷(𝑓 1 𝑜𝑔) =] − 3 , 6 ] ∩ {𝑥 / 3𝑥 + 4 ∈ −∞, 0 }

(𝑓 1 𝑜𝑔) =] − 3 , 6 ] ∩ −∞, −

𝑥 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 2 𝐷( 𝑓 2 𝑜𝑔) =] − 3 , 6 ] ∩ {𝑥 / 3𝑥 + 4 ∈ [ 0 , ∞[} (𝑓 2 𝑜𝑔) =] − 3 , 6 ] ∩ −

2 Resumiendo 𝑓𝑜𝑔 𝑥 =