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INSTITUTO TECNOL OGICO METROPOLITANO´
Matem´aticas B´asicas Grupo de docentes de Matem´aticas B´asicas
1. Conjuntos Num´ericos
Introducci´on Los conjuntos conformados por n´umeros ocupan un lugar de especial importancia en el mundo de las matem´aticas. Seguramente ha escuchado, o incluso trabajado, con distintos tipos de n´umeros como por ejemplo 2 , − 6 , − 85 , √7, todas estas expresiones hacen parte de diferentes conjuntos de n´umeros, llamamos a estos conjuntos num´ericos. Los conjuntos de n´umeros han ido apareciendo a medida que la humanidad se ha visto en la necesidad de solucionar problemas y retos cada vez m´as complejos y m´as profundos. Se dice que un n´umero pertenece a un conjunto, y se escribe ∈, si hace parte del conjunto, en caso contra- rio, se dice que no pertenece y se escribe ∈/. Cuando se comparan dos conjuntos se habla de una relaci´on de contenci´on y se dice que un conjunto A est´a contenido en otro conjunto B, si todos los n´umeros del conjunto A est´an en el conjunto B, y se escribe A ⊆ B, en caso contrario se dice que A no est´a contenido en B y se escribe A * B
Definici´on 1.1 Los n´umeros Naturales N. Este conjunto surge de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
N = { 1 , 2 , 3 ,.. .}
Definici´on 1.2 Dados 2 n´umeros naturales a y b, decimos que b es un divisor de a, o que b divide a a, si existe un n´umero natural c tal que bc = a, tambi´en que ab = c
Ejemplo 1.3 El 4 es un divisor de 32 ya que 32 /4 = 8, mientras que 7 no es un divisor de 40 ya que 40 / 7 no es exacta (no existe el natural)
En los n´umeros naturales sobresalen 2 subconjuntos:
Definici´on 1..
- Los n´umeros primos. Un n´umero p es primo si tiene exactamente 2 divisores.
- Los n´umeros compuestos. Un n´umero es compuesto si tiene m´as de 2 divisores.
Ejemplo 1.5 1. Los n´umeros primos menores que 100 son:
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 y 97
- Los n´umeros 6 , 15 , 60 , 341 , 1001 son n´umeros compuestos
Observaci´on:
- El ´unico n´umero primo par es el 2, o en otras palabra, todo n´umero par, diferente de 2 es compuesto.
- Existen infinitos n´umeros primos.
- El n´umero 1 no se considera ni primo, ni compuesto.
- Existe un teorema (Teorema Fundamental de la Aritm´etica) que garantiza que todo n´umero natural 6 = 1 es primo ´o se puede descomponer como producto de n´umeros primos.
Definici´on 1.6 Los n´umeros Enteros Z. Los n´umeros enteros surgen como extensi´on de los natura- les cuando se necesita considerar cantidades negativas, es decir, ante la imposibilidad de resolver en N ecuaciones como x + 1 = 0, donde aparecen las restas Los n´umeros enteros son la uni´on de los n´umeros naturales, sus negativos y el cero.
Z = N ∪ N−^ ∪ { 0 } = {... − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .}
Donde N−^ denota los negativos de los naturales, tambi´en llamados enteros negativos
Observaci´on: El n´umero 0 no se considera ni positivo, ni negativo
Definici´on 1.7 Los n´umeros Racionales Q. Puesto que, por ejemplo, la ecuaci´on 2 x = 1 no admite soluci´on en el conjunto de los enteros, es necesario definir nuevamente otro conjunto num´erico que, conteniendo a todos los enteros, permita resolver ecuaciones como la anterior. El conjunto de los n´umeros racionales es el conjunto formado por los n´umeros de la forma ab donde a, b ∈ Z y b 6 = 0. a se llama el numerador, y b el denominador
Q =
{ (^) a b |^ a, b^ ∈^ Z^ y^ b^6 = 0
Definici´on 1..
- Una fracci´on ab decimos que es propia, si a es menor que b.
- Una fracci´on ab decimos que es impropia, si a es mayor o igual que b.
Observaci´on: Al expresar un n´umero racional, en forma decimal (realizar la divisi´on) se pueden presentar dos posibilidades: a) Que el n´umero tenga finitas cifras decimales (puede no tener), o b) Que el n´umero tenga infinitas cifras decimales pero peri´odicas.
Ejemplo 1.9 1. 84 = 2, 655 = 13, 100111 = 91 no tienen cifras decimales
Completar la siguiente tabla usando ∈ o ∈/ seg´un el n´umero pertenezca o no al conjunto dado
N Z Q Q∗^ R − 7 − 11 / 3 −
π/ 2
Soluci´on: N Z Q Q∗^ R − 7 ∈/ ∈ ∈ ∈/ ∈ − 11 / 3 ∈/ ∈/ ∈ ∈/ ∈ −√ 7 ∈/ ∈/ ∈/ ∈ ∈ √− 25 ∈/ ∈/ ∈/ ∈/ ∈/ √ (^3) − 125 ∈/ ∈ ∈ ∈/ ∈ 23 , 81 ∈/ ∈/ ∈ ∈/ ∈ 182 / 13 ∈ ∈ ∈ ∈/ ∈ π/ 2 ∈/ ∈/ ∈/ ∈ ∈
2. Propiedades de los n´umeros reales
El conjunto de n´umeros reales R junto con las operaciones de adici´on y multiplicaci´on se llama sistema de los n´umeros reales. Las reglas b´asicas del ´algebra para este sistema permiten expresar hechos matem´aticos en formas simples y concisas, y resolver ecuaciones para dar respuestas a preguntas matem´aticas. Las propiedades b´asicas del sistema de los n´umeros reales respecto de las operaciones de adici´on (simbolizada con +) y multiplicaci´on o producto (simbolizada con los signos ∗ o ×) se presentan a continuaci´on: Sean a, b y c n´umeros reales, se cumple que:
- Cerradura o Clausurativa
a + b ∈ R a ∗ b = ab ∈ R
- Conmutativa
a + b = b + a ab = ba
- Asociativa
a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c a(bc) = (ab)c = abc
- Existencia del neutro (Identidad)
Existe el 0, tal que a + 0 = 0 + a = a para todo a ∈ R Existe el 1, tal que a1 = 1a = a para todo a ∈ R Definici´on 2.1 0 se llama el neutro o m´odulo para la suma 1 se llama el neutro o m´odulo para el producto
- Existencia de inverso
para cada a, existe −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0 para cada a 6 = 0, existe a^1 tal que a (^1) a =^1 a a = 1 Definici´on 2.2 −a se llama el inverso aditivo (para la suma) de a 1 a se llama el inverso multiplicativo (para el producto) o rec´ıproco de^ a Observaci´on: a) En el conjunto de los n´umeros Naturales NO se cumplen las propiedades del m´odulo para la suma, ni los inversos aditivo y multiplicativo. b) En el conjunto de los n´umeros Enteros NO se cumple la propiedad del inverso multiplicativo. c) En el conjunto de los n´umeros Irracionales NO se cumplen las propiedades de las cerraduras (suma y producto), ni los m´odulos (suma y producto).
- Distributiva
a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc
Ejemplo 2.3 Enuncie la(s) propiedad(es) de los n´umeros reales que se aplicada(n) en cada una de las expresiones dadas, donde x, y, z representan n´umeros reales.
- 3 + (x + 4) = (3 + x) + 4
- y(z − 2) = (z − 2)y
- −π + π = 0
- (2x − 5) · 1 = (2x − 5)
- 3(x + 0) = 3x + 3(0) = 3x
- (x + 2) + 3z = (3z + x) + 2
Soluci´on
- Propiedad Asociativa de la suma
- Propiedad Conmutativa del producto
- Propiedad de inverso para la suma
- Propiedad del m´odulo para el producto
- Propiedades distributiva y m´odulo para la suma
- Propiedades conmutativa y asociativa para la su- ma
Definici´on 2.4 Dados dos n´umeros reales a, b se definen: La resta: a − b = a + (−b) La divisi´on: Si b 6 = 0, ab = a ÷ b = a ∗ (^1) b
Leyes de los signos
Suma: *Cuando se suman dos n´umeros de igual signo, los n´umeros se suman y se conserva el signo *Cuando se suman dos n´umeros de diferente signo, los n´umeros se restan y se conserva el signo del mayor (en valor absoluto) Multiplicaci´on: *Cuando se multiplican (dividen) dos n´umeros de igual signo, el resultado es un n´umero positivo *Cuando se multiplican (dividen) dos n´umeros de diferente signo, el resultado es un n´umero negativo
Observaci´on: Cuando se tienen varias operaciones matem´aticas y/o s´ımbolos de agrupaci´on, existe un orden (de prioridad) en el que se debe operar, como sigue: PRIMERO: Si hay par´entesis ( ), [ ], o { } se efect´uan primero las operaciones entre estos s´ımbolos SEGUNDO: Si no hay estos s´ımbolos, se realizan las multiplicaciones (divisiones) TERCERO: Por ´ultimo se realizan las sumas (restas)
Ejemplo 2.6 Encontrar el valor de:
5 + 2{2(4 − 3) − 2[(2 − 5)(4 + 1)]} − 2 + 6[4 − 3(2 + 1)]
Soluci´on: 5 + 2{2(4 − 3) − 2[(2 − 5)(4 + 1)]} − 2 + 6[4 − 3(2 + 1)] = 5 + 2{2(1) − 2[(−3)(5)]} − 2 + 6[4 − 3(3)] = 5 + 2{ 2 − 2[−15]} − 2 + 6[4 − 9] = 5 + 2{2 + 30} − 2 + 6[−5] = 5 + 2{ 32 } − 2 − 30 = 5 + 64 − 2 − 30 = 37
3. Operaciones con Naturales
3.1. Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son muy ´utiles ya que nos permites encontrar los factores primos de un n´umero natural y as´ı poderlo descomponer es sus factores primos. Algunos criterios de divisibilidad son:
Divisibilidad por 2 : Un n´umero es divisible por 2 si su ´ultimo d´ıgito es 0, 2 , 4 , 6 , o 8
Divisibilidad por 3 : Un n´umero es divisible por 3 si la suma de sus d´ıgitos es m´ultipo de 3
Divisibilidad por 5 : Un n´umero es divisible por 5 si su ´ultimo d´ıgito es 0 o 5
Divisibilidad por 11 : Un n´umero es divisible por 11 si al sumar los d´ıgitos de las posiciones pares,
y restarle la suma de los d´ıgitos de las posiciones impares d´a 0 o m´ultiplo de 11
3.2. M´aximo Com´un Divisor (mcd) y M´ınimo Com´un M´ultiplo (mcm)
Dados dos o m´as n´umeros naturales, se definen:
Definici´on 3.1 El m´aximo com´un divisor (mcd) es el mayor n´umero natural que es divisor com´un de todos ellos.
Para calcularlo, se descomponen los n´umeros en factores primos y el mcd es el producto de los factores comunes a todos los n´umeros con el menor exponente.
Definici´on 3.2 El m´ınimo com´un m´ultiplo (mcm) es el menor n´umero natural que es m´ultiplo com´un de todos ellos.
Para calcularlo, se descomponen los n´umeros en factores primos y el mcm es el producto de los factores comunes y los no comunes a los n´umeros con el mayor exponente.
Ejemplo 3.3 Determinar el mcd y el mcm de 3960 y 6300 Soluci´on: Lo primero es descomponer los n´umeros en factores primos Se tiene que 3960 = 2^3 ∗ 32 ∗ 5 ∗ 11 , 6300 = 2^2 ∗ 32 ∗ 52 ∗ 7 De donde el mcd(3960, 6300)= 2^2 ∗ 32 ∗ 5 = 180 y el mcm(3960, 6300) = 2^3 ∗ 32 ∗ 52 ∗ 7 ∗ 11 = 138, 600
4. Operaciones con fraccionarios
Sean a, b, c, d n´umeros reales, suponemos los denominadores diferentes de 0 en cada caso:
- Multiplicaci´on (producto): ab · cd = acbd
- Divisi´on: ab ÷ (^) dc = ab · dc = adbc , o tambi´en a/bc/d = adbc (producto de extremos en el numerador, y producto de medios en el denominador)
- Suma (resta) con igual denominador: ab ± cb = a^ ±b^ c
- Suma (resta) con diferente denominador (forma general): ab ± (^) dc = ad^ bd±^ bc
- Suma (resta) usando m´ınimo com´un m´ultiplo: si m = mcm{b, d} entonces ab ± (^) dc = a(m/b)^ ± m^ c(m/d)
