¡Descarga Resolución de problemas de cálculo: funciones, integrales y sistemas de ecuaciones - Prof. y más Ejercicios en PDF de Ingeniería Química solo en Docsity!
1er Cognom 2on Cognom Nom
Identificador / Grup (poseu una ×)
Identificador M1 M2 T1 T
Càlcul, Curs 2016-2017/
Professorat: Magda Ruiz (M1), Francesc Pozo (M2), Mercè Claverol (T1), Joan Trias (T2)
Coordinadors: Francesc Pozo, Luis E. Mujica
- Abans de lliurar l’examen assegureu-vos que:
- Heu respost les preguntes en fulls separats.
- Heu posat el vostre nom i cognoms a tots els fulls.
- Heu indicat quin és el vostre grup.
- Heu afegit el vostre identificador a tots els fulls.
Atenció
Segon Examen Parcial. 07/06/2017, 11:
1 [25 punts] Considereu la funció f : R → R definida com
f (x) =
x − exp(−x), x ≤ 1
1
4 x − x 2 − 5
e
, x > 1
(a) [5 punts] Calculeu f ′ (x) per a tot valor de x ∈ R, sabent que la funció és contínua en tot el seu domini, que 4 x−x 2 − 5 <
0 per a tot x, que f ′ − (1) = 1 + e − 1 i que f ′
Solució. El fet que les derivades laterals en el punt x = 1
f
′ −(1) = 1 +^ e
− 1 6 = f
′ +(1) =^ −^1 /^2
siguin diferents implica que la funció f (x) no és derivable en aquest punt. En canvi, sí que ho serà en la resta de punts,
ja que la funció és suma o quocient de funcions derivables. La derivada de primer tros és igual a
d
dx
(x − exp(−x)) = 1 + exp(−x),
mentres que la derivada del segon tros és igual a
d
dx
4 x − x 2 − 5
e
2 x − 4
(4x − x 2 − 5) 2
Per tant, la funció derivada és:
f
′ (x) =
1 + e
−x , x < 1
2 x − 4
(4x − x 2 − 5) 2
, x > 1
És important remarcar que la funció f
′ (x) no està definida en x = 1.
(b) [10 punts] Calculeu els extrems absoluts de la funció f (x) a l’interval [0, 5].
Solució. Els candidats a extrem absolut són els extrems de l’interval, x = 0 i x = 5; els punts on la funció no és
contínua (no n’hi ha); els punts on la funció no és derivable, x = 1; i els punts de derivada zero. Aquests últims punts
no els tenim calculats.
Quan x < 1 , f
′ (x) = 1 + e
−x que no és mai zero.
Quan x > 1 , f
′ (x) =
2 x − 4
(4x − x 2 − 5) 2
que és zero quan el numerador és zero. En efecte,
2 x − 4 = 0 ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2.
Per buscar els extrems absoluts, avaluem la funció en aquests quatre punts. En efecte,
f (0) = 0,
f (1) = 1 −
e
f (2) =
e
f (5) =
e
És evident que
f (0) < f (2) < f (1) < f (5),
el que implica que x = 0 és el mínim absolut i que x = 5 és el màxim absolut.
(c) [10 punts] Calculeu els extrems relatius de la funció f (x) a l’interval [0, 5].
Solució. Amb la informació de l’apartat anterior, només cal saber quin és el comportament de la funció (creixent o
decreixent) en els intervals definits pels punts candidat a extrem. En efecte,
- La funció és creixent a l’interval (0, 1) ja que f
′ (1/2) = 1 + e
− 1 / 2
- La funció és decreixent a l’interval (1, 2) ja que f
′ (3/2) < 0 (el numerador és negatiu i el denominador sempre és
positiu).
- La funció és creixent a l’interval (2, 5) ja que f ′ (3) < 0 (el numerador és positiu i el denominador sempre és
positiu).
Per tant, el punt x = 1 és un màxim relatiu i el punt x = 2 és un mínim relatiu.
(c) [10 punts] Feu servir el polinomi de Taylor per aproximar el valor de ln(1.5). Feu servir el terme del residu per fitar
l’error màxim que es comet quan s’aproxima ln(1.5).
Solució. En aquest cas,
ln(1.5) = ln
= f (1) ≈ Tf (1) =
El terme del residu quan s’aproxima f (1) per Tf (1) ve donat per
|R 3 (1)| =
f
(4) (c)
4
, c ∈ (0, 1).
Donat que
f
(4) (x) =
3 8 ( 1 +
x 2
aleshores,
|R 3 (1)| =
− 3 8 (1+ c 2 )
4
4
c 2
Donat que c ∈ (0, 1), aleshores
c
c
el que implica que
c 2
) 4 <^1
Per tant,
|R 3 (1)| =
− 3 8 (1+^ c 2 )
4
4
c 2
L’error exacte és
|ln(1.5) − 5 / 12 | = 0. 0112015586 ,
que és clarament inferior a la predicció
|ln(1.5) − 5 / 12 | = 0. 0112015586 < 0 .015625 =
1er Cognom 2on Cognom Nom
Identificador / Grup (poseu una ×)
Identificador M1 M2 T1 T
3 [25 punts] Calculeu les integrals següents (tots els apartats tenen la mateixa puntuació):
(a 1 )
tan
2 (x)dx =
(a 2 )
x √ x^2 − 2
dx =
(a 3 )
3 x
3
x 2 (x 2
dx =
(a 4 )
∫ (^) eπ
1
sin(ln(x))dx =
Solució.
(a 1 )
∫
tan
2 (x)dx =
1 + tan
2 (x) − 1
dx =
1 + tan
2 (x)
dx −
dx
= tan(x) − x + C, C ∈ R.
(a 2 ) Si apliquem el canvi de variable u = x
2 − 2 , du = 2xdx, ens queda:
∫ x √ x 2 − 2
dx =
u
du =
u + C =
x 2 − 2 + C, C ∈ R.
(a 3 ) Primer cal expressar la funció racional com a suma de fraccions simples. En efecte,
3 x 3
x 2 (x 2
A
x
B
x 2
Cx + D
x 2
Ax(x 2
x 2 (x 2
Igualant els numeradors i considerant quatre valors per a la x, obtenim:
x = 0 ⇔ −1 = B
x = 1 ⇔ 3 = 2A + 2B + C + D
x = − 1 ⇔ −5 = − 2 A + 2B − C + D
x = 2 ⇔ 25 = 10A + 5B + 8C + 4D
Sumant la segona i la tercera equació tenim:
−2 = 4B + 2D ⇒ D =
− 2 − 4 B
Si aïllem la C de la segona equació obtenim:
C = 3 − 2 A − 2 B − D = 3 − 2 A + 2 − 1 = 4 − 2 A
Substituint el valor de C en la quarta equació, obtenim:
25 = 10A − 5 + 8(4 − 2 A) + 4 ⇔ 25 = − 6 A + 31 ⇔ A =
Finalment, C = 4 − 2 A = 4 − 2 = 2. Per tant,
3 x 3
x 2 (x 2
x
x 2
2 x + 1
x 2
Aleshores,
∫ 3 x 3
x 2 (x 2
dx =
x
dx +
x 2
dx +
2 x
x 2
dx +
x 2
dx
= ln |x| +
x
2
1er Cognom 2on Cognom Nom
Identificador / Grup (poseu una ×)
Identificador M1 M2 T1 T
4 [25 punts] Considereu la funció F (s) definida com
F (s) =
+∞
0
f (t)e
−st dt,
on f (t) = e
t
. Per a cada valor de s ∈ R, F (s) representa una integral impròpia de primera espècie.
(a) [10 punts] Estudieu la convergència de la integral impròpia F (3). En cas que sigui convergent, doneu el seu valor.
Solució. Calcularem, inicialment, una primitiva de la funció gs(t) = f (t)e
−st = e
t e
−st = e
−(s−1)t
. En efecte,
e
−(s−1)t dt = −
e −(s−1)t
s − 1
Aleshores, si s = 3, la primitiva és G 3 (t) = −
e
− 2 t
. Per tant,
F (3) =
0
e
− 2 t dt = lim b→+∞
∫ (^) b
0
e
− 2 t dt = lim b→+∞
[G 3 (t)]
b 0 = lim b→+∞
[
e
− 2 t
]b
0
= lim b→+∞
[
e
− 2 b
]
ja que
lim b→+∞
−e − 2 b
Per tant, la integral impròpia de primera espècie F (3) és convergent de valor 1 / 2.
(b) [5 punts] Estudieu la convergència de la integral impròpia F (−3). En cas que sigui convergent, doneu el seu valor.
Solució. Si ara s = − 3 , la primitiva és G− 3 (t) =
e 4 t
. Per tant,
F (−3) =
+∞
0
e
4 t dt = lim b→+∞
b
0
e
4 t dt = lim b→+∞
[G− 3 (t)]
b 0 = lim b→+∞
[
e 4 t
]b
0
= lim b→+∞
[
e 4 b
]
ja que
lim b→+∞
e
4 b
Per tant, la integral impròpia de primera espècie F (−3) és divergent.
(c) [10 punts] Plantegeu (no cal resoldre) la integral definida que és necessària per calcular l’àrea limitada per les gràfiques de
les funcions f 1 (t) = −f (t) i f 2 (t) = −
e − 2 t
2 entre el seu únic punt de tall i el punt t = 2.
Solució. L’únic punt de tall entre les dues funcions el trobarem resolent l’equació
−e
t = −
e − 2 t
En efecte,
−e
t = −
e
− 2 t
e
− 2 t
e t
⇔ 2 = e
− 3 t ⇔ ln(2) = − 3 t ⇔ t =
− ln(2)
Quina de les dues funcions és més gran en l’interval (− ln(2)/ 3 , 2)? Donat que
− ln(2)
podem avaluar les dues funcions en t = 0. Aleshores,
f 1 (0) = −e
0 = − 1 < f 2 (0) = −
e 0
Per tant, la integral definida que caldria plantejar és
2
− ln(2)/ 3
[f 2 (t) − f 1 (t)] dt =
2
− ln(2)/ 3
[
e
− 2 t
t
]
dt =
2
− ln(2)/ 3
2 e
t − e
− 2 t
dt
