DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA (BIOMATEMÁTICA)
3)
Matemáticas
Curso 2006/2007
1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.1. 1.2.
3
2
t t y = + y
y
2
12() (
y y
y t
ee
1.3.
220
t y dt t y dy
yt
1.4. 32
1
sen 6
y y´ =
t
tt
1.5. cos sen ´=sen y t y y cost
2. Hallar la ecuación de la familia de curvas tales que la normal en cualquiera de sus puntos pasa por el origen de
coordenadas. Destacar la curva de la familia que pasa por el punto de coordenadas (1,1).
3. a. Sea y(t) la función de efectivos de una población (t en días), para la que y(0)=20, y(2)=40, y(4)=60.
Demostrar que y(t), en estas condiciones no puede seguir una ley de crecimiento de Malthus.
b. Demostrar que si las condiciones iniciales para y(t) son y(0)=20, y(2)=40, y(4)=80, entonces puede seguir una
ley de Malthus pero no es posible que siga una ley logística.
c. Considérese la situación tal como se presenta en el apartado (a) y supóngase que esa población sigue una ley
logística. Calcúlense los coeficientes r y K, el instante en que el crecimiento es máximo y el instante en que la
población está formada por 80 individuos.
d. Considérese la situación tal como se presenta en el apartado (b) y supóngase que, en efecto, esa población
sigue una ley de Malthus. Calcúlese el valor de la tasa de crecimiento instantáneo y el instante en que la
población está formada por 60 individuos.
4. Una población y(t), (t en horas) integrada inicialmente por yo individuos, evoluciona de acuerdo con la Ley
Logística (Verhulst), duplicándose al cabo de 2 horas y triplicándose al cabo de 4 horas. Calcular:
a. El tope K en función de yo.
b. El instante en que el crecimiento es máximo.
c. La tasa de crecimiento instantáneo, ¿depende del valor de yo?
d. Si yo =250, ¿en qué instante la población contendrá 900 individuos? ¿En que instante contendrá 1.000?
5. Una población de efectivos y(t) crece de acuerdo con la ley logística; inicialmente y(0)=40. Se duplica al cabo de
dos horas y el tope o nivel de saturación es K=1000. Calcular:
a. Los efectivos al cabo de 4 horas.
b. Las tasas de crecimiento instantáneas para t = 2 y para t = 4.
c. Las coordenadas del punto de inflexión de la curva de efectivos.
6. Considérense los siguientes supuestos sobre los efectivos contabilizados para t=4 y para t=8, midiendo el tiempo
en horas, de una población y(t):
(4) = 2 ;
(8) = 6 0
0
y
y
y
y
(4) = 3 ;
(8) = 9 0
0
y
y
y
y (4) = 3 .
(8) = 6 0
0
y
y
y
y
a. Analícese, cada uno de ellos, con la hipótesis de que la población pudiera evolucionar, bien siguiendo una
ley de Malthus, bien siguiendo una ley logística o de Verhulst.
b. En los casos en que sea posible un crecimiento malthusiano, calcúlese la tasa instantánea de
crecimiento.
c. En los casos en que sea posible un crecimiento logístico, calcúlense los parámetros r y K del modelo, así
como el punto de inflexión de la curva y(t) de efectivos.
d. Si y(0)=y0=100, calcúlense en cada modelo, los instantes en que se alcanzan 800 y 1000 individuos.
7. El número de células que componen un tumor es, inicialmente 104.. El crecimiento de dicho tumor puede
responder a una de las dos leyes siguientes:
1
() ( ) = () 1 (
( ) () ()
-a t
i y t r y t y t) (Logistica o Verhulst)
K
ii y t = r y t (de Gompertz)
e
