Modelización y resolución de problemas de programación lineal y no lineal con GAMS, Ejercicios de Matemáticas

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ENUNCIADOS

DE

TRABAJO

EN GRUPO

GRUPO 20

PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA

INDICE:

ENUNCIADO 5

ENUNCIADO 16

ENUNCIADO 24

ENUNCIADO 37

SALIDA GAMS ENUNCIADO 5

SALIDA GAMS ENUNCIADO 16

SALIDA GAMS ENUNCIADO 24

SALIDA GAMS ENUNCIADO 37

ENUNCIADO 5.-

A) Plantea el problema indicando claramente el significado de

todas las variables de decisión y clasificalo según su estructura.

VARIABLES: X: Número de unidades producidas del producto 1 Problema Y: Número de unidades producidas del producto 2 F 0 E 0 Programación Z: Número de unidades producidas del producto 3 Lineal

PLANTEAMIENTO:

Max Bº= 50x + 20y + 25z s.a 9x + 3y + 5z 500 5x + 4y 350 3x + 2z 150 z 20 x, y ,z, 0

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU ESTRUCTURA :

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL

---- EQU R1 -INF 500.000 500.000 4.

---- EQU R2 -INF 350.000 350.000 1.

---- EQU R3 -INF 118.571 150..

---- EQU R4 -INF 20.000 20.000 1.

---- EQU OBJ... 1.

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL

---- VAR X. 26.190 +INF.

---- VAR Y. 54.762 +INF.

---- VAR Z -INF 20.000 +INF.

---- VAR B -INF 2904.762 +INF.

**** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT

0 INFEASIBLE

0 UNBOUNDED

C) Escribe la solución óptima del problema.

X=26,190, y=54,762, z=20, s=0, s=0, s=31,43, s*=

B*= 2904,

D) Escribe el problema en forma estándar, identifica las variables

básicas y no básicas de la solución e identifica si la solución es única y/o degenerada.

Max Bº= 50x + 20y + 25z s.a 9x + 3y + 5z + s = 500 5x + 4y + s= 350 3x + 2z + s= 150 z + s= 20

x, y ,z, s , s, s, s 0

VARIABLES BÁSICAS F 0 E 0 EN NEGRITA

x=( x , y , z , s , s, s , s) c= (50, 20, 25, 0, 0, 0, 0)

A= b=

B= F 0E 0 B=

Bx A = Bx b=

• (^) Se trata de un problema acotado (Maximizar Wj0, j), con solución única ya que Wj de las variables básicas =0, y Wj<0 de las variables no básicas.
• (^) Añadir que estamos ante un problema con solución no degenerada , puesto que el valor de las variables básicas es no nulo.

E) Escribe la tabla óptima del Simplex

x y z s s s s

50 x 1 0 0 4/21 -1/7 0 -20/21 26,

20 y 0 1 0 -5/21 3/7 0 25/21 54,

25 z 0 0 1 0 0 0 1 20

0 s 0 0 0 -2/21 -3/7 1 10/21 31,

Zj 50 20 25 100/21 10/7 0 925/21 2904,

Wj 0 0 0 -100/21 -10/7 0 -925/

B) Resuelve el problema utilizando el programa GAMS.

* EJERCICIO 16

OPTION LP=CPLEX ;

*BLOQUE VARIABLES

VARIABLES A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, C2, D5, I;

POSITIVE VARIABLES A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, C2, D5;

*BLOQUE ECUACIONES

EQUATIONS R1, R2, R3, R4, R5, OBJ;

R1.. A1 + B1 =L= 60000;

R2.. A2 + B2 + C2 =L= 60000 - A1 - B1;

R3.. A3 + B3 =L= 60000 - A2 - B1 - B2 - C2;

R4.. A4 =L= 60000 - A3 - B2 - B3 - C2;

R5.. D5 =L= 60000 - A4 - B3 - C2;

OBJ.. I =E= 1.40(A1 + A2 + A3 + A4) + 1.70(B1 + B2 + B3) + 1.90C2 + 1.30D5;

*BLOQUE MODELO

MODEL EJERCICIO16 /ALL/;

EJERCICIO16.OPTFILE=1;

*BLOQUE SOLUCION

SOLVE EJERCICIO16 USING LP MAXIMIZING I;

S O L V E S U M M A R Y

MODEL EJERCICIO16 OBJECTIVE I

TYPE LP DIRECTION MAXIMIZE

SOLVER CPLEX FROM LINE 20

**** SOLVER STATUS 1 NORMAL COMPLETION

**** MODEL STATUS 1 OPTIMAL

**** OBJECTIVE VALUE 246000.

RESOURCE USAGE, LIMIT 3.625 1000.

ITERATION COUNT, LIMIT 5 10000

Reading parameter(s) from "D:\Nueva carpeta\proG.MATEMATICA\cplex.opt"

>> OBJRNG ALL

>> RHSRNG ALL

Finished reading from "D:\Nueva carpeta\proG.MATEMATICA\cplex.opt"

Optimal solution found.

Objective : 246000.

EQUATION NAME LOWER CURRENT UPPER

R1 6e+004 6e+004 +INF

R2 0 6e+004 6e+

R3 0 6e+004 6e+

R4 6e+004 6e+004 1.2e+

R5 0 6e+004 +INF

OBJ -INF 0 +INF

VARIABLE NAME LOWER CURRENT UPPER

A1 0.4 1.4 +INF

A2 -INF 1.4 2.

A3 0.4 1.4 +INF

A4 1.3 1.4 2.

B1 -INF 1.7 2.

B2 -INF 1.7 2.

B3 -INF 1.7 2.

C2 -INF 1.9 4.

D5 0.3 1.3 1.

I -INF 1 +INF

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL

---- EQU R1 -INF 60000.000 60000..

---- EQU R2 -INF 60000.000 60000.000 1.

---- EQU R3 -INF 60000.000 60000.000 1.

---- EQU R4 -INF 60000.000 60000.000 0.

---- EQU R5 -INF 60000.000 60000.000 1.

---- EQU OBJ... 1.

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL

---- VAR A1. 60000.000 +INF.

---- VAR A2.. +INF -1.

---- VAR A3. 60000.000 +INF.

---- VAR A4.. +INF.

---- VAR B1.. +INF -1.

---- VAR B2.. +INF -1.

---- VAR B3.. +INF -1.

---- VAR C2.. +INF -2.

---- VAR D5. 60000.000 +INF.

---- VAR I -INF 2.4600E+5 +INF.

**** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT

0 INFEASIBLE

0 UNBOUNDED

C) Escribe la solución óptima encontrada y la cantidad máxima

de dinero acumulada al inicio del año 6. ¿Invierte al principio de cada año todo el capital disponible?

El intervalo de sensibilidad del Coeficiente de C2 fluctúa entre menos infinito y 4.1, por tanto, mientras dicho coeficiente se mantenga en ese rango la solución óptima no variará, sin embargo si dicho coeficiente pasa a valer más de 4.1 la solución cambiará. (Solución mostrada en la salida de GAMS (Variable Name)

ENUNCIADO 24.-

A) Plantea el problema indicando claramente el significado de

todas las variables de decisión y clasifícalo según su estructura.

VARIABLES: X F 0 E 0Nº Aviones pasajeros grandes. Y F 0 E 0Nº Aviones pasajeros medianos. Z F 0 E 0Nº Aviones pasajeros pequeños.

PLANTEAMIENTO:

MAX Bº = 4,2 X + 3 Y + 2.3 Z s.a 67 X + 50 Y + 35 Z 1500 ; X + Y + Z 30;

2/3 X + 1/3 Y + Z 40;

X, Y, Z Z

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU ESTRUCTURA :

Problema de Programación Lineal Entera Puro, porque todas las variables de decisión son enteras, y la función objetivo y las restricciones son funciones lineales.

B) Resuelve el problema utilizando el programa GAMS.

* EJERCICIO 24

* BLOQUE VARIABLES

VARIABLES X, Y, Z, B;

INTEGER VARIABLES X, Y, Z;

* BLOQUE ECUACIONES

EQUATIONS R1, R2, R3, OBJ;

R1.. 67X + 50Y + 35*Z =L= 1500;

R2.. X + Y + Z =L= 30;

R3.. (2/3)X + (1/3)Y + Z =L= 40;

OBJ.. B =E= 4.2X + 3Y + 2.3*Z;

* BLOQUE MODELO

MODEL EJERCICIO24 /ALL/;

* BLOQUE SOLUCION

SOLVE EJERCICIO24 USING MIP MAXIMIZING B;

S O L V E S U M M A R Y

MODEL EJERCICIO24 OBJECTIVE B

TYPE MIP DIRECTION MAXIMIZE

SOLVER CPLEX FROM LINE 18

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL

---- EQU R1 -INF 1498.000 1500..

---- EQU R2 -INF 30.000 30..

---- EQU R3 -INF 25.333 40..

---- EQU OBJ... 1.

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL

---- VAR X. 14.000 100.000 4.

---- VAR Y.. 100.000 3.

---- VAR Z. 16.000 100.000 2.

CLASIFICACION SEGÚN SU ESTRUCTURA:

Problema de Programación No lineal: Las variables de decisión son continuas y la función objetivo y las restricciones son funciones escalares cualesquiera.

b) Resuelve el problema utilizando el programa GAMS para cinco

puntos de arranque, haz una tabla resumen con los resultados obtenidos y presenta la mejor salida.

PUNTOS DE

ARRANQUE

VALOR

DE X

VALOR

DE Y

VALOR DE

Z

BENEFICIO

Resolución del Problema en GAMS:

• EJERCICIO 37

• BLOQUE VARIABLES VARIABLES X, Y, Z, B; POSITIVE VARIABLES X, Y, Z;

• BLOQUE ECUACIONES EQUATIONS R1, R2, R3, R4, OBJ; R1.. X + Y + Z =L= 540; R2.. X + 0.6Y + 0.6Z =L= 1000; R3.. 1.5X + 1.2Y + 0.8Z =L= 1200; R4.. Z + Y =G= 0.05(X + Y + Z); OBJ.. B =E= 1.5(100 + 0.03X)X + 1.1(95 + 0.04Y - 0.01X)Y + 0.6 (70 - 0.01Y - 0.01)Z;

• BLOQUE MODELO MODEL EJERCICIO37 /ALL/;

* BLOQUE SOLUCION

SOLVE EJERCICIO37 USING NLP MAXIMIZING B;

S O L V E S U M M A R Y

MODEL EJERCICIO37 OBJECTIVE B

TYPE NLP DIRECTION MAXIMIZE

SOLVER CONOPT FROM LINE 19

**** SOLVER STATUS 1 NORMAL COMPLETION

**** MODEL STATUS 2 LOCALLY OPTIMAL

**** OBJECTIVE VALUE 91493.

RESOURCE USAGE, LIMIT 0.188 1000.

ITERATION COUNT, LIMIT 4 10000

EVALUATION ERRORS 0 0

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL

---- EQU R1 -INF 540.000 540.000 191.

---- EQU R2 -INF 529.200 1000..

---- EQU R3 -INF 801.900 1200..

---- EQU R4.. +INF -94.

---- EQU OBJ... 1.

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL

---- VAR X. 513.000 +INF.

---- VAR Y. 27.000 +INF.

---- VAR Z.. +INF -59.

---- VAR B -INF 91493.820 +INF.

**** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT

0 INFEASIBLE

0 UNBOUNDED

0 ERRORS

c) Escribe la solución óptima encontrada y el beneficio máximo.

¿Se gastan todas las horas de mano de obra disponible? ¿Se cultiva todo el terreno? La solución óptima del problema es: (X, Y, Z) = (513, 27, 0); Beneficio: 91493.

• En cuanto a las horas de mano de obra disponible , no se gastan todas. Esto ocurre tanto en la temporada Invierno Primavera, como en la temporada Verano Otoño. Esto queda demostrado de forma que:
• Invierno- Primavera: X + 0,6Y + 0,6Z 1000 513 + 0,6 (27) + 0,6 (0) = 529,2 1000 Por tanto, no se gastan las 1000 horas disponibles de mano de obra en Inverno- Primavera, sino que únicamente se gastan 529,2 horas.

f) ¿Cuál sería la solución óptima del problema si dispusiera de

un máximo de 600 y 810 horas durante los meses de Inverno- Primavera y de Verano- Otoño, respectivamente? Encontraríamos la misma solución óptima, puesto que no se utilizan todas las horas de mano de obra disponibles, y en ambos casos, con la solución óptima actual se sigue satisfaciendo ambas restricciones. Numéricamente podemos observar que:

• En Invierno- Primavera: X + 0,6Y + 0,6Z 600 ; 513 + 0,6 (27) + 0,6 (0) = 529,2 600 Dado que se utilizan únicamente 529,2 horas de mano de obra, en el caso de disponer de un máximo de 600 horas, la solución óptima no variaría.
• En Verano- Otoño: 1,5 X + 1,2 Y + 0,8 Z 810 ; 1,5 (513) + 1,2 (27) + 0,8 (0) = 801,9 810 Del mismo modo que ocurre en la temporada Invierno- Primavera, dado que no se consumen todas las horas de mano de obra disponibles, en el caso de disponer de un máximo de 810 horas, la solución óptima del problema se mantendría.

Por tanto, de lo anterior, podemos concluir que la solución óptima del problema sería la misma dadas las nuevas limitaciones de cantidades disponibles de mano de obra.