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DOSIER DE ACTIVIDADES
MATEMÁTICAS II
BLOQUE DE ANÁLISIS
La siguiente colección de actividades tiene como objetivo estructurar y aclarar ideas clave
trabajadas durante el bloque de Análisis mediante preguntas y actividades
fundamentales.
Contenido
LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES. TEOREMA DE BOLZANO. .............................................................. 2
DERIVABILIDAD ................................................................................................................................................ 3
RECTAS TANGENTES A FUNCIONES ................................................................................................................. 5
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES................................................................................................................... 7
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN ...................................................................................................................... 9
INTEGRACIÓN DEFINIDA. APLICACIONES. ..................................................................................................... 12
REVISA LO APRENDIDO.................................................................................................................................. 14
ALGUNOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE PAU ...................................................................................... 16
LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES. TEOREMA DE BOLZANO.
1. ¿Qué tipos de funciones pueden presentar problemas de definición?
2. Realiza un esquema que recoja las técnicas de resolución de todas las indeterminaciones
estudiadas en clase. No olvides añadir ejemplos en cada caso.
3. ¿Qué debe cumplir una función para que sea continua en un punto dado de su dominio?
¿Y para que sea continua en todo su dominio? ¿Qué interpretación gráfica puede
realizarse de aquellas funciones que son continuas?
4. Calcula el dominio de las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥) =
3
b)
2
c) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (
2
d)
𝑓
√ 24 + 2 𝑥− 2 𝑥
2
e) 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔
2
2
f) 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛(𝑥
2
5. Calcula el valor de los siguientes límites o indica que no existen (si fuera el caso):
a) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→∞
2
− 1 − 𝑥) b)
𝐿𝑖𝑚
𝑥→−∞
5
3
2
5
c) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→+∞
2
5
d)
𝐿𝑖𝑚
𝑥→ 1
5
3
2
3
5
e) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→ 2
3
2
f)
𝐿𝑖𝑚
𝑥→ 2
2
g) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→ 1 +
5
3
2
h) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→ 2
2
) i) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→+∞
2
2
𝑥+ 2
j) 𝐿𝑖𝑚
x→+∞
2
2
𝑥
6. Demuestra que el valor de los siguientes límites es correcto:
a) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→ 1
4
2
4
3
b) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→ 0
c) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→∞
2
𝑥
d)
𝑥→∞
e)
𝐿𝑖𝑚
𝑥→ 0
f)
𝐿𝑖𝑚
𝑥→∞
1 +𝑥
2
g) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→ 0
3
h) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥
7
i)
𝑥→ 2
1
𝑥− 2
j) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→ 0
𝑥
2
k)
𝑥→ 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
l)
𝑥→ 0
1
𝑥
m) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→ 1
2
= 4 n)
𝑥→+∞
−𝑥
o)
𝑥→ 0 +
p) 𝐿𝑖𝑚
𝑥→ 0
= 3 q)
𝑥→ 0 +
1 /𝑥
- Obtén la función derivada de las siguientes funciones reales de variable real:
a) 𝑓
2
3
b)
c) 𝑓
5
− 7
d) 𝑓
2 𝑥
∙ (𝑒 + √ 2 𝑥) e) 𝑓(𝑥) =
2
3
2
f) 𝑓(𝑥) =
g) 𝑓
𝑥
𝑥
2 𝑥
h)
𝑓
i)
√
𝑥
√
𝑥
j)
k) 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛 (
) l)
𝑓
m) 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔 (
2
8 n) 𝑓(𝑥) =
2
o)
𝑥
p) 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛
1 − cos 𝑥
1 + cos 𝑥
q) 𝑓
cos 𝑥
r) 𝑓
𝑥
- Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones reales de variable real. Si
alguna de ellas presenta discontinuidades, indica razonadamente el tipo de discontinuidad.
a) 𝑓
b) 𝑓
2
c)
d) 𝑓(𝑥) = 𝑒
|𝑥− 3 |
- Calcula el valor de los parámetros a y b para que la función sea derivable en todo su dominio:
a) 𝑓
2
3
b) 𝑓
2
2
c)
2
d)
2
- Para cada una de las siguientes funciones reales de variable real, determina los puntos de su
gráfica donde la su recta tangente es horizontal.
a) 𝑓
= (𝑥 − 1 )(𝑥 − 3 ) b) 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
−𝑥
c) 𝑓
2
d) 𝑓
- Para cada una de las siguientes funciones reales de variable real, determina los puntos de su
gráfica donde la pendiente de su recta tangente es nula.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒
−𝑥
2
b)
2
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
2
21. Dada la función real de variable real 𝑓
𝑥
𝑎+𝑥
2
, halla el valor del parámetro real 𝑎 para
que dicha función presente un extremo relativo en el punto de abscisa 𝑥 = √ 3
22. Considera las funciones reales de variable real dadas por:
− 2 𝑥
a) Enuncia el Teorema de Bolzano.
b) Demuestra que las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) tienen la misma pendiente en algún punto
del intervalo abierto (− 3 , 3 )
23. Determina los valores reales a y b para que la función 𝑓(𝑥) sea derivable.
2
1 −𝑥
- Determina el valor de los parámetros reales n y m para que la función 𝑓
sea continua. ¿Existe
algún valor de n y m que haga derivable a 𝑓
𝑥
2
RECTAS TANGENTES A FUNCIONES
25. ¿Cuál es la forma analítica de la ecuación punto-pendiente de una recta?
26. ¿Qué relación guarda la derivada de una función en un punto con la pendiente de la
recta tangente en dicho punto?
27. ¿Qué relación existe entre la derivada de una función y la pendiente de la recta normal
a dicha función en un punto dado?
28. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
− 3 𝑥 en el punto de abscisa 𝑥 = − 1
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
− 𝑥 y que es paralela a la recta 𝑦 = 3 𝑥 − 2
c) 𝑓
2
− 2 𝑥 + 2 y que tiene como pendiente 𝑚 = 4
d) 𝑓
4
2
+ 5 y que es paralela al eje OX
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
− 𝑥 y que es paralela a la bisectriz del primer cuadrante
29. Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑓
𝑥− 2
𝑥+ 1
en su punto de corte con
el eje OX.
30. Halla la ecuación tangente a la gráfica de la curva 𝑓
𝑥+ 1
𝑥
2
que forma un ángulo de
45º con la horizontal. Encuentra el punto 𝑃 de la función que tiene pendiente mínima.
31. Determina la ecuación de la recta perpendicular (o normal) a la gráfica de la función:
42. Considera la función 𝑓(𝑥) = 𝑥
3
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 don 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ. Se pide:
a) Calcula a y b para que las rectas tangentes a la gráfica de 𝑓(𝑥) en los puntos de
abscisa 𝑥 = 2 y 𝑥 = 4 sean paralelas al eje OX.
b) Con los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, obtén el valor de c para
que el punto de inflexión de la función se encuentre en el eje OX.
43. Se considera la función 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
+ 𝑎𝑥 + 𝑏 donde a y b son parámetros reales. Halla los
valores de a y b para que la recta 𝑦 = 2 𝑥 sea tangente a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) en
el punto 𝑃( 2 , 4 ).
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
44. ¿Qué aspectos básicos pueden analizarse para poder construir la representación gráfica
de una función?
45. ¿Qué pasos debemos seguir para poder representar y analizar matemáticamente una
función con valor absoluto?
46. Representa las siguientes funciones polinómicas :
a) 𝑓
2
2
− 4 𝑥 + 2 c) 𝑓
3
d) 𝑓
4
3
e) 𝑓
4
2
3
- Representa las siguientes funciones racionales :
a) 𝑓(𝑥) =
2
b)
𝑓
3
2
c) 𝑓(𝑥) =
2
2
d) 𝑓
2
e) 𝑓(𝑥) =
f) 𝑓(𝑥) =
2
g) 𝑓
2
h) 𝑓
g) 𝑓
3
- Representa las siguientes funciones irracionales :
a)
𝑓(𝑥) =
2
b)
𝑓(𝑥) =
2 c)
𝑓(𝑥) =
2
d) 𝑓(𝑥) =
2
e)
f)
2
- Representa las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas :
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒
𝑥
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
𝑥
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒
−𝑥
d) 𝑓(𝑥) =
𝑥
e) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3 )𝑒
−𝑥
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝐿𝑛 𝑥
g) 𝑓
2
h) 𝑓
2
i) 𝑓
- Representa las siguientes funciones a trozos :
a) 𝑓
2
c) 𝑓
d) 𝑓(𝑥) = {
−𝑥
f) 𝑓(𝑥) = {
- Representa las siguientes funciones:
a) 𝑓
b) 𝑓
2
c) 𝑓
d) 𝑓
𝑥
e) 𝑓
𝑥
f) 𝑓
2
- Estudia la continuidad de la función 𝑓
2
y esboza su gráfica.
53. Sabiendo que 𝑦 = 2 𝑥 + 6 es una asíntota oblicua de la función 𝑓
2 𝑥
2
𝑥−𝑘
, calcula el
valor del parámetro real k.
54. Determina los valores de a, b y c para que la curva de ecuación 𝑓(𝑥) =
𝑎
𝑥
2
+𝑏𝑥+𝑐
sea la que
se muestra a continuación:
- Analiza el dominio, continuidad, puntos de corte con los ejes, asíntotas y monotonía de la
función 𝑓(𝑥). Tras ello, realiza un esbozo de su representación gráfica.
2
𝑥
velocidad media es de 5 km/h y nadando, de 3 km/h ¿Cuánto tiempo deberá caminar hasta
lanzarse al mar, para alcanzar la boya en el menor tiempo posible? (𝑆𝑜𝑙: 𝑡 = 45 𝑚𝑖𝑛)
66. Determinar razonadamente la longitud del lado del cuadrado de área mínima cuyos vértices
están situados sobre los lados de otro cuadrado de lado 16 cm. (𝑆𝑜𝑙: 𝑙 = 8 √
67. Calcular la longitud que deben tener los lados de un rectángulo inscrito en una circunferencia
de radio 4 m para que el área del rectángulo sea máxima. (𝑆𝑜𝑙: 𝑥 = 𝑦 = √ 32 𝑚)
68. Una ventana está formada por un rectángulo y un triángulo equilátero que tiene por lado uno
de los lados del rectángulo. El área del recinto es de 3 m
2
. Calcular las dimensiones rectángulo
para que el perímetro de la figura sea mínimo. (𝑆𝑜𝑙: 𝑥 ≈ 1 , 677 𝑚)
69. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área máxima?
(𝑆𝑜𝑙: 𝑇𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 10 𝑐𝑚 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜)
70. Una agencia inmobiliaria tiene alquilados 200 apartamentos en una ciudad a 160 € al mes cada
uno. Por cada 5 € de aumento en el alquiler pierde un inquilino, que se traslada a otro
apartamento más económico. ¿Cuál es el alquiler que produce mayor beneficio a la agencia?
71. Dados dos postes de alturas 12 y 18 metros, distantes 30 metros, se quieren unir sus puntas
mediante un cable metálico tenso que toque el suelo en un punto intermedio. ¿En qué punto
entre ambos postes debe tocar dicho cable para que su longitud sea mínima?
72. Se estima que el coste de la construcción de un edificio de oficinas que tiene n plantas es:
2
¿Cuántas plantas deberá tener el edificio para que el coste medio por planta sea el menor
posible? Discutid la solución. (𝑆𝑜𝑙: 17 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠)
- Con un alambre de 1 m queremos construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué
dimensiones hay que dar al rectángulo?
74. Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base
cuadrada, de 500 m
3
de capacidad, que tenga un revestimiento de coste mínimo.
75. Se considera una ventana rectangular rematada en la parte superior por un triángulo equilátero.
Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6,6 m, hallar sus dimensiones para que su
superficie sea máxima.
𝑆𝑜𝑙: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 ≈ 1 , 54 𝑚; 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑔𝑢𝑙𝑜 ≈ 0 , 98 𝑚
76. Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. Encontrar las
dimensiones de la ventana de área máxima si su perímetro es de 10 m. (𝑆𝑜𝑙:
20
4 +𝜋
10
4 +𝜋
77. En una oficina de correos sólo se admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular,
tales que la anchura sea igual a la altura y, además la suma de ancho, alto y largo debe ser de
72 cm. Hallar las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máximo.
78. Una hoja de papel debe contener 18 cm
2
de texto impreso. Los márgenes superior e inferior
deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcular las dimensiones de la hoja para que el
gasto de papel sea mínimo.
79. Se desea construir una lata de conservas en forma de cilindro circular recto de área total 150
cm
2
y volumen máximo. Determinar su generatriz y su radio. (𝑆𝑜𝑙: 𝑟 =
5
√
𝜋
10
√
𝜋
80. Un triángulo isósceles de perímetro 10 m gira alrededor de la altura relativa al lado desigual y
engendra un cono. Hallar sus lados para que el cono tenga volumen máximo.
81. Hallar la base y la altura de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que, al dar la vuelta
completa alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máximo.
82. Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por el punto 𝐴( 1 , 2 ), aquella que forma con las
partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área máxima. Calcular también el área.
(𝑆𝑜𝑙: 𝑥 + 2 𝑦 − 4 = 0 ; Á𝑟𝑒𝑎 = 4 𝑢
2
83. Un campo de petróleo tiene 8 pozos que producen un total de 1600 barriles de crudo al día. Por
cada pozo nuevo que se perfora, la producción media por pozo disminuye en 10 barriles diarios.
¿Cuántos pozos adicionales se deben perforar para obtener la mayor producción de crudo al
día? (𝑆𝑜𝑙: 6 𝑝𝑜𝑧𝑜𝑠)
84. Se desea construir con el mínimo costo una caja con base cuadrada y volumen 1000 cm
3
. El
precio de un cm
2
del material utilizado en la tapa de la caja es el triple que el precio de un cm
2
del material utilizado para la base y las caras laterales. Obtener, razonadamente, las dimensiones
de la caja. (𝑆𝑜𝑙: 𝑏𝑎𝑠𝑒 = √
3
100
√ 250
3
85. El JET Propulsion Laboratory de la NASA estudió durante todo un trimestre el movimiento del
famoso meteorito MF-457 en su paso por nuestro sistema solar. De este análisis se concluyó
que la trayectoria seguida por dicho meteorito viene descrita por la ecuación:
2
91. Halla el área limitada por
2
f ( x )= 6 x − x
y
g ( x ) x 2 x
2
92. Dada la función:
2
a) Justifica que la recta r de ecuación 2 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 es una asíntota de la gráfica de
b) Calcula la función 𝐹(𝑥) que verifica que 𝐹 ′(𝑥) = 𝑓(𝑥) y cuya gráfica pasa por el
origen de coordenadas.
c) Determina el área de la superficie plana limitada por la recta r, la gráfica de 𝑓(𝑥) y
las rectas 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2
93. Considera la función definida por partes:
2
2
a) Determina los valores de los parámetros reales a y b para que la función 𝑓(𝑥) sea
derivable.
b) Calcula el área encerrada entre 𝑓(𝑥) y su recta tangente en 𝑥 = 2
94. Dada la función:
Se pide determinar el área encerrada entre 𝑓(𝑥), su recta tangente en 𝑥 = 1 y el eje de
ordenadas.
95. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función
4
f ( x )= x , su recta tangente
en el punto ( 1 , 1 )y el eje de ordenadas
- Determina la expresión analítica de la función ( )
H x = f ( x ) dx sabiendo que
cumple H(0)=0 y que
3 2
2
x x x
x x
f x
- Considera las funciones reales de variable real dadas por:
2
a) Realiza un esbozo de su gráfica tras estudio analítico que incluya al menos dominio, cortes
con los ejes, asíntotas y monotonía.
b) Calcula la primitiva F(x) de la función f(x) que verifica que F(1)=
c) Calcula el área de la región delimitada por la gráfica de f(x), el eje de coordenadas y las
rectas x=3 y x=
98. De la función f : R → R definida por f x = ax + bx + cx + d
3 2
( ) se sabe que tiene un máximo
relativo en
x = 1
, un punto de inflexión en ( 0 , 0 )
y que
1
0
f x dx. Calcula los valores reales
de los parámetros a , b , c y d.
- Se sabe que la distancia recorrida por una partícula entre el instante
t = a
y t = b viene dada
por
b
a
S v ( t ) dt , donde v ( t )es la función que determina la velocidad de la partícula en cada
instante de tiempo. Un fragmento de roca generado tras la colisión de dos asteroides se
desplaza por el espacio a una velocidad de ( )
t
v t t e
−
()= + 1 km/h. Calcula la distancia recorrida
por dicho fragmento durante la primera hora tras la colisión de los asteroides.
100. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor del eje
OX del área limitada por 𝑦 = 6 − 𝑥, 𝑦 = 0 , 𝑥 = 0 y 𝑥 = 4
REVISA LO APRENDIDO
- Determina si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando
adecuadamente tu respuesta :
a) Si la derivada de una función en un punto es cero, entonces ese punto se corresponde con
un máximo o un mínimo de la función.
b) La ecuación senx = 2 x − 3 tiene al menos una solución en el intervalo 1 , 2
c) Si una función f ( x )es continua para todo número real, entonces es derivable.
d) No existen dos funciones distintas con la misma función derivada.
e) La recta
y = − 6 x − 1
es tangente a la función ( ) 9 7
3
f x = x − x + en x = 1
f) La recta y = x + 5 es normal a la gráfica de la función f x = x − x
2
( ) en x = 1
g) La función
f ( x )= x
es derivable para todo número real
ALGUNOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE PAU
JULIO 2017. Se considera el triángulo T de vértices O = (0, 0), A = ( x, y) y B = (0, y), siendo x >
0, y > 0, y tal que la suma de las longitudes de los lados OA y AB es 30 metros.
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado :
a) El área del triángulo T en función de x.
b) El valor de x para el que dicha área es máxima.
c) El valor de dicha área máxima.
JUNIO 2017. Se desea unir un punto M situado en un lado de una calle, de 6 m. de anchura, con
el punto N situado en el otro lado de la calle, 18 m. más abajo, mediante dos cables rectos, uno
desde M hasta un punto P, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto P hasta el punto
N. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que M = (0, 6), P = (x, 0) y N = (18, 0).
El cable MP tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo
su precio de 10 €/m. El precio del cable PN es de 5 €/m. Obtener razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado :
a) El costo total C de los dos cables en función de la x del punto P, cuando 0 ≤ x ≤ 18.
b) El valor de x, con 0 ≤ x ≤ 18, para el que el costo total C es mínimo.
c) El valor de dicho costo total mínimo.
JULIO 2016. La diferencia de potencial x entre dos puntos de un circuito eléctrico provoca el paso
de una corriente eléctrica de intensidad y, que está relacionada con la diferencia de potencial x
por la ecuación y = – x
2
- x + 6, siendo 0 ≤ x ≤ 2. Obtener razonadamente, escribiendo todos
los pasos del razonamiento utilizado :
a) La gráfica de la función f(x) = – x
2
- x + 6 y deducir, gráfica o analíticamente, el valor de la
intensidad y cuando la diferencia de potencial x es 0 y el valor de la diferencia de potencial
x al que corresponde una intensidad y igual a 0, siendo 0 ≤ x ≤ 2.
b) El valor de la diferencia de potencial x para el que es máximo el producto y ⋅ x de la
intensidad y por la diferencia de potencial x, cuando 0 ≤ x ≤ 2, y obtener el valor máximo
de dicho producto y ⋅ x, cuando 0 ≤ x ≤ 2
c) El área de la superficie situada en el primer cuadrante limitada por la curva y = f(x), el eje
de abscisas y el eje de ordenadas.
JUNIO 2016. Cada día, una planta productora de acero vende x toneladas de acero de baja
calidad e y toneladas de acero de alta calidad. Por restricciones del sistema de producción debe
suceder que:
= siendo x
x
x
y
El precio de una tonelada de acero de alta calidad es de 900 euros y el precio de una tonelada de
acero de baja calidad es de 300 euros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos
del razonamiento utilizado :
a) Los ingresos obtenidos en un día en función de x
b) Cuántas toneladas de cada tipo de acero se deben vender en un día para que los ingresos
obtenidos ese día sean máximos.
c) El ingreso máximo que se puede obtener por las ventas de acero en un día.
JULIO 2015. Se va a construir un depósito de 1500 m
3
de capacidad, con forma de caja abierta
por la parte superior. Su base es un cuadrado y las paredes laterales son cuatro rectángulos
iguales perpendiculares a la base. El precio de cada m
2
de la base es de 15€ y el precio de cada
m
2
de pared lateral es de 5€. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del
razonamiento utilizado :
a) El coste total del depósito en función de la longitud x de un lado de la base.
b) Las longitudes del lado de la base y de la altura del depósito para que dicho coste total
sea mínimo
c) El valor del mínimo coste total del depósito.
JUNIO 2015. Un pueblo está situado en el punto A (0, 4) de un sistema de referencia cartesiano.
El tramo de un río situado en el término municipal del pueblo describe la curva:
2
= siendo − x
x
y
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado :
a) La distancia entre un punto P (x, y) del río y el pueblo en función de la abscisa x de P
b) El punto o puntos del tramo del río situados a distancia mínima del pueblo
c) El punto o puntos del tramo del río situados a distancia máxima del pueblo.
JULIO 2014. Un club deportivo alquila un avión de 80 plazas para realizar un viaje a la empresa
VR. Hay 60 miembros del club que han reservado su billete. En el contrato de alquiler se indica
que el precio de un billete será 800 euros si sólo viajan 60 personas, pero que el precio por billete
disminuye en 10 euros por cada viajero adicional a partir de esos 60 viajeros que ya han reservado
el billete. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado :
a) El total que cobra la empresa VR si viajan 61, 70 y 80 pasajeros.
b) El total que cobra la empresa VR si viajan 60 + x pasajeros, siendo 0 ≤ x ≤ 20
c) El número de pasajeros entre 60 y 80 que maximiza lo que cobra en total VR
SEPTIEMBRE 2012. Se desea construir un depósito cilíndrico de 100 m
3
de capacidad, abierto por
la parte superior. Su base es un círculo en posición horizontal de radio x y la pared vertical del
depósito es una superficie cilíndrica perpendicular a su base. El precio del material de la base del
