¡Descarga Mates Solucionario ejercicios y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Comencem
ï Troba i classifica les discontinuÔtats que pre-
senta la funciÛ y =.
la simplifica-
ciÛ indica que a x = ñ1 hi ha una discontinuÔtat evitable. A líexpressiÛ hi trobem una
discontinuÔtat asimptÚtica a x = 1.
ï Una funciÛ f(x) Ès tal que D (^) f = R ñ {2, ñ3}.
QuË pots dir de la continuÔtat de la funciÛ en els punts x = 2 i x = ñ3?
f(x) no est‡ definida a x = 2 i x = ñ3 ja que aquests valors no sÛn del domini de la funciÛ i, per tant, la funciÛ no Ès contÌnua en aquests punts.
ï Considera la funciÛ:
QuË pots dir de la continuÔtat en els punts x = 0 i x = 3? f(0 ñ^ ) = 0 i f(0 +) = 2 a líesquerra i a la dreta de x = 0 la funciÛ presenta valors diferents, per tant, hi ha una discontinuÔtat de salt a x = 0. f(3 ñ^ ) = f(3 +) i, per tant, a x = 3 la funciÛ Ès contÌnua.
Exercicis
1. A partir de les funcions f(x) = x^2 + 1 i g(x) =
x^3 ñ 1, escriu les funcions f + g, f ∑ g, i.
SÛn contÌnues? Raona la teva resposta. (f + g)(x) = x^2 + 1 + x^3 ñ 1 = x^3 + x^2
(f ∑ g)(x) = (x^2 + 1)(x^3 ñ 1) = x^5 + x^3 ñ x^2 ñ Les dues funcions sÛn contÌnues per ser poli- nomis.
presenta una discontinuÔtat
asimptÚtica a x = 1, valor que anul∑la el deno- minador.
2. Descompon la funciÛ y = 5x^4 ex^ en tres fac-
tors que siguin funcions contÌnues. Es poden donar diferents resultats. Per exem- ple: f(x) = 5, g(x) = x^3 i h(x) = e x.
3. La funciÛ y = tg x Ès contÌnua? Recorda que
tg x es pot definir com a.
y = tg x = no Ès contÌnua en els valors
de x que fan cos x = 0 Æ x = (2k + 1) , amb k
un nombre enter.
4. Considera les funcions f(x) = 2x^ ñ 1 i g(x) =
= x^2 + 1. Escriu les funcions , , f ∞ g i g ∞
f. Raona si les funcions obtingudes sÛn contÌnues.
Ès contÌnua.
presenta una discontinuÔtat a
x = 0, valor que anul∑la el denominador. (g o f)(x) = 2x^2 + 1^ ñ 1 Ès contÌnua. (g o f)(x) = (2x^ ñ1) 2 + 1 Ès contÌnua.
5. Explica un fet quotidi‡ que posi de manifest
el teorema dels valors intermedis. Per exemple, en una etapa ciclista els corre- dors passen per un quilÚmetre determinat.
6. Considera la funciÛ f(x) = 2x^4 ñ 14x^2 + 14x ñ
- Explica per quË es pot aplicar el teorema de Bolzano en líinterval [0, 1]. Troba un va- lor aproximat a les centËsimes de c tal que f(c) = 0 en aquest interval. La funciÛ f(x) Ès contÌnua i verifica: f(0) = ñ1 i f(1) = 1. Es verifica el teorema de Bolzano en líinterval [0,1]. Utilitzant la calculadora per tro- bar valors numËrics tenim que f(0,1) = 0,26, per tant, el valor c buscat es troba entre 0 i 0,1. El valor de c = 0,08 dÛna f(0,08) @ 0.
7. Separa les quatre arrels reals de la funciÛ
seg¸ent: f(x) = 2x^4 ñ 13x^2 + 15
Ê ˆ +
Á ˜ =
Ë ¯ -
2 x 1
g x x f
Ê ˆ -
Á ˜ =
Ë ¯ 2 +
f x x g x
g f
f g
p 2
sin cos
x x
sin cos
x x
Ê ˆ +
Á ˜ =
Ë ¯ -
2 3
f x x g x
f g
x x f x x x x
ÏÏ <<
ÔÔ
== ÌÌ ££ ££
ÔÔ - - <<
ÓÓ
y x
= = = Æ
x x y x x x x
2
x x
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
SOLUCIONARI Unitat 3
En la funciÛ tenim: f(1) = ñ5 i f(3) = 60 igual- ment per la paritat de les potËncies de x tenim: f(ñ1) = 4, f(ñ2) = ñ5 i f(ñ3) = 60. Els intervals que separen les quatre arrels sÛn: [1,2], [ñ1,ñ2], [2,3] i [ñ2,ñ3].
8. Calcula els valors de f(x) = x^7 + 3x + 3 a x =
= 0 i x = ñ1. Pots determinar si la gr‡fica de la funciÛ talla líeix de les abscisses en al- gun punt entre ñ1 i 0? Troba aquest punt amb una aproximaciÛ fins a les centËsimes. f(0) = 3 i f(ñ1) = ñ1. Pel teorema de Bolzano en líinterval [ñ1,0] la gr‡fica de la funciÛ talla en un punt líeix de les abscisses. Calculant valors numËrics de la funciÛ per a diferents valors de x de líinterval, síobtÈ c @ ñ0,87.
9. Considera la funciÛ f(x) = x^2 ñ 2x + 1. …s una
funciÛ contÌnua que tÈ com a gr‡fica una par‡bola. Existeix un c tal que f(c) = 0? Ex- plica si en aquesta funciÛ es pot aplicar el teorema de Bolzano en líinterval [0, 2]. La funciÛ verifica f(1) = 0 Æ c = 1. No es pot aplicar el teorema de Bolzano en líinterval [0,2] ja que f(0) = 1 = f(2).
10. Troba el m‡xim i el mÌnim absoluts de la
funciÛ f(x) = ñ x^2 + 2x en líinterval [ñ1, 2]. Representa gr‡ficament la funciÛ per aju- dar-te a trobar la soluciÛ. En líinterval [ñ1,2] es verifica: f(ñ1) = ñ3, f(2) = 0 i f(1) = 1 que Ès el m‡xim absolut i vËrtex de la par‡bola. El mÌnim absolut es troba a x = ñ1, un dels extrems de líinterval.
11. Verifica si la funciÛ f(x) = tg x tÈ m‡xim i mÌ-
nim absoluts en líinterval. Raona la
teva resposta.
La funciÛ f(x) = tg x no Ès contÌnua a x =. TÈ
mÌnim absolut a x = 0 Æ f(0) = 0. No tÈ m‡xim
absolut a x = per la discontinuÔtat.
12. Troba els punts de la funciÛ en
els quals no sigui derivable. La funciÛ no Ès contÌnua a x = 1 i x = ñ1, valors que no sÛn del domini; per tant, no Ès deriva- ble en aquests punts.
13. Considera la funciÛ f(x) = 3x^4 ñ 8x^3 + 6x^2.
Trobaín els punts estacionaris i classificaíls. Calculem la derivada de la funciÛ i la igualem a 0.
f'(x) = 12x^3 ñ 24x^2 + 12x Æ 12 x^3 ñ 24x^2 + 12x = 0
12 x(x^2 ñ 2x + 1)
Per x < 0 Æ f'(x) > 0, i per x > 1 Æ f'(x) > 0; per tant, a x = 0 hi ha un mÌnim relatiu.
Per x < 1 Æ f'(x) > 0, i per x > 1 Æ f'(x) > 0; per tant, a x = 1 hi ha un punt díinflexiÛ de tangent horitzontal. En ambdÛs casos es consideren valors de líen- torn de 0 i 1, respectivament.
14. Interpreta el valor de la derivada de la fun-
ciÛ y = x^3 ñ 1 en el punt x = 0. La derivada y' = 3x^2. En el punt x = 0 síanul∑la la derivada i per valors anteriors i posteriors de líentorn de x = 0, la derivada Ès positiva. A x = 0 hi ha un punt díinflexiÛ de tangent horit- zontal.
15. Troba la derivada de les funcions f(x) = e 2 x i
de g(x) = ln x. Tenen punts estacionaris aquestes funcions? Raonaín la resposta. f'(x) = c^2 x^ ∑ 2 i la funciÛ no tÈ punts estacionaris ja que la derivada no síanul∑la per a cap valor de x. Igualment passa amb la funciÛ g(x) = ln x,
ja que la derivada g'(x) = no síanul∑la.
16. Considera la funciÛ f(x) = 2 sin x en líinter-
val [0, p]. Aplica-li el teorema de Rolle per trobar un punt c tal que fí(c) = 0. f(0) = 0 i f(p) = 0. El teorema de Rolle afirma que hi ha un punt de líinterval (0,p) en el qual la derivada síanul∑la.
17. Esbrina si la funciÛ verifica
les condicions del terorema de Rolle a líin- terval [0, 2].
La funciÛ presenta una discontinuÔtat en el punt x = 1; per tant, la funciÛ no Ès contÌnua en líinterval [0,2] i no es pot aplicar el teorema de Rolle.
18. Considera la funciÛ f(x) = x^3 ñ 3x^2 en líinter-
val [0, 3] i aplica el teorema de Rolle en aquest interval. Quin Ès el punt c que pre- diu el teorema? Hi ha algun altre punt que
2
f x x
'( ) 2cos cos 0 (0, ) 2
f x x x x p = Æ = Æ = Œ p
x
= Æ =
- + = Æ =
1 2 2
x x x x x
2
y x
p
p 2
ÈÈ p˘˘ ÍÍÎÎ ˙˙˚˚
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
b) f(x) = x (x ñ 1) 2 (x ñ 2) 3
La funciÛ Ès: f(x) = x(x ñ 1) 2 ñ (x ñ 2) 3.
f(x) = 4x^2 ñ 11x + 8 Æ f '(x) = 8x ñ 11 Æ
8 x ñ 11 = 0 Æ x =
A x = hi ha un mÌnim relatiu i absolut; Ès
el vËrtex de la par‡bola.
c) f(x) = ex^ ∑ x
f '(x) = ex^ x + ex^ = ex(x + 1) Æ x + 1 = 0 Æ x = ñ f ''(x) = ex(x + 1) + ex^ = ex(x + 2) Æ x + 2 = 0 Æ x = ñ f ''(ñ1) = eñ1^ > 0 Æ a x = ñ1 hi ha un mÌnim relatiu i a x = ñ2 hi ha un punt díinflexiÛ.
d) f(x) = cos x amb x Œ[0, 2p]
f '(x) = ñsin x Æ ñsin x = 0 Æ x =
f ''(x) = ñcos x Æ f ''(0) < 0 Æ a x = 0 hi ha un m‡xim relatiu f ''(p) > 0 Æ a x = p hi ha un mÌnim relatiu f ''(2p) < 0 Æ a x = 2p hi ha un m‡xim rela- tiu
25. Calcula els lÌmits seg¸ents:
a)
b)
c)
d)
26. Calcula els lÌmits seg¸ents sabent que sÛn
una potËncia del nombre e. Cal trobar líexponent k de ek^ en cada cas.
a)
Derivant numerador i denominador tot apli- cant la regla de LíHÙpital, sobtÈ k =2. Per tant, e^2 Ès el resultat.
b)
c)
d)
Acabem
1. Raona la continuÔtat de les funcions:
a) f(x) = ln (x^2 + 1)
f(x) = ln(x^2 + 1) Ès contÌnua per a tot ja que x^2 + 1 > 0
b) f(x) = (sin x) ∑ ex+
f(x) = (sin x) ∑ e x^ + 1^ Ès contÌnua ja que Ès el producte de dues funcions contÌnues.
2 3 2
lim 3 x 1
x e Æ•x
= = Æ
2
2
lim 3 ln lim 1 1 3
x x
x (^) x k x x x
Æ• Æ•
È Ê + ˆ ˘ -
= Í ◊ Á ˜˙ = =
Î Ë^ - ¯˚ -
3 1 lim 1
x x
x ÆÆ•• x
ÊÊ ++ ˆˆ
ÁÁ - - ˜˜
ËË ¯¯
1
ln 1 1 lim ln 1^ lim 1 x x 1
x k x e e x x
Æ-• Æ-•
Ê + ˆ
È Ê ˆ ˘ Á^ ˜
= ◊ + = Ë^ ¯= Æ =
Í Á ˜˙
Î Ë^ ¯˚
lim 1
x x ÆÆ•• x
ÊÊ ˆˆ
ÁÁ ++ ˜˜
ËË ¯¯
3 0
lim (^1)
3
x
x (^) e Æ
= + = Æ
0 0
3 ln(1 ) lim ln(1^ ) lim
3
x x
x k x Æ (^) x Æ x
È ˘ +
= Í ◊ + ˙= =
Î ˚
3 0 lim (1 ) x x x ÆÆ
ln (^2 3 2 ) lim ln lim x 2 1 x^1
x x (^) x k x x x
Æ• Æ•
Ê + ˆ
Ê Ê + ˆ ˆ Á^ - ˜
= ◊ = Ë^ ¯
Á Á - ˜˜
Ë Ë^ ¯¯
lim 2 1
x x
x ÆÆ++•• x
ÊÊ ++ ˆˆ
ÁÁ - - ˜˜
ËË ¯¯
2 0 3 0 2 0
lim lim lim x x 3 x 3
x x Æ (^) x Æ (^) x Æ x
lim x
x ÆÆ•• x
2 0 0 0
lim lim lim^2 x (^1) cos x (^) sin x cos
x x Æ (^) x Æ (^) x Æ x
2 0 lim x 1 cos
x ÆÆ (^) - - x
2 0 0 0 2
1 cos sin lim lim lim(sin^ cos^ )^0 1 cos
x x x
x x x x tgx x
Æ Æ Æ
0
1 cos lim x tg
x ÆÆ x
0 0
lim lim 1 x (^) sin x cos
x Æ (^) x Æ x
0 lim x sin
x ÆÆ x
p p
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
c) f(x) =
f(x) = Ès contÌnua per a tot x π ñ1.
Per a x = ñ1 presenta una discontinuÔtat asimptÚtica.
d) f(x) = cos 2 x + cos x ñ 1
f(x) = cos 2 x + cos x ñ 1 Ès contÌnua per ser suma de tres funcions contÌnues.
2. La funciÛ f(x) = x^2 + x + 1 Ès contÌnua. Expli-
ca si es pot aplicar el teorema de Bolzano en algun interval. TÈ alguna arrel líequaciÛ f(x) = 0? LíexpressiÛ x^2 + x + 1 > 0 per a tot x Œ R i, per tant, no es pot aplicar el teorema de Bolzano i líequaciÛ f(x) = 0 no tÈ cap arrel.
3. DÛna un raonament per tal de justificar que
la funciÛ f(x) = x^5 + 5x^3 + 2x talla líeix de les abscisses en un sol punt. f(x) = x ∑ (x^4 + 5x^2 + 2) Æ f(x) = 0 Æ x = 0, que Ès el punt on talla líeix de les abscisses; x^4 + 5 x^2 + 2 > 0 per a tot x Œ R i, per tant, la gr‡fica no talla a cap altre punt líeix de les abscisses.
4. Estudia la derivabilitat de la funciÛ f(x) =
en el punt x = 0.
f(x) = Ès contÌnua per a tot x del domini: D (^) f = [ñ1,+•)
no est‡ definida a x = ñ1, per
tant, no Ès derivable en aquest punt. A no Ès derivable.
5. Demostra que f(x) = Ès decreixent en
tot el seu domini.
per a tot x
del domini. Si la derivada Ès negativa, la funciÛ Ès decrei- xent.
6. Calcula les tres primeres derivades de f(x) =
=. Troba una expressiÛ per a la derivada enËsima.
; amb
a (^) n = ñ3n + 4
7. Troba líequaciÛ de la recta tangent a la cor-
ba seg¸ent: y = x^3 ñ 3x en el punt díabscis- sa ñ1. Punt de tangËncia: P(ñ1,2); pendent: m = y ' (ñ 1). EquaciÛ de la recta: y = 2
8. Esbrina si f(x) = Ès creixent en tot el
seu domini. QuË passa en el punt x = ñ1?
. La derivada Ès positiva i la fun-
ciÛ Ès creixent per a x > ñ1; Ès negativa i la fun- ciÛ decreixent per a x < ñ1. En el punt x = ñ1 hi ha una discontinuÔtat asimptÚtica.
9. Calcula la derivada de les funcions se-
g¸ents:
a) y =
b) y = sin 3x ∑ tg 3x
Simplifica les expressions obtingudes. y = sin 3x ∑ tg3x Æ y' = 3 ∑ cos 3x ∑ tg3x +
10. Raona per quË la funciÛ f(x) = 2x + cos x no
pot tenir m‡xims ni mÌnims relatius. f '(x) = 2 ñ sin x > 0 ja que ñ1 £ sin x £ 1 i la de- rivada no síanul∑la per a cap valor de x.
11. Classifica els possibles extrems relatius de
les funcions:
a) f(x) = 2 sin x + cos 2x
f '(x) = 2 ∑ cos x ñ 2 ∑ sin 2x Æ cos x ñ sin 2x = 0 Æ cos x ñ 2 ∑ sin x ∑ cos x = 0 Æ
Æ cos x ∑ (1 ñ 2 ∑ sin x) = 0
x 1 = , x 2 = , x 3 = , x 4 = en [0,2p]
f ''(x) = ñ2 ∑ sin x ñ 4 ∑ cos 2x
p 6
3 p 2
p 2
p
cos 0 1 2 sin
x x
2
cos 3x
Ê ˆ
Á + ˜
2 Ë ¯
cos 3x
3 3 2
2 ' 3 2 ln 4 2
x x x x y (^) x x y
= = = -^ Æ = - ◊ - ◊
x x
3
f x x
2
( x 1)
n (^) n a n n
a f x = x +
f x x
- Ê - ˆ -
= ◊ Á ˜◊
Ë ¯
f x x
= - ◊
f x x
=
(^13) f x( )=x
(^3) x
2 2
x x f x x x
x x - -
f x x
x + 1
x ++ 1
2 3
x x
2 3
x x
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
f ''(ñ2) < 0 hi ha un m‡xim relaitu a x = ñ
f '' > 0 hi ha un mÌnim relatiu a x =
f(x) Ès convexa (ñ•,ñ ) i cÚncava (ñ ,+•)
b) f(x) = x^3 + 2
f '(x) = 3x^2 ; f ''(x) = 6x Æ x = 0 Ès un punt díinflexiÛ de tangent horitzontal i de canvi de concavitat. f(x) Ès convexa (ñ•,0) i cÚncava (0,+•).
c) f(x) = x + cos x
f '(x) = 1 ñ sin x i f ''(x) = cos x Æ cos x =
convexa: (0, ); ( ,2p) i cÚncava: ( ,2p)
d) f(x) = x^4 ñ x^2
f '(x) = 4x^3 ñ 2x
f ''(x) = 12x^2 ñ 2 Æ 12 x^2 ñ 2 = 0 Æ x =
tenint en compte els extremes relatius de la funciÛ trobats a líexercici 11 d) podem esta- blir:
f(x) Ès cÚncava: (ñ•,ñ ) i ( ,+•) i con-
vexa.
15. Calcula.
a) (1 ñ cos x)2x
…s un limit del tipus e K.
e^0 = 1
b) (sin x) tg^ x
…s del tipus e K.
c)
d) x^4 ln x
16. Determina els punts díinflexiÛ de la funciÛ
seg¸ent:
f(x) =
f '(x) =
f ''(x) = =
6 x^2 ñ 2 = 0 Æ x = ±
Hi ha dos punts díinflexiÛ.
17. Calcula la primera i la segona derivada de
la funciÛ f(x) = (x ñ 1) 3. Síanul∑len les dues derivades en un mateix punt? Troba aquest punt i explica de quin tipus Ès.
f '(x) = 3(x ñ 1) 2 ; f ''(x) = 6(x ñ 1)
Les dues derivades síanul∑len per a x = 1. En aquest punt hi ha una inflexiÛ de tangent horit- zontal i de canvi de concavitat.
18. Considera la funciÛ f(x) = x^3 + x^2 + bx + 7.
Troba b de manera que la gr‡fica de la fun-
2 2 3
x x
2 2 2 2 4
x x x x x
2 2
x x
2
1 ++x
4 limx 0 4 0
x Æ
5 4 0 0 0 0 4 5
ln lim ln lim lim lim x x 1 x 4 x 4
x (^) x x x x x x x
Æ Æ Æ Æ
0 lim x ÆÆ
3 3 0 0
lim lim(1 )( 3 ) 4 1 1
x x x x x x
e e x e e
x
Æ Æ
3 0 lim ln(1 )
x x x
e e x
Æ
3 0 lim ln(1 )
x x x
e e x
ÆÆ
3 0 2
cos lim 0 1 x sin
x e Æp x
= = Æ =
(^2 2 2 )
cos lnsin (^) sin lim tg lnsin lim lim tg^1 cos
x x x
x x (^) x R x x x x
= (^) Æ p = (^) Æp = (^) Æp =
2
lim x ÆÆp
0 2
sin lim 1 cos 0 1 2
x
x x
x
Æ
0 (^ ) 0
ln(1 cos ) lim 2 ln(1 cos ) lim 1 2
x x
x K x x
x
Æ Æ
0 lim x ÆÆ
Ê ˆ
ÁÁ - ˜˜
Ë ¯
3 p 2
p 2
p
1
2
x
x
p
p
Ê ˆ
Á ˜
Ë ¯
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
ciÛ tingui a x = 1 un punt díinflexiÛ de tan- gent horitzontal. f '(x) = 3x^2 + 2x + b f '(1) = 5 + b = 0 Æ b = ñ f ''(x) = 6x + 2 Æ f ''(ñ5) π 0 i no hi ha punt díin- flexiÛ.
19. Determina f(x) sabent que la derivada terce-
ra Ès fííí(x) = 24x, f(0) = 0, fí(0) = 1 i fíí(0) = 2. f(x) Ès un polinomi de quart grau ja que la ter- cera derivada Ès de primer grau: f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e f(0) = 0 Æ e = 0 f '(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d f '(0) = 1 Æ d = 0 f ''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c f ''(0) = 2 Æ 2 c = 2 Æ c = 1 f '''(x) = 24ax + 6b = 24x Æ a = 1 i b = 0 Substituint: f(x) = x4 + x2 + x
20. Analitza la continuÔtat i la derivabilitat de la
funciÛ f(x) = si x π 0 i f(0) = 0.
La funciÛ presenta una discontinuÔtat de salt a x = 0. No Ès derivable a x = 0 ja que no Ès contÌnua en aquest punt.
21. Raona si la funciÛ f(x) = x^6 ñ 6x^2 + 3 tÈ algu-
na arrel entre 0 i 1. Troba aquest valor amb una aproximaciÛ fins a les centËsimes. Apliquem el teorema de Bolzano ja que: f(0) = 3; f(1) = ñ2 i la funciÛ Ès contÌnua. Existeix un c Œ [0,1] tal que f(c) = 0. Utilitzant la canculadora per trobar valors nu- mËrics de la funciÛ per valors de x de líinterval, síobtÈ com a valor aproximat c @ 0,72.
x x
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
