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Matrices
urjc.es
versi´on 3.
1. MATRICES
Matriz de orden m x n
A =
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
. . .
am 1 am 2 · · · amn
´o
A =
aij
m·n
´o A =
C 1 C 2 · · · Cn
´o A =
f 1
f 2
. . .
fm
Matriz cuadrada: n=m
Diagonal principal: aij con i = j
Traza: Suma de los elementos de la diagonal principal
i=j aij
Matriz Triangular:
Subtriangular: Todos los elementos bajo la diagonal principal son cero
Supertriangular: Todos los elementos sobre la diagonal principal son cero
Matriz Diagonal: Todos los elementos por encima y por debajo de la diagonal
principal son cero
Matriz Fila: A 1 ·n
Matriz Columna: Am· 1
1.1. OPERACIONES CON MATRICES
1.1.1. Suma de Matrices
Al sumar dos matrices del mismo orden (mxn) se obtiene otra matriz que resulta
de sumar los elementos que ocupan el mismo lugar.
aij
m·n
bij
m·n
aij + bij
m·n
Ejemplo
1.1.2. Producto de n´umero real por matriz
Es el resultado de multiplicar el n´umero real por cada elemento de la matriz
k
aij
kaij
Ejemplo
1.1.3. Producto Matricial
Am·nBn·p = Cm·p donde cij = ai 1 b 1 j+ai 2 b 2 j + .... + ainbnj
suma de los productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j
de B
Ejemplo
1.2. Expresi´on de sistemas lineales
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
. . .
am 1 am 1 · · · amn
m·n
x 1
x 2
. . .
xn
n· 1
b 1
b 2
. . .
bm
m· 1
A · X = B
1.3. Transposici´on matricial. Matrices Sim´etricas
Definici´on
Matriz Transpuesta de Am·n es la matriz A
t n·m |^ (aij^ )
t = aji
Ejemplo
A =
2 · 3
A
t
3 · 2
Si la matriz A es cuadrada
y adem´as aij = aji
=⇒ A = A
t y se denomina matriz Sim´etrica
1.4. PROPIEDADES
- Propiedad involutiva (A t )
t = A
2. (A + B)
t = A
t
t
3. (A · B)
t = B
t A
t
- DETERMINANTES
A toda matriz cuadrada se le asocia un determinante, que es un n´umero. |A| ´o det (A)
- Si el det (A) = 0 los vectores son l.d.
- Si el det (A) 6 = 0 los vectores son l.i.
Determinante de una matriz 2x
|A| =
a 11 a 12
a 21 a 22
= a 11 a 22 − a 12 a 21
Determinante de una matriz 3x3. Regla de Sarrus
|A| =
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 − a 13 a 22 a 31 −
a 12 a 21 a 33 − a 23 a 32 a 11
Determinante de una matriz triangular
det
a 11 a 12 a 13 · · · a 1 n
0 a 22 a 23 · · · a 2 n
0 0 a 33 · · · a 3 n
. . .
0 0 0 · · · ann
i=j aij
2.0.1. Propiedades de los determinantes
- det (A) = det (A t )
- Si una de las columnas (o filas) de la matriz es nula, el determinante vale
cero.
- Si se intercambian entre si dos columnas (o filas) el determinante cambia de
signo.
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
. . .
am 1 am 1 · · · amn
a 21 a 22 · · · a 2 n
a 11 a 12 · · · a 1 n
. . .
am 1 am 1 · · · amn
- Si la matriz tiene dos columnas (o filas) iguales (o proporcionales) el det=
- Si se multiplica una fila (o columna) por un escalar el determinante queda
multiplicado por ese escalar.
|A| =
|A 13 | =
Llamamos adjunto de un elemento a su menor complementario provisto del
signo (−1)
i+j
Un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una
fila (o columna) culquiera por sus adjuntos
|A| =
|A| =
3+ (−1)
- Si en una matriz cuadrada de orden n · n los n vectores columna son l.d. el
determinante de la matriz vale cero y si son l.i. el determinante es distinto de
cero
11. |A · B| = |A| · |B|
- La suma de los elementos de una fila (o columna) multiplicados por los
adjuntos de los lugares de una paralela a ella vale cero.
Ejemplo: Se un determinante que tiene la filas 3
a y 1
a iguales.
a 31 a 32 a 33
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 32
= a 31 A 11 − a 32 A 12 + a 33 A 13 = 0
Ejemplo de c´alculo de un determinante
|A| =
- RANGO DE UNA MATRIZ
Los determinantes solo nos permiten estudiar la dependencia o independencia
de los vectores de una matriz cuadrada.
Necesitamos un concepto m´as general para este estudio que es el de rango.
Definici´on: RANGO
Se llama rango de un conjunto de vectores a la dimensi´on del subespacio engen-
drado por dichos vectores.
Propiedades C → Conjunto de vectores cualquiera
- El rango de C es igual al m´aximo n´umero de vectores l.i. de C.
- Para que un conjunto de vectores sea l.i. es necesario y suficiente que su rango
sea igual al n´umero de vectores.
- En una matriz m · n hay m vectores fila y n vectores columna, y se puede
hablar del rango por filas y el rangopor columnas. ”El rango por filas es igual
al rango por columnas”.
- Se dice que una matriz es escalonada por filas cuando en cada fila el n´umero
de ceros que preceden al primer elemento no nulo es mayor que en la fila anterior.
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
0 0 a ′ 3 a ′ 4 a ′ 5 0 0 0 a ′′ 4 a ′′ 5 0 0 0 0 0
3.0.2. CALCULO DEL RANGO
A =
C 1 C 2 · · · Cn
Pasos:
o Elegir las 2 primeras columnas y buscar un menor de orden 2 no nulo.
Si lo hay, C 1 y C 2 son l.i. y el rango de la matriz es al menos 2.
Si no lo hay, C 2 es m´ultiplo de C 1 , se suprime C 2 y se elige la siguiente columna
en su lugar.
o Partiendo del menor no nulo de orden 2 se elige una nueva columna y se van
calculando solamente los menores de orden 3 que sean orlados del de orden 2 no
nulo hasta encontrar uno no nulo. Si lo hay, las 3 columnas son l.i. y el rango al
menos es 3.
Si no los hay, la 3
a columna es c.l. de las 2 primeras y puede suprimirse.
a Se reitera el procedimiento partiendo del menor de orden 3 no nulo.
|A| =
C 1 C 2 C 3 C 4
C 1 C 2
son l.i.=⇒ r (A) 1 2
Eligiendo C 3 y calculando los menores de orden 3 ampliados del anterior de
orden 2
y por anularse los dos ´unicos menores, C 3 es c.l. de
C 1 C 2
. Se suprime C 3
Eligiendo C 4 y calculando los menores de orden 3 ampliados del de orden 2 no
nulo.
y por anularse los dos ´unicos menores de orden 3, C 4 es c.l. de
C 1 C 2
. Se
suprime C 4
El rango es: r (A) = 2
Ejemplo
Rango
C 1 C 2
son l.i. r (A) 1 2
C 3 es c.l.de
C 1 C 2
se puede eliminar C 3
C 4 es c.l.de
C 1 C 2
se puede eliminar C 4
C 5 es c.l.de
C 1 C 2
se puede eliminar C 5
−→Por tanto r(A) = 2
Por columnas son independientes las 2 primeras
Por filas son independientes las 2 primeras
Ejemplo
A =
Ejemplo
D =
= 0 → r (D) 1 2
→ C 3 es c.l. de
C 1 C 2
−→se puede eliminar C 3
→ r (D) 1 2
C 1 C 2 C 3
son l.i.→ r (D) 1 3
= 0 ya que f 4 = f 1 +f 2 +f 3 → C 5 es c.l. de
C 1 C 2 C 3
r (D) = 3
Ejemplo
E =
C 1 C 2
l.i.→ r (E) 1 2
→L´gico C 3 = C 1 →se suprime C 3
→se suprime C 4
C 1 C 2 C 5
son l.i.→
r (E) = 3
Ejercicios Determinar el rango
(^) ver si el rango es 2
ver si el rango es 2
A =
|A| =
A
t
A
− 1
5 2
3 2
1 2
1 2
- EXPRESIONES Y ECUACIONES MATRI-
CIALES
Simplificar la expresi´on:
a.
AB
− 1
AB
− 1
B
− 1
A
− 1 AB
− 1 = In
b. (A + B)
2 − (A − B)
2
A
2
2
A
2 − AB − BA + B
2
2 AB + 2BA
Despejar X, supuesto que existe conformidad de ´ordenes y que A y B son
regulares:
a. AX = B → X = A
− 1 B
b. XA = B → X = BA
− 1
c. AX − 1 = B → X − 1 = A − 1 B → X =
A
− 1 B
= B
− 1
A
− 1
= B
− 1 A
d. A (B + X) = A − 1 → AB + AX = A − 1 → X =
A
− 1
− B
- M´ETODOS MATRICIALES PARA LOS AN ´ALI-
SIS LINEALES DE COMPATIBILIDAD
6.1. DISCUSI ´ON DE UN SISTEMA LINEAL
Analizar un sistema lineal supone:
- Compatibilidad del sistema → Averiguar si existe soluci´on, y en caso afirma-
tivo, si es ´unica.
- El c´alculo de las soluciones en caso de que existan.
Estudiaremos si el vector columna b es o no c.l. de los n vectores columna
formados por los coeficientes de cada inc´ognita {c 1 ,... , cn}
x 1 c 1 + x 2 c 2 + · · · + xncn = b
La forma de averiguarlo es comparando la matriz de los coeficientes A con la
ampliada (A | b) =
c 1 c 2 · · · cn b
Si los rangos de ambas matrices coinciden el vector b es c.l. de los vectores ci
y el sistema es compatible, en caso contrario es incompatible al no ser b c.l. de
los ci
En caso de compatibilidad, la soluci´on puede ser ´unica o pueden existir infinitas
soluciones.
El teorema de unicidad de coordenadas garantiza que si el vector b es c.l. de los
vectores ci estos ´ultimos son l.i. las coordenadas son ´unicas.
Si r (A) = r = n la soluci´on es ´unica (sistema determinado).
Si r (A) = r < n hay infinitas soluciones (sistema indeterminado) con n − r
grados de libertad.
6.2. TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUS (resumen)
r (A) 6 = r (A | b) =⇒ incompatible
r (A) = r (A | b) = n =⇒ compatible determinado
6.3.1. SISTEMAS CRAMER
Son aquellos cuya matriz de los coeficientes A es regular (∃A − 1 : cuadrada y
|A| 6 = 0)
AX = b |A| 6 = 0
Tienen soluci´on ´unica. X = A
− 1 b
REGLA DE CRAMER X = A
− 1 b
x 1
x 2
. . .
xi
. . .
xn
|A|
A 11 A 21 · · · Ai 1 · · · An 1
A 12 A 22 · · · Ai 2 · · · An 2
. . .
A 1 i A 2 i · · · Aii · · · Ani
. . .
A 1 n A 2 n A 11 Ain Ann
b 1
b 2
. . .
bi
. . .
bn
Despejando xi
xi =
A 1 ib 1 + A 2 ib 2 + · · · + Anibn
|A|
c 1 c 2 · · · b · · · cn
|A|
i = 1,... , n
Ejemplo
Estudie el sistema:
x 1 + 2x 2 − x 3 = 2
2 x 1 − x 2 + 2x 3 = 6
−x 1 + 3x 2 − 2 x 3 = − 1
Soluci´on
A =
= 0 =⇒ {c 1 , c 2 } l.i.=⇒ r (A) 1 2
= − 5 6 = 0 =⇒ {c 1 , c 2 , c 3 } l.i.=⇒ r (A) = 3
r (A) = 3 = r (A | b) Sistema Cramer compatible determinado
Resoluci´on por matriz inversa
x 1
x 2
x 3
x 1
x 2
x 3
x 1
x 2
x 3
Resoluci´on por Cramer
x 1 =
|A|
x 2 =
|A|
x 3 =
|A|
Resoluci´on por triangulaci´on
(A | b) =
x 1 + 2x 2 − x 3 = 2
− 5 x 2 + 4x 3 = 2
x 3 = 3
→ x 1 = x 3 − 2 x 2 + 2 = 3 − 4 + 2 = 1
→ x 2 =
−(2− 4 x 3 ) 5
−(2−12) 5
x 1 = 1
x 2 = 2
x 3 = 3
