¡Descarga Álgebra y Geometría Analítica I: Matrices, Sistemas y Determinantes y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA I - DIIT
MATRICES – SEL -DETERMINANTES
MATRICES
Definición de Matriz
Una matriz es una tabla de números dispuestos en filas (líneas horizontales) y columnas (líneas
verticales). Sus elementos son números reales o complejos.
En donde 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 representa cada número ubicado en la matriz, donde 𝑖𝑖 es el número de fila y 𝑗𝑗 es el
número de columna.
Se puede escribir empleando paréntesis ( ) o corchetes [ ].
Orden
Se denomina dimensión , tamaño u orden a la cantidad de filas y de columnas que posee.
En este caso 𝐴𝐴 es una matriz de 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛.
A las matrices las simbolizaremos con letras mayúsculas
Ejemplo:
Sea: A = �
3 4
� esta es una matriz de 2 filas y 3 columnas , los elementos o entradas son
números reales , se expresa de la siguiente manera 𝐴𝐴 𝜖𝜖 ℝ 2 ×^3.
Otra forma de presentar la matriz A es: �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 � (^) 𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶 2 × 3 ∧ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝜖𝜖ℝ
𝐴𝐴 𝜖𝜖 ℝ 2 ×^3 , 𝐴𝐴 = �
𝑎𝑎 21 𝑎𝑎 22 𝑎𝑎 23 � → �^
El elemento que aparece en la fila i y la columna j de la matriz 𝐴𝐴 se le nombra como 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖. Por
ejemplo, 𝑎𝑎 12 = – 1 y 𝑎𝑎 21 = 3.
Ejercicio:
A = �
3 4
� (^) Indicar cuál es el valor asignado a cada una de las entradas de la matriz 𝐴𝐴
detalladas en la siguiente tabla
𝑎𝑎 11 =……………… 𝑎𝑎 12 =……………… 𝑎𝑎 13 =………………
𝑎𝑎 21 =……………… 𝑎𝑎 22 =……………… 𝑎𝑎 23 =………………
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
La matriz A = �
3 4
2 × 3
decimos que es rectangular; en cambio B = �^2
2 × 2
es de
igual cantidad de filas que de columnas y se denomina cuadrada (se abrevia cuadrada de orden 2,
no hace falta especificarla de 2 × 2); como los coeficientes son números reales se dice que 𝐵𝐵 𝜖𝜖 ℝ 2 ×^2.
Una matriz 𝐶𝐶 𝜖𝜖 ℝ 4 ×^2 tendría la siguiente forma general:
� = �𝑐𝑐𝑖𝑖,𝑖𝑖� ∕ 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 4; 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 2 en donde cualquier 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 es un número real.
En general, una matriz de orden 𝑛𝑛 × 𝑚𝑚 es un arreglo así
D= �
Ejemplo:
Explicitar la matriz AЄ R 3x2^ tal que a (^) ij = (–1) i+j. i
La matriz A genérica es
11 12 21 22 31 32
a a a a a a
debemos considerar la condición a (^) ij = (–1)i+j. i para i desde
1 a 3 ( porque la matriz tiene 3 filas) y j desde 1 a 2 porque tiene 2 columnas. Calculamos los 6
valores
11 12 21 22 31 32
a a a a a a
Para calcular a 11 , i=j=1 reemplazando en a (^) ij = (–1) i+j. i ,
a 11 = (–1) 1+1. 1 = (–1) 2. 1 = 1. 1 = 1
a 12 , i=1 y j= 2 usamos a (^) ij = (–1) i+j. i , a 12 = (–1) 1+2. 1 = (–1) 3. 1 = -1. 1 = - 1
a 21 , i=2 y j= 1 resulta , a 21 = (–1)2+1. 2 = (–1) 3. 2 = -1. 2 = - 2
a 22 , i=2 y j= 2 resulta , a 22 = (–1)2+2. 2 = (–1) 4. 2 = 1. 2 = 2
a 31 , i=3 y j= 1 resulta , a 31 = (–1)3+1. 3 = (–1) 4. 3 = 1. 3 = 3
a 32 , i=3 y j= 2 resulta , a 32 = (–1)3+2. 3 = (–1) 5. 3 = - 1. 3 = - 3
Colocando estos valores en la matriz, resulta
11 12 21 22 31 32
a a a a a a
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
Clasificación De Matrices
Una matriz se llama matriz columna si es de orden mx1.
Mostrar 3 ejemplos de matrices columna de diferente tamaño; de diferente cantidad de filas.
A las matrices columna se las suele llamar vector columna
¿Se podrá hablar de matrices fila?
¿A cuál tipo de matriz se denominará vector fila?
Mostrar 3 ejemplos de matrices fila con diferente cantidad de columnas.
Se llama matriz Nula o Cero ( N o O ) a una matriz con todas sus entradas o elementos iguales a 0.
¿Cuáles son las matrices nulas para 2x5 y 4x4?
La siguiente matriz G es de orden 3x5: 𝐺𝐺 = �
Los elementos gii se llaman elementos diagonales de la matriz G.
¿Qué valores puede tomar i en este caso? ¿Cuáles son los elementos diagonales?
La matriz 𝐺𝐺 puede pensarse como formada por tres vectores filas 𝐺𝐺 1 , 𝐺𝐺 2 𝑦𝑦 𝐺𝐺 3. Escribirlos.
Se acostumbra a anotar a 𝐺𝐺 = �
𝐺𝐺 1 = (…^ …^ …)
𝐺𝐺 2 = (…^ …^ …)
𝐺𝐺 3 = (…^ …^ …)
De forma similar se reconocen 5 vectores columnas 𝐺𝐺 1 , 𝐺𝐺 2 , 𝐺𝐺 3 , 𝐺𝐺 4 , 𝐺𝐺 5 de forma tal que es 𝐺𝐺 =
[𝐺𝐺 1 𝐺𝐺 2 𝐺𝐺 3 𝐺𝐺 4 𝐺𝐺 5 ] →
Se llama traza de una matriz a la suma de los elementos diagonales.
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
Una matriz cuadrada se denomina triangular superior si todas las entradas por debajo de la
diagonal principal se anulan; triangular inferior si todas las entradas por encima de la diagonal
principal son nulos.
Brindar ejemplos de ambas en R 2x2, R3x3^ y R4x4.
¿La matriz nula cuadrada de orden n es triangular superior?
Una matriz cuadrada, que a la vez es triangular superior y triangular inferior se llama matriz
diagonal, dicho de otra forma:
Una matriz cuadrada cuyas entradas no diagonales son nulas se llama matriz diagonal.
Escriba una de orden 2 y otra de orden 4.
¿Es la matriz
una matriz diagonal?
¿Cuál es la forma general de una matriz diagonal de orden 3?
� usar # para indicar números diferentes de cero y ∗ si la entrada es cero.
Una matriz diagonal tal que sus elementos de la diagonal principal sean idénticos se llama matriz escalar.
Dar 2 ejemplos de matrices escalares de diferente orden.
Una matriz escalar con unos (1) en la diagonal se llama matriz identidad, se simboliza In , siendo
n el orden de la matriz.
Escribir I 2 y I 3. 𝑰𝑰𝟐𝟐 = �
… …�^ 𝑰𝑰𝟑𝟑^ =^ �
Traspuesta de una matriz
Si H es una matriz de mxn se defina traspuesta de H (se anota H T^ o Ht ) a la matriz de dimensión nxm tal que los vectores fila de H son los vectores columnas de HT. O simbólicamente:
[HT] (^) i,j = [H] (^) j, i con 1≤ i ≤n , 1≤ j≤m
Escribir las transpuestas de las siguientes matrices:
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
Propiedades de la suma de matrices
La suma de matrices cumple las siguientes propiedades:
- Para toda A y B perteneciente a Rmxn^ resulta que A + B también pertenece a Rmxn^ a esta
propiedad se la conoce como ley de composición interna ó ley de cierre.
Para toda A y B perteneciente a R mxn^ resulta que A+ B = B + A [ conmutatividad ]
Para toda A , B y C perteneciente a R mxn^ resulta que (A+ B)+C = A + (B + C) [ asociatividad ]
Existe un elemento N perteneciente a Rmxn^ tal que para toda matriz A perteneciente a Rmxn
resulta A+N = N + A = A. [ existencia de elemento neutro, la matriz nula]
- Toda matriz A tiene una matriz –inversa aditiva u opuesta - denotada - A que cumple que
A + (-A) = - A + A = N [ elemento simétrico respecto a la suma ]
- Producto de un escalar por una matriz
Si AЄRmxn^ y kЄR definimos la matriz [k.A] como [kA]ij = k. [A] (^) ij
(−4). 𝐴𝐴 = (−4). �−^2 10 2 𝜋𝜋
� = �−^2 10 2 𝜋𝜋
(−4) × (−2) (−4) × 10 (−4) × 2 (−4) × 𝜋𝜋
(−4) × 1 (−4) × (−3) (−4) × 4 (−4) × 0
� = � 8 −^40 −^8 −^4 𝜋𝜋
Propiedades del producto de un escalar por una matriz
El producto de un escalar por una matriz cumple las siguientes propiedades:
- ∀ α ∈ R ∧ ∀ A ∈ R mxn^ ⇒ α. A ∈ Rmxn [ ley externa ]
2) ∀ α β , ∈ R ∧ ∀ A ∈ Rmxn ⇒ resulta que α.(β.A) = (α. β).A [ asociativa mixta ]
3) ∀ α β , ∈ R ∧ ∀ A ∈ Rmxn ⇒ (α+β).A = α.A+ β.A [ producto distributivo respecto a la
suma de escalares (números)]
4) ∀ α ∈ R ∧ ∀ A ,B ∈ Rmxn ⇒ α.(A+B)= α.A + α.B [ ∙distributivo respecto a la suma de
matrices ]
- La unidad del “cuerpo” de los números reales es elemento neutro para este producto.
∀ A ∈ R^ mxn resulta que 1. A=A [ elemento unidad ]
Resta de matrices
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
Habiéndose definido las operaciones (“suma de matrices y producto de una matriz por un escalar)
podemos pensar a la resta como una combinación de ambas:
- Producto entre matrices
Primero vamos a definir el producto entre una matriz fila y una matriz columna en este orden.
Sea VЄR1xn^ y WЄRnx1^ el resultado de V.W es un número real obtenido al realizar la cuenta
v w 1. 1 + v 2 . w 2 + v w 3. 3 + ... + vn − 1. w n − 1 + vn. wn donde V^ =^ [ v 1^ v 2^ ....^ vn ]y
1 2 : n
w w W
w
= ^
El siguiente esquema puede usarse como facilitador gráfico.
Ejercicio:
Efectuar el producto de las matrices 𝐴𝐴𝜖𝜖ℝ1𝑥𝑥3^ 𝑦𝑦 𝐵𝐵𝜖𝜖ℝ 3𝑥𝑥1, para obtener 𝐴𝐴. 𝐵𝐵
Si 𝐴𝐴 = [6 − 3 −8]^ y 𝐵𝐵 = �
Producto de matrices (^) Matriz que pos-multiplica
Matriz que pre-multiplica Matriz Producto
Producto de matrices 𝑩𝑩
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
O sea, sólo se puede multiplicar matrices donde la primera tenga igual cantidad de columnas que
tiene por filas la segunda.
Además, el orden de la matriz producto es: 𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶𝑶(𝑉𝑉. 𝑊𝑊) = 𝑚𝑚 × 𝑞𝑞
Ejemplo
Sean las matrices U = �
𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑛𝑛 3 ×𝟐𝟐
, Z = �−^1 5 −^7
𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑛𝑛 𝟐𝟐× 3
, efectuar el producto 𝑈𝑈. 𝑍𝑍
Primero: se analiza la dimensión de las matrices 𝑈𝑈 𝑦𝑦 𝑍𝑍 , verificando que la cantidad de columnas
de la la matriz U sea igual a la cantidad de filas de la matriz Z.
Orden de la matriz 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑑𝑑𝑂𝑂𝑛𝑛(𝑈𝑈) = 3 × 𝟐𝟐 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑑𝑑𝑂𝑂𝑛𝑛(𝑍𝑍) = 𝟐𝟐 × 3
Conclusión la operación 𝑈𝑈 × 𝑍𝑍 se pueden realizar.
La matriz producto tendrá por dimensión u orden la cantidad de filas de la matriz que pre-multiplica
(𝑈𝑈) y la cantidad de columnas de la que pos-multiplica (𝑍𝑍).
La dimensión u orden de la matriz 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑑𝑑𝑂𝑂𝑛𝑛(𝑈𝑈 × 𝑍𝑍 ) = 3 × 3
Usando el esquema para la operación producto de matrices se calcula 𝑈𝑈 × 𝑍𝑍
𝑃𝑃𝑂𝑂𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑃𝑃𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑂𝑂 (𝑈𝑈. 𝑍𝑍)^ �
(−𝟑𝟑) × (−𝟏𝟏) + (−𝟐𝟐) × 𝟎𝟎 (−𝟑𝟑) × 𝟓𝟓 + (−𝟐𝟐) × 𝟏𝟏 (−𝟑𝟑) × (−𝟕𝟕) + (−𝟐𝟐) × (−𝟒𝟒) 𝟒𝟒 × (−𝟏𝟏) + 𝟎𝟎 × 𝟎𝟎 𝟒𝟒 × 𝟓𝟓 + 𝟎𝟎 × 𝟏𝟏 𝟒𝟒 × (−𝟕𝟕) + 𝟎𝟎 × (−𝟒𝟒) (−𝟏𝟏) × (−𝟏𝟏) + 𝟓𝟓 × 𝟎𝟎 (−𝟏𝟏) × 𝟓𝟓 + 𝟓𝟓 × 𝟏𝟏 (−𝟏𝟏) × (−𝟕𝟕) + 𝟓𝟓 × (−𝟒𝟒)
�
𝟑𝟑 −𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟐𝟐𝟗𝟗 −𝟒𝟒 𝟐𝟐𝟎𝟎 −𝟐𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟏 𝟎𝟎 −𝟏𝟏𝟑𝟑
Ejercicio
Sean U = �
�, Z = �−^1 5 −^7
� , T= [8 − 8 −3], R = �
a) ¿Cuál de los siguientes productos están definidos?
𝑈𝑈. 𝑍𝑍; 𝑍𝑍. 𝑈𝑈; 𝑈𝑈. 𝑇𝑇; 𝑇𝑇. 𝑈𝑈; 𝑍𝑍. 𝑇𝑇; 𝑍𝑍. 𝑅𝑅; 𝑅𝑅. 𝑍𝑍; 𝑈𝑈. 𝑅𝑅; 𝑅𝑅. 𝑈𝑈; 𝑇𝑇. 𝑅𝑅; 𝑅𝑅. 𝑇𝑇
Conviene escribir las dimensiones de ambas matrices en el orden del producto y comparar número
de columna con número de fila.
𝑈𝑈. 𝑍𝑍: 3 𝑚𝑚𝟐𝟐 • 𝟐𝟐𝑚𝑚 3 → 3 𝑚𝑚 3 𝑍𝑍. 𝑈𝑈: 2 𝑚𝑚𝟑𝟑 • 𝟑𝟑𝑚𝑚 2 → 2 𝑚𝑚 2 𝑈𝑈. 𝑇𝑇: 3 𝑚𝑚 2 • 1 𝑚𝑚 3 𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑂𝑂 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑂𝑂𝑑𝑑𝑂𝑂 𝑇𝑇. 𝑈𝑈: 1 𝑚𝑚𝟑𝟑 • 𝟑𝟑𝑚𝑚 2 → 1 𝑚𝑚 2
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
Completar las restantes.
b) Realicemos el producto 𝑍𝑍. 𝑈𝑈 = �−^1 5 −^7 0 1 − 4
� ; 𝑍𝑍. 𝑈𝑈 = �^30 −^33
Sean, U = �
� , Z = �−^1 5 −^7
𝟑𝟑 −𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟐𝟐𝟗𝟗 −𝟒𝟒 𝟐𝟐𝟎𝟎 −𝟐𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟏 𝟎𝟎 −𝟏𝟏𝟑𝟑
� 𝑦𝑦 𝒁𝒁. 𝑼𝑼 = �𝟑𝟑𝟎𝟎^ −𝟑𝟑𝟑𝟑
¿El producto de las matrices 𝑼𝑼 𝒚𝒚 𝒁𝒁 es conmutativo? ……………
c) Completar los productos dados en a) que sean posibles de resolver.
Notar que con los primeros ejemplos surge que la propiedad conmutativa no se cumple: existiendo
𝐴𝐴. 𝐵𝐵 puede no existir 𝐵𝐵. 𝐴𝐴 o existir 𝐵𝐵. 𝐴𝐴 y ser de diferente tamaño o no coincidir con 𝐴𝐴. 𝐵𝐵.
Mostrar ejemplos con las tres posibilidades.
Dar un ejemplo donde se cumpla la conmutatividad del producto. Si no encuentras, puedes
investigar en Internet, ejemplos de matrices que conmuten.
Propiedades del producto entre matrices
El producto entre matrices cumple las siguientes propiedades:
1- A.(B.C)=(A.B).C [Asociativa]
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
2) ( A + B ) t^ = A t^ + Bt La traspuesta de una suma, es la suma de las traspuestas. La traspuesta es
distributiva con respecto a la suma.
3) ( ) con
t (^) t
α A = α A α∈ . La traspuesta de una constante por una matriz es igual a la
constante por la traspuesta de la matriz.
t (^) t t A B = B A La traspuesta de un producto de matrices, es el producto de las traspuestas en
el orden inverso.
Analiza las dimensiones de las matrices en esta última propiedad.
Videos:
Con ejercicio de demostraciones de propiedades de matrices simétricas y antisimétricas:
https://www.youtube.com/watch?v=vretXdAIDmI
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (SEL)
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y su geometría
a) Considera las rectas 𝑅𝑅 1 : 𝑦𝑦 = – 𝑚𝑚 + 2 𝑦𝑦 𝑅𝑅 2 : 4𝑚𝑚 + 3𝑦𝑦 = 3.
Es sencillo graficarlas (¡hacerlo!) pero nuestra atención es hacia la siguiente cuestión:
¿Existirá algún punto 𝑃𝑃 que pertenezca a ambas rectas?
El esquema siguiente nos da una idea, pero no representa al ejemplo numérico dado.
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
Se observa que casi siempre tomando un valor 𝑚𝑚 los valores verticales y que corresponden a las
rectas son diferentes, o sea 𝑦𝑦𝑅𝑅 1 ≠ 𝑦𝑦𝑅𝑅 2.
Pero sucede que en el punto de intersección de ambas líneas (𝑚𝑚𝑝𝑝; 𝑦𝑦𝑝𝑝) para el valor 𝑚𝑚𝑝𝑝 resulta el
valor vertical de ambas idéntico.
En nuestra situación se tendría: �
Esto recibe el nombre de sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Se puede resolver sustituyendo en este caso la primera ecuación en la segunda (Método de
sustitución).
4 𝑚𝑚𝑝𝑝 + 3. (– 𝑚𝑚𝑝𝑝 + 2) = 3 → 4 𝑚𝑚𝑝𝑝 – 3𝑚𝑚𝑝𝑝 + 6 = 3 → 𝑚𝑚𝑝𝑝 = 3 – 6 → 𝑚𝑚𝑝𝑝 = – 3
Al regresar a la primera ecuación se obtiene: 𝑦𝑦𝑝𝑝 = – (– 3) + 2 = 5
Resulta que el punto de intersección es 𝑃𝑃 = (– 3; 5).
Por seguridad es conveniente verificar la ecuación utilizada para el cálculo de 𝑦𝑦𝑝𝑝.
Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas donde existe un único par ordenado (𝑚𝑚; 𝑦𝑦) que las
cumple a ambas se denomina sistema compatible determinado. Si no hay ningún par ordenado que las verifique se llama sistema incompatible ; si existen infinitos pares que satisfacen a ambas se trata
de un sistema compatible indeterminado.
b) Veamos otra situación y otra técnica para llegar a la solución.
Se pretende resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2 𝑚𝑚 − 3 𝑦𝑦 = 13 ecuación 1 6x + 7y = 23 ecuación 2
¿Cambia el sistema si a la ecuación 1 la multiplicamos por 3?
(a) 𝑆𝑆 ′ : �
6 𝑚𝑚 − 9 𝑦𝑦 = 39 ecuación 3 6x + 7y = 23 ecuación 2
¿Qué ocurre si a la ecuación 2 le restamos la ecuación 3?
Pensar que aquí estamos restando el número 39 (que equivale a 6 𝑚𝑚 – 9𝑦𝑦)
(b) 𝑆𝑆 ′′ : �
6 𝑚𝑚 − 9 𝑦𝑦 = 39 ecuación 3 6x + 7y − (6x − 9y) = 23 − 39 ecuación 4
(c) 𝑆𝑆 ′′ : �^
6 𝑚𝑚 − 9 𝑦𝑦 = 39 ec. 3 16y = − 16 ec. 4
(d) 𝑆𝑆 ′′′ : �^
2 𝑚𝑚 − 3 𝑦𝑦 = 13 ec. 1 16y = − 16 ec. 4
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
Las operaciones elementales entre ecuaciones pueden pensarse como operaciones elementales
entre filas. Ellas nos dirigen a una nueva matriz que representa a un sistema equivalente al
anterior o sea que tienen el mismo conjunto solución.
Escribamos las operaciones elementales para las filas de una matriz que represente a un sistema lineal de ecuaciones:
a) Permutar dos filas entre sí.
b) A una fila multiplicarla por un número diferente de cero.
c) A una fila reemplazarla por la suma de ésta por un múltiplo de otra.
Explicite cuál (es) fue (ron) las operaciones elementales que permitieron ir de la matriz 𝑀𝑀 hasta la
𝑀𝑀’’’ en el caso anterior.
ESTADO INICIAL ( sistema original ) PROCESO ESTADO INICIAL^ ( sistema equivalente )
�^2 −^3 ⋮^13
�𝑂𝑂𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐.^3
� = �^3 ×^ 𝑂𝑂𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐.^1
… terminar con el proceso
Si tuviésemos el sistema �
resulta una matriz ampliada de 3 filas y 4 columnas;
esta es 𝑀𝑀 = �
La solución del sistema es 𝑧𝑧 = 5 ; 3 𝑦𝑦 – 5 = 4 → 𝑦𝑦 = 3 ; 2 𝑚𝑚 – 3 + 20 = 13 → 𝑚𝑚 = – 2.
Evidentemente podemos resolver el sistema desde las ecuaciones iniciales pero la matriz con tantos
ceros y estratégicamente ubicados facilita la resolución. Es por eso por lo que se nos hace necesario
un tratamiento individual y más profundo.
Expresión matricial de un sistema de ecuaciones
Anteriormente, se planteó el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
6x + 7y = 23 cuya solución fue (𝑚𝑚, 𝑦𝑦) = (5; – 1)
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
Veamos que dichas ecuaciones tienen varias interpretaciones:
(a) Cada ecuación corresponde a una recta y cuando uno está frente a un sistema pretende conocer
el punto (si existiera) donde las rectas se intersecan. Es una visión geométrica.
(b) A todo sistema de ecuaciones lineales se le puede asociar una formalización matricial.
Definimos una matriz 𝐴𝐴 como matriz del sistema , de tamaño mxn donde m es el número de
ecuaciones y 𝑛𝑛 el número de incógnitas (𝑚𝑚 1 , 𝑚𝑚 2 , … , 𝑚𝑚𝑛𝑛); una matriz X de incógnitas –que es un vector
columna- de 𝑛𝑛 × 1 y una matriz B de términos independientes –también vector columna- de 𝑚𝑚 × 1.
Si el sistema 𝑆𝑆 fuera
a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a1𝑛𝑛 x𝑛𝑛 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a2𝑛𝑛 x𝑛𝑛 = b 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a𝑚𝑚1 x 1 + a𝑚𝑚2 x 2 + … + a𝑚𝑚𝑛𝑛 x𝑛𝑛 = b𝑚𝑚
las matrices serían 𝐴𝐴 = �
de tal forma que 𝑆𝑆 puede escribirse como 𝐴𝐴. 𝑋𝑋 = 𝐵𝐵 que es la forma matricial de un sistema de
ecuaciones.
También suele definirse otra matriz M, matriz ampliada del sistema y es de orden 𝑚𝑚 × (𝑛𝑛 + 1).
Su forma es 𝑀𝑀 = �
𝑎𝑎 11 𝑎𝑎 12 ⋮^ 𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎 21 𝑎𝑎 22 ⋮^ 𝑎𝑎2𝑛𝑛
� (^) donde el separador es sólo un recurso visual para
recordar que allí debe estar el signo igual^1.
En nuestro caso particular tendríamos que 𝐴𝐴 = �
𝑦𝑦�,^ 𝐵𝐵^ =^ �
�y por ende la forma
matricial del sistema de ecuaciones es 𝐴𝐴. 𝑋𝑋 = 𝐵𝐵 → �
𝑦𝑦�^ =^ �
Observemos que (5; – 1) es solución del sistema pues al efectuar el producto (y que usaremos como
matriz columna) �^2 −^3 6 7
�obtenemos �^13 23
En cambio (– 3; 2) no es solución pues �^2 −^3 6 7
�. �−^3
� = �−^12
� y como el resultado no es la matriz
�^13 23
� (^) entonces (– 3; 2) no es una solución del sistema 𝑆𝑆.
(^1) El sistema se resolverá por aplicación de operaciones elementales entre filas.
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
b) La intención del método es por medio de las operaciones elementales llegar a una matriz
escalonada por filas. Esto sucede si:
i) Cualquier fila que se componga enteramente por ceros se ubica en la parte inferior.
ii) En cada renglón diferente de cero, la primera entrada no nula (llama entrada principal o pivote
o elemento distinguido ) se localiza en una columna a la izquierda de cualquier entrada principal debajo de ella (o equivalentemente, a medida “que bajamos” por la matriz los pivotes aparecen a la
derecha).
Al proceso lo llamaremos triangulación (si la matriz es cuadrada) o escalonamiento.
Los siguientes esquemas muestran algunas matrices triangulares superiores o escalonadas en
situaciones de resolución de sistemas de ecuaciones lineales (por eso el punteado dentro de la
matriz) y convengamos que “#” representa un número real no nulo y “•” uno cualquiera (incluyendo
el 0).
Ejemplo
Algebra y Geometría Analítica I - DIIT
Otras situaciones son:
M ostrar que en cada matriz se cumple que es triangular superior (𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑂𝑂𝑎𝑎 𝑖𝑖 > 𝑗𝑗).
c) La intención es que 𝑚𝑚 11 sea diferente de cero y todos los demás elementos de la primera columna
que están debajo de él se anulen.
Luego nos corremos una columna hacia la derecha y una fila hacia abajo y ese elemento debe ser
diferente de cero; para lograrlo podemos permutar filas.
Además, los restantes valores debajo de ese elemento ser nulos; si no pudiéramos conseguirlo nos
corremos una columna más a la derecha (como aquí �
d) El objetivo del método de Gauss es llegar a la solución del sistema resolviendo de atrás hacia
delante al terminar la triangulación o escalonamiento, o sea comenzar con lo que se obtiene en la última fila y seguir con las superiores.
