NOMBRE: Israel Ruiz
NIVEL: I “C”
CARRERA: Automotriz
MATERIA: Álgebra Lineal
FECHA: 29/05/2018
NRC: 5666
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Análisis de matrices: Propiedades y soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, Ejercicios de Álgebra Lineal
Documento que contiene demostraciones de propiedades de matrices, como la inversibilidad de una matriz y el cálculo de determinantes, además de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Tipo: Ejercicios
2019/2020
1 / 15
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¡Descarga Análisis de matrices: Propiedades y soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y más Ejercicios en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
NOMBRE: Israel Ruiz
NIVEL: I “C”
CARRERA: Automotriz
MATERIA: Álgebra Lineal
FECHA: 29/05/
NRC: 5666
1. Demostrar
a. Si AB = 0 → BA = 0.
AB = 0
(a ij
) m*n
- (b ij
) m*n
= 0
(bij)mn (aij)m*n= 0
B*A = 0
b. Si A
2 = A → (AB –ABA)
2 = 0.
(AB-ABA
2 ) = 0
(AB)
2 -2AB (ABA)+ (ABA)
2 = 0
(AB)
2
-2AB (ABA)+ A
2
B
2
A
2
= 0
A
2 B
2 -2AB (ABA)+ A B
2 A = 0
AB (B-2 B+ B) = 0
AB (2B-2B) = 0
AB (0) = 0
0 = 0.
2. Sea A =
x y y
y x y
y y x
. Hallar todas las matrices A que sean
idempotentes, con A ≠ 0 ≠ I.
A
2
= A Matriz Idempotente
x y y
y x y
y y x
x y y
y x y
y y x
x y y
y x y
y y x
(
x
2
- 2 y
2
y
2
- 2 xy y
2
- 2 xy
y
2
- 2 xy x
2
- 2 y
2
y
2
- 2 xy
y
2
- 2 xy y
2
- 2 xy x
2
- 2 y
2 )
x y y
y x y
y y x
A
t ´ A =
(
(
√^2
)(
√^2
)
(
i
√^2
)(
i
√^2
)
(
√^2
)(
i
√^2
)
(
i
√^2
)(
√^2
)
(
i
√^2
)(
√^2
)
(
√^2
)(
i
√^2
) (
√^2
)(
√^2
)
(
i
√^2
)(
i
√^2
)
)
A
t ´ A =
(
(
)
(
i
)
(
i
)
(
i
)
(
i
)
(
)
)
A
t ´ A =
(
)
A =( a
ij
)=^1 ∀^ i =^ j^ Matriz unitaria
4. Dadas las matrices A =
y B =
1 i 2
− 3 2 i 1
3 − 3 i 3
.Verificar
si A ≈ B. Determinar una matriz P invertible tal que B = PA.
A =
F 2 ↔F 1 ᶺ F 3 ↔F 2
F 3 +2F 1
F 3 – 2F 2
F 3
/-
F 2
-3F 3
F 1
- F 2
F 1 -F 3
B =
1 i 2
− 3 2 i 1
3 − 3 i 3
F 3
+F 2
1 i 2
− 3 2 i 1
0 − i 1
F 2
+3F 1
1 i 2
0 5 i 7
0 − i 1
F 2
-7F 3
1 i 2
0 12 i 0
0 − i 1
F 1
- F 3
0 12 i 0
0 − i 1
F 2 /
0 i 0
0 − i 1
F 3 + F 2
0 i 0
F 1 – 3F 3
0 i 0
√−^1 F 2
–F 2
∴ A = B
∴ A es equivalente a B
Determinar una matriz P invertible tal que B = PA.
A
− 1
=
|
F 2
↔F 1
|
F 3
↔F 2
|
F 3 + 2F 1
|
F 3 -2F 2
|
F 1 – F 3
|
F 1 + F 2
|
P = B A
− 1
P =
1 i 2
− 3 2 i 1
3 − 3 i 3
P =
(
- i
- 2 i 3 + 4 i
- 2 i
- 4 i − 2 / 3 − 15 + 8 i − 1
4 − 3 i
− 6 i 15 − 12 i
)
A
n
=
(
( a )
n
b n ( a )
n − 1
c n ( a )
n − 1
0 ( a )
n
d n ( a )
n − 1
- d
n ( n − 1 )
( a )
n − 2
0 0 ( a )
n
)
1. Encontrar el determinante de la siguiente matriz en factores:
A =
(
a b c d
a
2
b
2
c
2
d
2
a
3
b
3
c
3
d
3
)
A =
(
a b
c d
a
2
b
2
a
3
b
3
c
2
d
2
c
3
d
3
)
=
(
0 − a + b
− a + c − a + d
0 − ab + b
2
0 − ab + b
3
− ac + c
2
− ad + d
2
− ac + c
3
− ad + d
3
)
=
(
− a + b − a + c − a + d
− ab + b
2
− ab + b
3
− ac + c
2
− ac + c
3
− ad + d
2
− ad + d
3 )
=
(
b − a c − a d − a
b ( b − a )
b
2
( b − a )
c ( c − a )
c
2
( c − a )
d ( d − a )
d
2
( d − a )
)
¿ ( b − a )( c − a )( d − a )
(
b
b
2
c
c
2
d
d
2 )
¿ ( b − a )( c − a )( d − a )
(
c − b
c
2
− bc
d − b
d
2
− bd
)
¿ (^ b − a )( c − a )( d − a )
(
c − b d − b
c ( c − b ) d ( d − b )
)
¿ ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ( c − b )( d − b )( d − c )
(
c d
)
=d-c
2. Sea A =
2 3 m
4 9 m ²
. Determinar el valor de ∆ , si m es el menor
número entero positivo que hace que (^) ∆ sea múltiplo de 13.
(
π − 1 1
π − 1 m + 2
− 1 π
1 m
π − 1 m + 2
0 − 2 m − 2
m + 1 m
−( m + 4 ) 2 π − m
2
− m
)
F 3 -F 2
(
π − 1 1
π − 1 m + 2
− 1 π
1 m
0 − 2 m − 2
m m
2
− m
−( m + 4 ) 2 π − m
2
− m
)
F
2
− F
1
(
π − 1 1
0 m + 1
− 1 π
2 m − π
0 − 2 m − 2
m m
2
− m
−( m + 4 ) 2 π − m
2
− m
)
F 4 +2F 2
(
π − 1 1
0 m + 1
− 1 π
2 m − π
m m
2
− m
− m − m
2
- m
)
F 4 +F 3
(
π − 1 1
0 m + 1
− 1 π
2 m − π
m m
2
− m
)
(
π − 1 1 − 1
0 m + 1 2
0 0 m
π
m − π
m
2
− m
)
m = m
2
− m
m
2
− m 1 = 1
2
− 1
m ( m − 1 ) 1 = 0
El Sistema no tiene solución
m = 1
Adj A = Cofactores
t
= A
t
=
(
)
b. Calcula | A |
| A |=
(
)
| A |=
(
)
| A |=
(
)
| A |=
c. Verificar que A. adj A =| A |. I
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∴ Cumple
d. Hallar A
− 1
A
− 1
=
| A |
∗ adj A
A
− 1
=
A
− 1
=
(
)
3. Para que valores de x se anula el determinante.
(
− x 1 0 1
1 − x 1 0
0 1 − x 1
1 0 1 − x
)
C
1
+ C
2
+ C
3
+ C
4
(
2 − x 1
2 − x − x
2 − x 1
2 − x 0
− x 1
1 − x
)
≈ ( 2 − x )
(
1 − x
− x 1
1 − x
)
F 2 - F 1 ᶺ F 3 - F 1 ᶺ F 4 - F 1 ( 2 − x )
(
0 − 1 − x
− x 0
1 − x − 1
)
F
4
F
2
(− 1 − x )
( 2 − x )
(
0 − 1 − x
− x 0
− x
− 1 − x
− x − 1
)
F
4
F
3
− 1 − x
( 2 − x )
(
0 − 1 − x
− x 0
0 − x − 1
)
F
3
− x
( 2 − x )
(
0 − 1 − x
0 − x − 1
)
( 2 − x ) ¿