Ejemplos de operaciones con matrices: propiedades simétricas y antisimétricas, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas

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MATRICES ESPECIALES

2020 - 2 | SEMANA N° 11

PROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALES

ÁREA DE CIENCIAS

ÁLGEBRA LINEAL

11

12

13

22

23

33

1𝑛

2𝑛

3𝑛

0 0 0 ⋯^ 𝑎

𝑛𝑛 𝑛𝑥𝑛

CONTENIDO

➢ Definición de algunas Matrices Especiales.

➢ Propiedades. Ejercicios.

PROPIEDADES

a) 𝑨

𝒕 𝒕 = 𝑨

EJEMPLO

➢ Sean 𝐴 y 𝐵 dos matrices y 𝑘 un escalar, entonces se verifican

b) 𝑨 + 𝑩

𝒕 = 𝑨

𝒕

• 𝑩

𝒕 ; 𝑨 − 𝑩

𝒕 = 𝑨

𝒕 − 𝑩

𝒕

c) 𝒌𝑨

𝒕 = 𝒌𝑨

𝒕

d) 𝑨𝑩

𝒕 = 𝑩

𝒕 𝑨

𝒕 ;

𝒕 𝑩

𝒕

𝒕

• 𝑪

𝒕 𝑩

𝒕

𝒕

• 𝑩

𝒕 𝑪

𝒕 = 𝑪

𝒕 𝑩

𝒕 𝑨

𝒕

1. MATRIZ SIMÉTRICA

𝑨 𝐞𝐬 𝐬imétrica ⇔ 𝑨

𝒕 = 𝑨 ⟺ 𝒂 𝒊𝒋

𝒋𝒊

EJEMPLO

➢ Sea 𝐴 = [𝑎 𝑖𝑗

]

𝑛𝑥𝑛

una matriz cuadrada, se dice que 𝐴 es una matriz simétrica

si es igual a su matriz transpuesta; es decir,

es simétrica pues,

Por sus elementos, se caracteriza por:

𝑡

12

21

13

31

23

32

𝒕

1. MATRIZ ANTISIMÉTRICA

➢ Una matriz cuadrada A=[𝑎 𝑖𝑗

]

𝑛𝑥𝑛

es antisimétrica si se cumple:

EJEMPLO

𝒕 = −𝑨

La matriz 𝐴 es antisimétrica pues,

𝟏𝟏

𝟐𝟐

𝟑𝟑

= 𝟎 (diagonal ceros)

𝟏𝟐

𝟐𝟏

𝟏𝟑

𝟑𝟏

𝟑𝟐

𝟐𝟑

Observación:

𝐴=[𝑎 𝑖𝑗

] 𝑛𝑥𝑛

es antisimétrica ⟺ ቊ

𝑎 𝑖𝑗

= −𝑎 𝑗𝑖

, para 𝑖 ≠ 𝑗

𝑎 𝑖𝑖

= 0 , para 𝑖 = 𝑗.

𝑖, 𝑗 =

1 , … 𝑛

Propiedades

➢ Sean 𝐴 y 𝐵 dos matrices antisimétricas y 𝑘 un escalar, entonces

𝒂) ( 𝑨 + 𝑩) es una matriz antisimétrica.

𝒕 es antisimétrica

𝒄) (𝒌𝑨) es antisimétrica

5) MATRIZ DIAGONAL

Propiedades

𝒕

Una matriz cuadrada 𝐴 = [𝑎 𝑖𝑗

]

𝑛𝑥𝑛

es una matriz diagonal, si todos los elementos

encima y debajo de la diagonal son ceros.

𝒊𝒋

= 0 para 𝑖 ≠ 𝑗

EJEMPLO

1. 𝑨 + 𝑩; 𝑨 − 𝑩 𝐲 𝑨𝑩 son matrices diagonales respectivamente.

𝒏 = 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝒂

𝒏

𝟏𝟏

𝒏

𝟐𝟐

𝒏

𝟑𝟑

𝒏

𝒏𝒏

Sean 𝐴 y 𝐵 matrices diagonales, entonces se cumplen:

Notación: 𝐴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑎 11

22

33

𝑛𝑛

6) MATRIZ ESCALAR

Una matriz diagonal se llama matriz escalar: si la diagonal tiene todos sus

elementos iguales.

7) MATRIZ IDENTIDAD: 𝑰

𝒏

a) 𝑰

𝒕 = 𝑰

b) 𝑨. 𝑰 = 𝑰. 𝑨 = 𝑨

c) 𝑰

𝒎 = 𝑰, 𝒎 ∈ ℕ

Una matriz diagonal se denomina matriz Identidad si los elementos de la diagonal

son todos iguales a 1.

OBS. : La matriz identidad a veces se denota

como 𝑰 𝒏 para precisar que es de orden 𝑛 × 𝑛.

EJERCICIOS Y

PROBLEMAS 3.2 Pág. 290

𝐷 =

2 0 0

0 2 0

0 0 2

, 𝐸 =

− 1 − 2 − 2

1 2 1

− 1 − 1 0

a) Indique si cada una de las matrices dadas corresponde a una matriz especial

SOLUCIÓN

Por simple inspección: 𝐴 es Simétrica, 𝐵 es Antisimétrica ,

𝐶 es Triangular Superior, 𝐷 es una matriz Escalar,

EJERCICIO 1

1. Dadas las matrices

𝐴 =

2 − 1 1

− 1 1 3

1 3 0

, 𝐵 =

0 2 − 1

− 2 0 3

1 − 3 0

, 𝐶 =

1 3 − 1

0 1 1

0 0 2

Y la matriz 𝐸 ??

ii) 𝑁 = 𝐴 + 𝐵 𝐵

𝑡

• 𝐴

𝑡 𝐵 + 𝐵

2 − (𝐶𝐷

2 𝐸

6 )

𝑡

𝑁 = 𝐴 + 𝐵 𝐵

𝑡

• 𝐴

𝑡 𝐵 + 𝐵

2 − (𝐶𝐷

2 𝐸

6 )

𝑡

= 𝐴 + 𝐵 −𝐵 + 𝐴𝐵 + 𝐵

2 − (𝐶𝐷

2 )

𝑡

= −𝐴𝐵 − 𝐵

2

• 𝐴𝐵 + 𝐵

2 − (𝐶𝐷

2 )

𝑡

𝐴

𝑡 = 𝐴,

𝐵

𝑡 = −𝐵,

𝐸

2 SOLUCIÓN = 𝐼

𝐷 =

2 0 0

0 2 0

0 0 2

, 𝐶 =

1 3 − 1

0 1 1

0 0 2

= −𝐷

2 𝐶

𝑡 = −

4 0 0

12 4 0

− 4 4 8

− 4 0 0

− 12 − 4 0

4 − 4 − 8

SOLUCIÓN

𝐴

𝑡 = 𝐴,

𝐵

𝑡 = −𝐵,

𝐸

2 = 𝐼

d) Resuelva la ecuación matricial para la matriz incógnita 𝑋:

(𝑋 − 𝐵

𝑡 )

𝑡 = 𝐴 + 𝐵 𝐴

𝑡 − 𝐴

2 − (𝐴

𝑡 𝐵

𝑡 )

𝑡 +𝐸

3

(𝑋 − 𝐵

𝑡 )

𝑡 = 𝐴 + 𝐵 𝐴

𝑡 − 𝐴

2 − (𝐴

𝑡 𝐵

𝑡 )

𝑡 +𝐸

3

𝑋

𝑡 − 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 𝐴 − 𝐴

2 − 𝐵𝐴 + 𝐸

= 𝐴

2

• 𝐵𝐴 − 𝐴

2 − 𝐵𝐴 + 𝐸

𝑋

𝑡 = 𝐸 + 𝐵

Entonces, 𝑋 =

− 1 − 1 0

0 2 − 4

− 3 4 0

Solución

a) Determine los elementos de las matrices 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷. Luego, identifique

el tipo de matriz especial que representa

𝑎 𝑖𝑗

= ቐ

1

𝑖 + 𝑗

− 2

, si 𝑖 + 𝑗 es impar

, si 𝑖 = 𝑗

, si 𝑖 + 𝑗 es par

⟹ 𝐴 =

𝟐 𝟏 −𝟐

𝟏 𝟒 𝟏

−𝟐 𝟏 𝟔

𝐴 es simétrica

⟹ 𝐵 =

𝟏 −𝟏 𝟏

𝟏 −𝟏 𝟏

−𝟏 −𝟏 𝟏

𝐵 no es matriz especial

𝑏 𝑖𝑗

=

cos

𝑖 + 1 𝑗 + 1 𝜋

2

tan

𝑖 + 𝑗 − 1 𝜋

4

−𝑏 𝑗𝑖

, si 𝑖 < 𝑗

, si 𝑖 = 𝑗

, si 𝑖 > 𝑗

𝐿 =

𝑙 11

𝑙 12

𝑙 13

𝑙 21

𝑙 22

𝑙 23

𝑙 31

𝑙 32

𝑙 33

𝐶 es triangular superior 𝑐 𝑖𝑗

, si 𝑖 ≤ 𝑗

, si 𝑖 > 𝑗

𝑖𝑗

, si 𝑖 = 𝑗

, si 𝑖 ≠ 𝑗

𝐷 es una matriz escalar

𝐿 =

𝑙 11

𝑙 12

𝑙 13

𝑙 21

𝑙 22

𝑙 23

𝑙 31

𝑙 32

𝑙 33