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Cap´ıtulo 1.- Matrices y Determinantes
Angel Gim´^ ´ enez
Departamento de Estad´ıstica, Matem´aticas e Inform´atica Universidad Miguel Hern´andez, Elche
Curso 2013/
Curso: 2013-2014 Asignatura: Matem´aticas Profesor: ´Angel Gim´enez Pastor Universidad Miguel Hern´andez de Elche P´ag. 1
Indice
Conjuntos
Definici´on y tipos de Matrices
Matriz m × n
Clasificaci´on de matrices
Operaciones con matrices
Igualdad de matrices
Suma de matrices y producto por un escalar
Producto de matrices
Aplicaci´on de las matrices
Potencias de matrices
Traspuesta de una matriz. Matrices sim´etricas y antisim´etricas
Errores a evitar
Forma escalonada de una matriz. Rango
Matriz escalonada por filas y por columnas
Rango de una matriz
Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades de los determinantes.
Definici´on inductiva de determinante
Propiedades de los determinantes
C´alculo del rango mediante determinantes
Inversa de una matriz
Definici´on
Propiedades de la inversa
C´alculo de la inversa Curso: 2013-2014 Asignatura: Matem´aticas Profesor: ´Angel Gim´enez Pastor Universidad Miguel Hern´andez de Elche P´ag. 2
Conjuntos
Definici´on
Se llama conjunto a una colecci´on de objetos. Los objetos del conjunto se
denominan elementos del conjunto.
I (^) Si a es un elemento de un conjunto A, se escribe a ∈ A.
I (^) Si B es un conjunto tal que todo elemento de B est´a en un conjunto A, se
dice que B es un subconjunto contenido en A, y se escribe B ⊆ A.
Para describir los elementos de un conjunto se suele utilizar las llaves {}.
Ejemplos
- Los n´umeros naturales: N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ....}.
- Los n´umeros enteros: Z = {..., − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ...}.
- Los n´umeros racionales: Q =
m n
: m, n ∈ Z
- Los n´umeros reales R. La descripci´on de este conjunto es m´as dif´ıcil.
- Los n´umeros complejos: C =
a + bi : a, b ∈ R, i
2 = − 1
- El conjunto vac´ıo: ∅ = {}.
- Sean A y B dos conjuntos, entonces:
I (^) A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}, (Intersecci´on de conjuntos).
I (^) A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}, (Uni´on de conjuntos).
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Producto cartesiano
Definici´on
Sean A y B conjuntos. El producto cartesiano de A y B es el conjunto de los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B, y se representa por A × B. Esto es,
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
Si tenemos n conjuntos A 1 , · · · , An , la definici´on anterior se extiende al producto cartesiano de n conjuntos, entonces:
A 1 × · · · × An = {(a 1 ,... , an ) : ai ∈ Ai , 1 ≤ i ≤ n}.
Ejemplos
I (^) Los vectores del plano se determinan mediante un elemento del producto cartesiano del
conjunto R consigo mismo:
Vectores del plano ≡ R
2 = R × R = {(x, y ) : x, y ∈ R}
I (^) Los vectores del espacio se identifican con un triple producto cartesiano de R consigo mismo:
Vectores del espacio ≡ R
3 = R × R × R = {(x, y , z) : x, y , z ∈ R}
I (^) La idea se puede generalizar a vectores de dimensi´on n gen´erica:
R
n = R × · · · × R = {(x 1 ,... , xn ) : xi ∈ R}.
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Clasificaci´on de matrices
Definici´on
I (^) Decimos que una matriz es diagonal si es cuadrada y todos los elementos
fuera de la diagonal principal son nulos.
I (^) Decimos que una matriz es triangular superior si es cuadrada y todos los
elementos INFERIORES a la diagonal principal son nulos.
I (^) Decimos que una matriz es triangular inferior si es cuadrada y todos los
elementos SUPERIORES a la diagonal principal son nulos.
Ejemplos
A =
, B =
, C =
, D =
Entonces, A y D son matrices triangulares superiores, C es una matriz diagonal
y B es una matriz triangular inferior.
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Operaciones con matrices
Igualdad de matrices
I (^) Dos matrices son iguales si tienen el mismo tama˜no y las mismas entradas
en las mismas posiciones. Dicho de otro modo si A = (aij )m×n y
B = (bij )m×n son matrices m × n, entonces A = B si, y s´olo si,
aij = bij ∀i = 1,... , m, j = 1,... , n.
Dos matrices de distinto tama˜no jam´as pueden ser iguales.
Ejemplo
¿Para qu´e valores de t, u, v y w se verifica
3 t − 1
2 t u
t 2 v
u + 1 t + w
Soluci´on.- Ambas son matrices 2 × 2 , por tanto, la
igualdad equivale a que 3 = t, t − 1 = 2v , 2 t = u + 1 y
u = t + w. Resolviendo estas ecuaciones, se deduce que
las dos matrices son iguales si y s´olo si t = 3, v = 1,
u = 5 y w = 2.
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Operaciones con matrices
Suma de matrices y producto por un escalar
I (^) Si A = (aij )m×n y B = (bij )m×n, son dos matrices del mismo tama˜no
m × n, definimos la suma de A y B como la matriz C = (aij + bij )m×n. Es
decir, las matrices del mismo tama˜no se suman entrada a entrada.
I (^) Si α es un n´umero real, definimos la matriz αA como la matriz cuyas
entradas se obtienen multiplicando cada entrada de la matriz dada por el
n´umero α.
Ejemplo
Calcular A + B, 3A y (−
)B si
A =
y B =
Soluci´on.-
A+B =
, 3 A =
)B =
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Operaciones con matrices
Propiedades para la adici´on de matrices y multiplicaci´on por escalares
(S1) conmutativa: A + B = B + A, ∀ A, B ∈ R
m×n .
(S2) asociativa:
A + B
+ C = A +
B + C
, ∀ A, B, C ∈ R
m×n .
(S3) neutro de la suma: existe 0 ∈ R
m×n tal que
A + 0 = 0 + A = A, ∀ A ∈ R
m×n .
(S4) existencia de opuesto: para cada A ∈ R
m×n existe B ∈ R
m×n tal que
A + B = O (Notaci´on: B = −A).
(P1) asociativa del producto:
αβ
A = α(βA), ∀ α, β ∈ R y A ∈ R
m×n .
(P2) neutro del producto: 1 · A = A, ∀A ∈ R
m×n
(P3) distributiva: (α + β)A = αA + βA, ∀ α, β ∈ R y A, B ∈ R
m×n .
(P4) distributiva: α(A + B) = αA + αB, ∀ α ∈ R y A, B ∈ R
m×n .
Aplicaci´on de las matrices
Ejemplo
Una tienda tiene dos granjas distribuidoras. En Mayo, las ventas de pollos,
pavos y perdices en las dos granjas vienen dados por la siguiente tabla:
Pollos Pavos Perdices
Granja 1 2000 500 80
Granja 2 1500 850 200
Esta informaci´on la podemos representar mediante la matriz siguiente:
A =
( 2000 500 80
1500 850 200
)
El n´umero de pollos, pavos y perdices en existencia en las dos granjas al inicio
de Mayo, est´a dado por la matriz B:
B =
( 10000 8600 3000
15000 9000 2000
)
¿Qu´e matriz representa el n´umero de pollos, pavos y perdices en existencia en
las dos granjas al final de Mayo?
Para cada ave en cada granja, tenemos: N´umero al final de Mayo = N´umero al inicio de Mayo - Ventas.
De modo que la matriz que queremos viene dada por la resta de las matrices
anteriores:
B−A =
( 10000 8600 3000 15000 9000 2000
)
−
( 2000 500 80 1500 850 200
)
=
( 8000 8100 2920 13500 8150 1800
)
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Aplicaci´on de las matrices
Ejemplo
Supongamos ahora que el precio por unidad de cada una de las aves para cada
granja, viene dado por la siguiente tabla
Unidad de pollo Unidad de pavo Unidad de perdiz
Precio 1,81 1,45 0,
Esta informaci´on la podemos representar mediante la matriz siguiente:
D =
¿Cu´al es el costo total de la carnicer´ıa?
Luego para calcular los costos por cada granja, debemos efectuar el siguiente
producto
A · D =
Siendo el costo total 4365 + 3999, 7 = 8364. 7
EjerciciosB´asicos
- Calcular, si es posible, los productos AB y BA, para las matrices siguientes:
(a) A =
( 0 − 2 3 1
) , B =
( − 1 4 1 5
)
(b) A =
( 8 3 − 2 1 0 4
) , B =
2 − 2 4 3 1 − 5
(c) A =
0 − 2 4 1
, B =
( 0 − 2 3 1
)
(d) A =
( − 1 0 2 4
) , B =
3 1 − 1 1 0 2
- Sean
A =
1 2 − 3 5 0 2 1 − 1 1
(^) , B =
3 − 1 2 4 2 5 2 0 3
(^) , C =
4 1 2 0 3 2 1 − 2 3
(^).
Hallar las matrices A + B, A − B, AB, BA, A(BC ) y (AB)C.
- Aurelio y Manolo planean hacer su compra semanal de frutas. Cada uno de ellos desea comprar manzanas, peras, naranjas y albaricoques. La tabla 1 muestra los kilos que piensa adquirir cada una de ellas. En su barrio existen dos fruter´ıas, la del parque y la del mercado, cuyos precios por kilogramo se muestran en la tabla 2. ¿Cu´anto costar´a a Aurelio y Manolo hacer sus compras en cada una de las fruter´ıas?
MANZANAS PERAS NARANJAS ALBARICOQUES Aurelio 1.5 2 2.5 1. Manolo 2.5 2 3 1
Table: Kilos de fruta que desean comprar Aurelio y Manolo
MANZANAS PERAS NARANJAS ALBARICOQUES PARQUE 1.10 1.20 1.30 1. MERCADO 1.15 1.15 1.40 1.
Table: Precios, en euros, por kilogramo de fruta
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Operaciones con matrices
Potencias de matrices
I (^) Si A es una matriz cuadrada, se define su potencia en´esima como
A
n = A · A · · · A (A repetida n veces)
Ejemplo
Si A =
, entonces
A
2 = AA =
, A
3 = A
2 A = AA
2
A
4 = A
3 A = AA
3 ) =
Traspuesta de una matriz
Traspuesta de una matriz
Se llama traspuesta de una matriz A de tama˜no m × n a la matriz A
T de
tama˜no n × m obtenida a partir de A, intercambiando filas por columnas.
Ejemplos
Dadas las matrices A =
(^) y B =
, entonces
A
T
y B
T
Propiedades de la matriz traspuesta
I (AT^ )T^ = A.
I (A + B)
T = A
T
T .
I (^) (αA) T = αA
T .
I (^) (AB) T = B
T A
T .
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Matrices sim´etricas y antisim´etricas
Definici´on
Sea A = (aij ) una matriz m × n, diremos que:
- A es sim´etrica si A = A
T (⇔ aij = aji ).
- A es antisim´etrica si A = −A
T (⇔ aij = −aji ).
Ejemplo
I (^) Las matrices
a b c
b d e
c e f
(^) son sim´etricas.
I (^) Las matrices
0 a −b
−a 0 c
b −c 0
(^) son
antisim´etricas.
Errores a evitar
Ejemplo
Dadas las matrices A =
y B =
, tenemos que
AB =
y BA =
Por tanto, AB 6 = BA.
Ejemplo
Dadas las matrices A =
y B =
, tenemos que
AB =
Por tanto, AB = O no implica que A o B sean O.
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Errores a evitar
Ejemplo
Recordemos que, dada la matriz diagonal A =
a 11 0 · · · 0
0 a 22 · · · 0
. . .
0 0 · · · ann
, y
k ∈ N, se verifica: A
k
a
k 11 0 · · ·^0
0 a
k 22 · · ·^0 . . .
0 0 · · · a
k nn
. Esta propiedad es aplicable
solamente a matrices diagonales. Para matrices cualesquiera, en general, no se
cumplir´a. As´ı, por ejemplo:
3
3 2
3 0
0
3 (−1)
3 1
3
3 2
3 1
3
Forma escalonada de una matriz
Definici´on
Llamaremos matriz escalonada por filas a una matriz que cumpla las siguientes
condiciones:
- todas las filas, salvo quiz´as la primera, comienzan con una sucesi´on de
ceros;
- cada fila tiene al principio por lo menos un cero m´as que la fila inmediata
superior.
Llamaremos pivote a la primera entrada no nula de cada fila de una matriz.
Ejemplo
Aqu´ı tenemos un ejemplo de una matriz escalonada por filas. Los pivotes de la
matriz escalonada son las entradas recuadradas.
1 2 1 0 1 1 1
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Forma escalonada de una matriz
Definici´on
Llamamos transformaciones elementales por filas a las siguientes operaciones
realizadas en una matriz:
- Intercambiar dos filas.
- Multiplicar cada elemento de una fila por un escalar α 6 = 0.
- Sustituir la fila i-´esima por ella m´as α veces la fila j-´esima.
Observaciones
I (^) Toda matriz puede ser transformada en una matriz escalonada por
filas mediante una cantidad finita de transformaciones elementales
por filas. Escalonar una matriz (por filas) es llevarla a una forma
escalonada por medio de transformaciones elementales.
I (^) Se obtienen definiciones duales a las anteriores intercambiando filas por
columnas; por tanto, podemos tambi´en escalonar una matriz por columnas
realizando transformaciones elementales por columnas.
I (^) Se puede probar que el n´umero de pivotes escalonando por filas o por
columnas es el mismo.
Rango de una matriz
Definici´on
Se define el rango de una matriz como el n´umero de pivotes de su forma
escalonada (por filas o por columnas). Dos matrices del mismo tama˜no se
dice que son equivalentes si tienen el mismo rango.
Observaciones Inmediatas
El rango de una matriz queda inalterado si:
I (^) Realizamos una transformaci´on elemental sobre ella (por filas o por
columnas). I (^) Quitamos una fila o columna en la que todas las entradas son ceros.
Ejemplo
Calcular el rango de la matriz A =
1 6 11 16
2 7 12 17
3 8 13 18
4 9 14 19
5 10 15 20
1 6 11 16
2 7 12 17
3 8 13 18
4 9 14 19
5 10 15 20
−F 4 + F 5 −F 3 + F 4 −→ −F 2 + F 3 −F 1 + F 2
1 6 11 16
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
−F 4 + F 5 −F 3 + F 4 −→ −F 2 + F 3 −F 1 + F 2
1 6 11 16
0 − 5 − 10 − 15
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Luego rg(A) = 2. Curso: 2013-2014 Asignatura: Matem´aticas Profesor: Angel Gim´´ enez Pastor Universidad Miguel Hern´andez de Elche P´ag. 27
Ejercicios B´asicos
- Calcular el rango de las siguientes matrices:
A =
B =
C =
Determinante de una matriz cuadrada
Ejemplo
(a) Calculemos el determinante de la matriz A =
|A| =
(b) Calculemos el determinante de la matriz A =
|A| =
1+ a 11 |A 11 | + (−1)
2+ a 21 |A 21 | + (−1)
3+ a 31 |A 31 |
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Determinante de una matriz cuadrada
Ejemplo
(c) Calculemos el determinante de la matriz A =
|A| = (−1)
1+ a 11 |A 11 | + (−1)
2+ a 21 |A 21 | + (−1)
3+ a 31 |A 31 | + (−1)
4+ a 41 |A 41 |
Ahora bien, los determinantes de tama˜no 3 × 3 se calculan del mismo
modo que en (b). Los determinantes tres por tres dan como resultado
6 , 0 , −6 y 3, respectivamente, luego
|A| = 2 (6) − 3 (−6) − 2 (3) = 24
Reglas b´asicas para los determinantes
- El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los
determinantes, |AB| = |A||B|.
- El determinante de la traspuesta de A coincide con el de A, |A
T | = |A|.
- Si todos los elementos de una o m´as filas (o columnas) de A son 0,
entonces |A| = 0.
- Si A tiene dos filas (o columnas) iguales, entonces |A| = 0.
- Si A tiene dos filas (o columnas) proporcionales, entonces |A| = 0.
- Si se intercambian dos filas (o columnas) de A (transformaci´on elemental
de tipo 1), el determinante cambia de signo.
- Si B es la matriz que se obtiene multiplicando todos los elementos de una
fila (o columna) de A por el n´umero α, entonces |B| = α|A|. En particular,
si α 6 = 0, esto ese corresponde con una transformaci´on elemental de tipo 2.
- Como consecuencia, si A es una matriz de tama˜no n × n, y α es un
n´umero real, entonces |αA| = α
n |A|.
- Si a una fila (o columna) se le suma un m´ultiplo escalar de otra fila (o
columna) distinta, el determinante no var´ıa.
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Reglas b´asicas para los determinantes
Nota
En general: |A + B| 6 = |A| + |B|.
Propiedades m´as importantes en la pr´actica
(1) Sea A una matriz cuadrada de tama˜no n × n, entonces para cualquiera que sea el ´ındice i ∈ { 1 ,... , n} se verifica: I (^) |A| = a i 1 αi 1 +^ · · ·^ +^ ainαin (desarrollo por elementos de la^ i-´esima fila). I (^) |A| = a 1 i α 1 i + · · · + ani αni (desarrollo por elementos de la i-´esima columna).
(2) La propiedad 9 es de gran utilidad para el c´alculo de determinantes, y viene
a decir que las transformaciones elementales de tipo 3 dejan invariante el
determinante.
Ejemplo
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 5 − 1
− 1 1 3
3 2 1
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
F 1 + F 2
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 5 − 1
−1 + 1 1 + 5 3 + (−1)
3 2 1
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
=
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 5 − 1
0 6 2
3 2 1
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
− 3 F 1 + F 3
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 5 − 1
0 6 2
0 − 13 4
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 13 6 F 2 + F 3 =
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 5 − 1
0 6 2
0 0
25 3
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
= 1 · 6 ·
25
3
= 50
C´alculo del rango de una matriz basado en el c´alculo de menores
Definici´on
Una matriz cuadrada A se dice que es:
I (^) Una matriz singular si |A| = 0.
I (^) Una matriz no singular si |A| 6 = 0.
Observaciones
I (^) Se puede probar que el rango de una matriz A es el orden de la submatriz
no singular de A de mayor tama˜no.
I (^) Como consecuencia del punto anterior, si A es una matriz cuadrada de
orden n, entonces:
rg(A) = n ⇔ |A| 6 = 0
Definici´on
Se llama menor de orden k de una matriz A ∈ R
m×n al determinante de una
submatriz cuadrada de orden k de A.
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Rango de una matriz utilizando determinantes
C´alculo del rango utilizando determinantes
Nos basamos en las siguientes dos propiedades:
I (^) Si existe un menor de orden k de una matriz A distinto de cero, entonces
rg(A) ≥ k.
I (^) Si todos los menores de orden k de una matriz A son nulos, entonces
rg(A) < k.
Ejemplos
I (^) rg
(^) = 3, ya que el menor
I (^) rg
(^) = 2, ya que todos los menores de orden 3 son 0 y
Inversa de una matriz
Definici´on
I (^) Dada una matriz cuadrada A de orden n, si existe una matriz X tal que
AX = XA = In
decimos que X es una matriz inversa de A. En ese caso diremos que A es
una matriz invertible o regular.
I (^) La invesa de una matriz invertible (o regular) es ´unica.
Ejemplo
La matriz X =
es la inversa de la matriz A =
Propiedades de la inversa
Sean A y B matrices invertibles de tama˜no n × n. Entonces:
1. A
− 1 es invertible y (A
− 1 )
− 1 = A.
- AB es invertible y (AB)
− 1 = B
− 1 A
− 1 .
- La traspuesta de A es invertible y (A
T )
− 1 = (A
− 1 )
T .
- (αA)
− 1 = α
− 1 A
− 1 si α es un n´umero 6 = 0.
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Inversa de una matriz
Propiedad importante
I (^) A es una matriz invertible (o regular) ⇔ |A| 6 = 0 (A es no singular).
Ejemplo
Dadas las matrices A =
y B =
, tenemos que
|A| = 3 y |B| = 20.
Por tanto, A y B son invertibles. Adem´as:
A
− 1
2 3 0
1 3
, B
− 1
1 4
1 20
1 5
(AB)
− 1 = B
− 1 A
− 1
1 4
1 20
1 5
2 3 0
1 3
1 4
1 6 1 20
1 10
(A
T )
− 1 = (A
− 1 )
T
2 3
1 3
· A)
− 1
A
− 1
