1.1. Definición y Notación de matriz
1.3. Operaciones
con matrices
2.2. Menor y Cofactor de una matriz
Unidad I
“Matrices y
Determinantes”
Algebra Lineal
“Matrices y Determinantes”
Ing. Manuel Gutiérrez
1.2. Clasificación de matrices
•Matrices Básicas:
•M. renglón / M. columna
•M. cuadrada / M, diagonal / M. identidad
•M. nula
•M. triangular superior / M. triangular inferior
•M. elemental
•M. escalonada
•M. compleja
•Matrices Especiales:
•Submatriz
•M. transpuesta
•M. simétrica / M. antisimétrica
•M. invertible
•M. adjunta
•M. conjugada / M. hermitana / M. antihermitana
1.4. Inversa de una matriz
1.5. Matriz Elemental
2.3. Determinantes 2x2, 3x3 y nxn
1.6. Aplicaciones
2.1. Definición y Notación de los Determinantes
1. MATRICES
2. DETERMINANTES
2.4. Propiedades de los determinantes
2.5. Aplicaciones de los determinantes
Sea A=(aij)una matriz (mxn), donde:
A –matriz de orden (mxn)
aij –ésimo elemento de la matriz A
i – ésimo renglón de la matriz A (i = 1, 2, …, m)
j – ésima columna de la matriz A (j = 1, 2, …, n)
m –número de renglones de la matriz A
n –número de columnas de la matriz A
Igualdad de matrices:A = B ↔ (aij) = (bij)
Suma de matrices: A + B = (aij) + (bij)
Multiplicación de escalar por matriz: kA = k(aij)
Multiplicación de matrices: C = A∙B ↔ (cij)=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj
Potencia de una matriz: An = An-1∙A, A0= I
Notación de matriz inversa: A∙B = B∙A ↔ A∙A-1 = A-1∙A = I
Operaciones elementales de renglones:
oIntercambio de renglones: Ri ↔ Rj(Pij)
oMultiplicación de un escalar por renglón: cRi
oSuma de un múltiplo de renglón con otro: cRi+Rj
Matriz elemental: Sea Enuna matriz nxn, obtenida a partir de la
matriz Identidad con una sola operación de renglones.
Operaciones de matrices elementales:
oPermutación de renglones: (Pij) ↔ (Pij)-1 = Pij
oMultiplicación de un escalar por renglón: (cRi) ↔ (cRi)-1 = (1/c) Ri
oSuma de renglones: (cRi+ Rj) ↔ (cRi+ Rj)-1= -cRi+Rj
Descomposición de matrices elementales:
oA = (E1)-1∙(E2)-1∙…∙(En-1)-1∙(En)-1
oA-1 = En∙En-1∙...∙E2∙E1
Descomposición LU
oSin permutación: A = L∙U
oCon permutación: PA = L∙U
Determinante: Sea A = (aij) una matriz (nxn),
entonces: det(A) = |A|
Menor de una matriz (Submatriz): Sea una matriz (n-1)x(n-1) y
se denota como Mij
Cofactor de una matriz: se denota como Cij y se obtiene como:
Cij = (-1)i+j det(Mij)
Propiedades de los determinantes –(página 11)
Teorema básico:
Sea A = (aij) una matriz triangular superior (inferior),
entonces:
det (A) = a11∙a22∙…∙ann
Inversa de una matriz por adjunta:
A-1 = (1/det (A)) ∙adj (A) con det (A) ≠ 0
donde:
adj (A) = Ct→ matriz adjunta
Ct→ transpuesta de la matriz de cofactores
Determinante (2x2): Sea A una matriz (2x2), entonces:
det (A) = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐= a11a22-a12a21
Determinante (3x3):
o Por cofactores
o Por Sarrus columnas
o Por Sarrus renglones
Determinante (nxn):
det (A) = a11C11+a12C12+…+a1nC1n → Primer Renglón