Estudio de m´aximos locales, m´ınimos locales y puntos silla de una funci´on f∈C3(IR2)
CONDICI ´
ON NECESARIA: SER PUNTOS P(x0, y0) CR´
ITICOS.
∂f
∂x (x0, y0) = 0 ∂f
∂y (x0, y0) = 0
Desarrollo de Taylor de fen P(x0, y0): f(x0+h1, y0+h2)−f(x0, y0) = Hf(x0, y0)(h) + R2(h, (x0, y0)),l´ım
h→0
R2(h, (x0, y0))
khk2= 0
Hf (x0, y0)(h) = 1
2h1h2 ∂2f
∂2x(x0, y0)∂2f
∂y∂ x (x0, y0)
∂2f
∂x∂y (x0, y0)∂2f
∂2y(x0, y0)!h1
h2
Estudio del signo de Hf (x0, y0)(h). Completamos cuadrados en la forma cuadr´atica.
La Matriz Hessiana en P(x0, y0) es sim´etrica ⇒diagonalizable. λ1yλ2sus valores propios, λ10
0λ2,det(H) = λ1·λ2
det(H)<0
PUNTO SILLA
sign(λ1)6= sign(λ2)
det(H) = 0
Punto cr´ıtico degenerado
λ1y/´o λ2= 0
det(H)>0
Extremo local
sign(λ1) = sign(λ2)
Estudio local de la funci´on
En algunas direcciones es un m´aximo
En algunas direcciones es un m´ınimo Estudio local de la funci´on
Estudio de derivadas sucesivas
∂2f
∂2x(x0, y0)>0∂2f
∂2x(x0, y0)<0∂2f
∂2x(x0, y0) = 0
M´
INIMO LOCAL
f(x0+h1, y0+h2)> f(x0, y0)
M´
AXIMO LOCAL
f(x0+h1, y0+h2)< f(x0, y0)
Este caso no posible
det0b
b d =−b2<0
