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M.C.M. Y M.C.D.M.C.M. Y M.C.D.
1. MÍNIMO COMÚN
MÚLTIPLO (M.C.M.)
El M.C.M. de varios enteros positivos es el menor entero positivo que sea divisible entre cada uno de ellos.
2. MÁXIMO COMÚN
DIVISOR (M.C.D.)
El M.C.D. de varios enteros positivos, es el mayor entero que sea divisor de cada uno de ellos. Ejemplo: Para los números 8 y 12 tenemos: Divisores Núme ro Múltiplos 1, 2, 4, 8 1, 2, 3, 4, 6, 12
3. CASOS PARTICULARES
A) Si A = (^) B M.C.M. (A, B) = A M.C.D. (A, B) = B Ejemplo:
Hallar el M.C.M. y M.C.D. de
180 y 60. Solución: 180 = 60 Luego: M.C.M. (180, 60) = 180 M.C.D. (180, 60) = 60 B) Si A y B son PESI M.C.M. (A, B) = A x B
M.C.D. (A, B)
Ejemplo:
Hallar el M.C.M. y M.C.D. de
15 y 16. Solución: 15 y 16 son PESI Luego: M.C.M. (15, 16) = 240 M.C.D. (15, 16) = 1
4. MÉTODOS DE
OBTENCIÓN DEL M.C.M.
y M.C.D.
A. Por descomposición canónica Dados varios enteros y obtenida la descomposición canónica de cada uno; entonces: EL M.C.M. Es igual al producto de los divisores primos comunes y no comunes elevadas a su mayor exponente. EL M.C.D. Es igual al producto de los divisores primos comunes , elevados de su menor exponente. B. Por descomposición simultánea Para calcular el M.C.M. y M.C.D. de varios enteros se disponen los enteros en fila y se extraen sus divisores comunes hasta que resulten PESI:
El M.C.D. Es el producto de los divisores comunes extraídos. El M.C.M. Se continúa extrayendo todos los divisores no comunes y el M.C.M. se obtiene multiplicando los divisores comunes y no comunes extraídos. Ejemplo: Hallar el M.C.M. y M.C.D. de 84, 126, 315 84 – 126 – 315 3 28 – 42 – 105 7 4 – 6 – 15 2 2 – 3 – 15 2 1 - 3 - 15 3 1 - 1 - 5 5 1 - 1 - 1 C. Método de divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides para la obtención del M.C.D. para 2 números Se divide el mayor entre el menor obteniéndose que cociente y un primer residuo; sin considerar el cociente se divide el menor entre el residuo, obteniéndose otro cociente y un segundo residuo; en seguida se divide el primer residuo, entre el segundo así sucesivamente hasta que el residuo resulta cero. Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 384 y 222 mediante el algoritmo de Euclides. Solución: 1 1 2 1 2 3 384 222 162 60 42 18 6 162 60 42 18 6 0
1. Calcular el M.C.D. de A, B y C dar como respuesta la suma de sus cifras. A = 4. 6. 15 B = 8. 18. 21 C = 2. 12. 33 a) 9 b) 10 c) 11 d) 13 e) 15 2. Calcular A – B; si: A = 2. 3ª. 5b^ y B = 2a. 3. 5 M.C.M.(A, B) = 180 a) 9 b) 10 c) 11 d) 13 e) N.A. 3. Dado A = 12n^. 3 y B = 3n^. 1296 Además se sabe que el M.C.M. de A y B tiene 81 divisores. Hallar: n + 1 a) 3 b) 6 c) 4 d) 7 e) 5 4. Si A = 3n^. 4n^ y B = 2n^. 6 M.C.D.(A, B) = 48 Calcular el valor de “n” a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 5. El M.C.D. de los números 36k, 54k y 90k es 1620. Hallar el menor de los números. a) 8100 b) 4880 c) 1620 d) 3240 e) 2700 6. Calcular 2 números cuyo M.C.D. es 23. Si los cocientes obtenido al aplicar el algoritmo de Euclides M.C.D. = 3 x 7 = 21 M.C.M. = 2^2. 3^2. 5. 7 = 1260
M.C.
D.
CLASECLASE
5. El producto de dos números es 7007 y su M.C.D. es 7 una de los números no es: a) 91 b) 7 c) 77 d) 123 e) 1001 6. Si M.C.M. (42A, 6B) = 8064 M.C.D.(77A, 11B) = 88 Hallar (B - A) a) 40 b) 36 c) 64 d) 24 e) F.D. 7. Determinar cuántos pares de números cuyo M.C.D. sea 17 existen comprendidos entre 800 y 900. a) 9 b) 8 c) 6 d) 5 e) 11 8. El producto y el cociente del M.C.M. y M.C.D. de dos números son respectivamente 1620 y 45. ¿Cuáles son dichos números; sabiendo además que son menor que 100? a) 27 y 60 b) 20 y 81 c) 18 y 30 d) 36 y 45 e) 54 y 30 9. En la determinación del M.C.D. de dos números mediante el algoritmo de Euclides se obtuvo los siguientes cocientes sucesivos: 1, 3, 2 y 4 si el M.C.D. es 7 el mayor es: a) 140 b) 127 c) 308 d) 280 e) 252 10. Hallar “a + b + c” si se sabe que los cocientes sucesivos al calcular el M.C.D. por el algoritmo de Euclides, de los números (^) a( a 4 )a y (a 4 ) bcson 1, 1, 1, 3 a) 8 b) 12 c) 13 d) 11 e) 14 11. Existen dos números de la forma 2 ab y aba tal que al determinar su M.C.D. por divisiones sucesivas se obtiene como cociente 1, 2, 3 y 4. Halle a + b a) 1 b) 3 c) 6 d) 4 e) 7 12. Si “a” y “b” son PESI calcular “a - b” si al calcular el M.C.D. ( aaa,^ bbb) mediante el algoritmo de Euclides se obtuvo como cociente 1, 2, 1, 2 sabiendo además que la segunda división se hizo por exceso además a > b. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 13. Si los cocientes sucesivos obtenidos en la determinación del M.C.D. de “A” y “B” mediante el algoritmo de Euclides han sido 14, 1, 1, 1 y 2 respectivamente y si ambos números son primos entre sí. ¿Cuál es la suma de estos? a) 125 b) 130 c) 117 d) 135 e) 120 14. Si M.C.D. (15A, 25B) = 560 M.C.D. (25A, 15B) = 480 ¿Cuántas divisiones comunes tienen A y B? a) 5 b) 6 c) 4 d) 8 e) 9 15. El M.C.D. de dos números es 18, uno de ellos tienen 20 divisores y el otro tienen 10 divisores. ¿Cuál es el M.C.M.? a) 5134 b) 2732 c) 5184 d) 5324 e) 2916
