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FACULTAD DE CIENCIAS
SECCIÓN FÍSICAS
PLAN DE ACOGIDA
TÍTULO: Movimiento Curvilíneo
OBJETIVOS:
- Se estudia la descripción del movimiento de una partícula que describe una trayectoria cualquiera con atención especial al movimiento circular (la trayectoria es una circunferencia).
DESARROLLO CONCEPTUAL
Suponemos una partícula que describe en su trayectoria curvilínea. En el instante t se encuentra en el punto A y su posición es definida por el vector de posición OA : r = OA = x i + y j + z k en un instante posterior t’ se encuentra en la posición B cuyo vector de posición es OB : r = OB = x’ i + y’ j + z’ k La partícula describe en su movimiento el arco ∆s siendo el desplazamiento de la partícula ∆r : ∆r = AB = r’ – r = = ∆x i + ∆y j + ∆y k siendo ∆x = x’ – x , ∆y = y’ – y , ∆z = z’ – z. Se puede definir la velocidad media
∆ t
r vm
vm i j k t
z t
y t
x ∆
viene representado por un vector paralelo al desplazamiento ∆ r. Velocidad instantánea.- La velocidad instantánea (en adelante velocidad ) se puede calcular considerando en la expresión anterior que ∆t se hace muy pequeño (∆t → 0)
t
r v vm ∆
= lim ∆ (^) t → 0 = lim ∆ t → 0.
Z
Y X
r r'
A
B
v
v
∆r
Es evidente, que a medida que ∆t se aproxima a 0, el punto B lo hace al punto A , durante este proceso AB = ∆ r se modifica continuamente en magnitud (módulo) y dirección, de manera que cuando B se encuentra muy cerca de A , el vector ∆ r = AB se confunde con la dirección de la tangente en A. Por tanto, para un movimiento curvilíneo la velocidad se puede escribir
i j k i j k r v vx vy vz dt
dz dt
dy dt
dx dt
d = = + + = + +
en donde, (^) x , (^) y , z dx dy dz v v v dt dt dt
= = = y el módulo de la velocidad es
2 2 2 v = vx + vy + v z
Cuando ∆s → 0 la magnitud de ∆r es casi igual a la de ∆s y, por tanto, s
lim (^) t ∆
∆ →
r 0 representa
matemáticamente a un vector de módulo igual a la unidad y dirección tangente a la trayectoria. Es decir,
limt t ds
d u s
r r
∆
= (^) ∆ → 0 como dt
ds t
s lim (^) t = ∆
∆ → 0 resulta^ t dt
ds v = u
en donde, v dt
ds = el módulo de la velocidad y u t es un vector unitario que determina su dirección. Se puede
concluir que, en el movimiento curvilíneo ds, desempeña el mismo papel que dx en el movimiento rectilíneo.
Aceleración media.-
En un movimiento curvilíneo la velocidad puede cambiar tanto en magnitud (el módulo puede aumentar o disminuir) como en la dirección ( pues la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta se “curva” continuamente)
Supongamos –ver figura adjunta- el punto O un punto de referencia arbitrario en la trayectoria descrita por la partícula. Así , s = OA expresa la posición de la partícula medida por el desplazamiento a lo largo de la trayectoria ( “ s” puede ser positiva o negativa según se encuentre a la derecha o izquierda de O en analogía con el movimiento rectilíneo). Según lo dicho, cuando la partícula se mueve desde A hasta B el desplazamiento ∆s coincide con la longitud del arco AB: ∆s = arco AB.
Recordando la definición de velocidad resulta (multiplicando y dividiendo por ∆s) :
t
s s
lim (^) t
r v (^) 0 t
s t (^) t t ∆
lim (^) ∆ → 0 .lim∆→ 0
r .
r'
X
Y
Z
A
r
B
P 0
La velocidad angular ω es un vector cuya dirección es perpendicular al plano del movimiento en el sentido de avance de un tornillo que gira en el mismo sentido en que se mueve la partícula.
Como R=r.senγ y k dt
d ϑ
ω = , luego
v = ω .r.sen γ
resultado válido sólo para el movimiento circular ( en la figura r y γ son constantes).
Movimiento circular uniforme.-
Es un movimiento circular en el que la velocidad angular ω es constante. Éste movimiento es periódico pues la partícula pasa por
cada punto de la circunferencia a intervalos iguales de tiempo.
En un movimiento periódico el tiempo empleado en dar una vuelta completa o revolución se denomina periodo T y su inversa, el número de revoluciones que se hacen por unidad de tiempo se denomina frecuencia ν. Si en el tiempo t la partícula realiza n revoluciones el período es,
n
t T = y t
n ν = por lo tanto T
ν =
Las magnitudes período y frecuencia son aplicables en todos los procesos o movimientos periódicos (suceden de forma cíclica o que se repiten después de completar cada ciclo)
Si la velocidad angular ω es constante, recordando la expresión matemática que la define podemos escribir
∫ =^ ∫ = ∫ → = +^ (^ − )
t t
t
0 d^ ϑ t^ 0 ω dt ω 0 dt ϑ ϑ^0 ω t t^0
ϑ ϑ
expresión análoga a la empleada en el movimiento rectilíneo uniforme.
Suponemos θ 0 y t 0 son nulas, tenemos θ = t
t
Para una revolución completa, es t = T y θ =2π luego πν
T
.
Aceleración angular.-
Cuando la velocidad angular de una partícula se modifica o cambia con el tiempo se puede definir la aceleración angular a como,
2
2
dt
d dt
d ω ϑ
r
R
ω v
X
Y
t
γ
Dado que el movimiento circular se realiza en un plano, la dirección de la velocidad angular permanece
invariable. En el caso de que α sea constante el movimiento se denomina movimiento circular
uniformemente acelerado.
Movimiento circular uniformemente acelerado.-
0 0 0 0 0 0
t t w t t d dt dt t t
ω
∫ ω^ =^ ∫ α^ =^ α∫ ⇒^ ω^ =^ ω^ +^ α −
siendo ω 0 el valor de w para el tiempo t 0 ,
0 0 0 0 0 0 0
t t t t
d t t d dt t t dt dt
ϑ ϑ
0 0 (^0 )^ (^0 )^2
ϑ=ϑ +ω t − t + α t − t
expresión que proporciona la posición angular en un instante cualquiera.
Componentes tangencial y normal de la aceleración.-
En un movimiento circular uniformemente acelerado la aceleración suele descomponerse en dos componentes:
La aceleración a atribuida a una partícula que se mueve ajustada a un movimiento curvilíneo se puede descomponer en dos componentes que se denominan
· La aceleración tangencial at paralela a la tangente en el punto considerado y se relaciona con el cambio del módulo de la velocidad
· La aceleración normal an paralela a la dirección normal y se relaciona con el cambio en la dirección de la velocidad.
Tanto la aceleración tangencial como la aceleración normal se denominan, también, componentes intrínsecas del vector aceleración y aunque vamos a expresarlas para un movimiento circular son conceptos válidos para el movimiento que siga cualquier trayectoria plana.
Caso particular.-
En un movimiento circular uniforme (aceleración angular es nula), en consecuencia, no existe aceleración tangencial at pero si existe aceleración normal an (llamada también aceleración centrípeta ) pues la dirección de la velocidad cambia.
R
R
R
R
v a
R
dt
d R dt
d R dt
dv a
n
t
2
2 2
2
2
magnitudes que se representan en la figura adjunta.
R
C
a
v
at=Rω
aN=v^2 /R
2
(^22) (^2). 9
^ =
a = R = ms n
π π ω
EJERCICIO DE AUTOCOMPROBACIÓN
La rueda de una bicicleta tiene un radio r = 60 cm. Partiendo del reposo, gira durante 30 s con una aceleración angular α = 3 rad.s-2. A continuación mantiene la velocidad adquirida durante 1 minuto. Determinar la velocidad angular adquirida así como la velocidad de la bicicleta y la distancia recorrida por la bicicleta Resolución.- La velocidad angular adquirida cuando han transcurrido 30 s es:
ω = ω 0 + α (^) ( t 1 (^) − t 0 (^) ) = 90 rad s. −^1
La velocidad de la bicicleta se corresponde con la velocidad lineal de los puntos de la periferia de la rueda v = w.R = 54 m.s- El ángulo girado durante los 30 s primeros es
( )
2 1 0
ϑ α t t rad rev π
La distancia recorrida por la bicicleta coincide con el arco descrito por la rueda ∆s = γ.R = 1350.0,60 = 810 m
REFERENCIAS:
- P. A. Tipler y G. Mosca, Física para la Ciencia y la Tecnología, 6ª Edición, Editorial Reverté, 2010.
- P. A. Tipler y G. Mosca, Física para la Ciencia y la Tecnología, 5ª Edición, Editorial Reverté, 2005.
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