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Cap´ıtulo 1
Longitud y tiempo
La mec´anica es la parte m´as antigua de la f´ısica. Como tal forma la base de muchas otras ramas de esa ciencia. Su objeto es el estudio del movimiento (cinem´atica) y equilibrio (est´atica) de los cuerpos. Cuando relacionamos el movimiento con las fuerzas aplicadas nos ocupamos de la din´amica.
1.1 La longitud
Para poder medir longitudes necesitamos definir algunas operaciones. Empecemos imaginando un m´etodo para decir cuando dos longitudes son iguales. Por ejemplo, supongamos que tenemos dos cuerpos con bordes rectos. Si al poner ambos bordes lado a lado, con uno de los extremos coincidentes, los otros extremos tambi´en coinciden, decimos que ambos cuerpos tienen igual longitud. La segunda operaci´on no es tan sencilla. En primero lugar debemos notar que no todos los conceptos cuantitativos son iguales. Pensemos en la temperatura, por ejemplo. Sin duda es un concepto cuantitativo, pero de una naturaleza muy distinta a la de los tres conceptos que nos ocupan. La longitud, el tiempo y la masa son, o parecen ser, “magnitudes extensas” que verifican una regla de aditividad. Supongamos que colocamos lado a lado los cuerpos del ejemplo anterior, con sus bordes alineados y con dos de sus extremos en contacto. Decimos que la entidad f´ısica resultante (la l´ınea recta formada por la combinaci´on de ambos bordes) tendr´a una longitud que es la suma de las longitudes de ambos cuerpos. A primera vista parece obvio que la longitud cumple esta regla de aditividad, pero eso es s´olo porque as´ı es en nuestra experiencia diaria. No hay nada que nos indique que debe ser siempre as´ı. Podr´ıa ocurrir que en ciertas condiciones esta regla no sea v´alida. Les dejo a ustedes imaginar cuales podr´ıan ser estas condiciones y cuales ser´ıan sus consecuencias. Como aperitivo les doy un buen ejemplo de una magnitud que parece ser aditiva y no lo es: la velocidad. Y no puede serlo porque existe un l´ımite m´aximo para su magnitud (id est la velocidad de la luz). Pasemos ahora a la tercera y ´ultima operaci´on que “define” el concepto de
2 Cap´ıtulo 1. Longitud y tiempo
longitud. Me estoy refiriendo a la elecci´on de un objeto o un proceso natural que pueda ser reproducido f´acilmente y que permita definir la unidad de medida. Una vez definida esta unidad, s´olo resta aplicar la regla de aditividad para “medir” cuantas veces el objeto en cuesti´on contiene o es contenido por ella. El el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad de longitud es el metro, que originalmente fue definido como la diez millon´esima parte del cuadrante de la Tierra. El “m´etre des Archives” de 1799 fue medido en base al meridiano entre Dunquerque y Barcelona. El prototipo internacional de 1889 era una copia de ese primer“metro”. Sirvi´o como unidad de longitud hasta 1960, cuando fue reemplazado por una definici´on basada en la longitud de onda de una cierta l´ınea naranja del espectro de la luz emitida por el is´otopo 86 del kript´on. A su vez, esta definici´on dio lugar en 1983 a la definici´on actual, que se deriva al asignar un valor definido a la velocidad de la luz en el vac´ıo (co = 299792458 m/seg).
1.2 El tiempo
Trabajando con mucho cuidado (un cuidado que no tuvieron los Padres Fun- dadores de la F´ısica) podemos imaginar formas de dise˜nar las tres reglas (de igualdad, aditividad y unidad) que nos permitan dar una definici´on operacional del tiempo. Sobre la regla de aditividad para el tiempo valen los mismos comen- tarios y las mismas dudas que discutimos en el caso de la longitud. La unidad del Sistema Internacional para el tiempo es el segundo y est´a definida en t´erminos de la frecuencia de una transici´on hiperfina del ´atomo de Cesio. En varios laboratorios nacionales se dispone de relojes de Cesio, con una incerteza estimada en 10−^15.
1.3 Algunas definiciones cinem´aticas
Sobre la base de las magnitudes “primitivas” de tiempo y longitud, podemos ahora definir otras magnitudes “derivadas” para describir el movimiento. Un cuerpo en movimiento puede girar o vibrar. Para evitar estas complicaciones supondremos -por ahora- que el cuerpo es muy peque˜no. Obviamente, este es un concepto relativo. Por ejemplo, la Tierra en su ´orbita alrededor del Sol puede considerarse como un objeto sin tama˜no. Tambi´en el concepto de movimiento tiene un significado relativo: Se refiere a la modificaci´on de la posici´on relativa de los cuerpos entre s´ı. Por ello se define un “cuerpo de referencia” idealizado como un “sistema de coordenadas” (Es decir una terna de ejes cartesianos ortogonales r´ıgidos). Ubicamos una part´ıcula por el vector posici´on r que va del cuerpo de referencia hasta el punto en cuesti´on. Al moverse, la posici´on de la part´ıcula var´ıa con el tiempo r = r(t). El lugar geom´etrico de los puntos que ocupa el cuerpo en su movimiento se llama trayectoria.
4 Cap´ıtulo 1. Longitud y tiempo
Estas condiciones indican que AOO′ es una matriz ortogonal, es decir que
AOO′ · At OO′ = I
donde el supra´ındice t indica la transposici´on de los coeficientes de la matriz, e I es la matriz identidad. En otros t´erminos, la transformaci´on inversa est´a dada por AO′O = At OO′. Si anotamos con [r]O a la matriz columna formado por las componentes del vector r en el sistema de coordenadas O, es decir
[r]O =
x y z
entonces, [r]O′^ = AOO′^ · [r]O Consideremos, por ejemplo, un sistema de coordenadas tal que el versor ˆz′ coincide con el ˆz, pero donde los versores ˆx′^ y ˆy′^ est´an rotados un ´angulo φ en sentido antihorario respecto de los versores ˆx e ˆy, respectivamente. La matriz de tranformaci´on es
A =
cos φ sin φ 0 − sin φ cos φ 0 0 0 1
Un teorema debido a Euler nos indica que toda transformaci´on entre sistemas de coordenadas ortogonales es equivalente a una rotaci´on de ´angulo φ alrededor de un eje fijo φˆ. En otras palabras, siempre hay al menos una direcci´on a lo largo de la cual todo vector tiene las mismas componentes en uno y otro sistema de coordenadas^1. La demostraci´on de este importante teorema la veremos m´as adelante en el curso. El conjunto de todas las posibles matrices A definen una estructura de la matem´atica denominada grupo. Se trata del grupo de matrices Ortogonales eSpeciales en 3 dimensiones, o SO(3).
1.5 Los ´angulos de Euler
Entre las muchas contribuciones de Euler a la Din´amica Anal´ıtica (y veremos varias de ellas a lo largo de este curso) hay una muy simple y de una gran util- idad. El advirti´o que los nueve coeficientes de una transformaci´on A entre dos
(^1) Mediante una transformaci´on de semejanza es siempre posible transformar la matriz AOO′
a un sistema de coordenadas en el que el eje ˆz coincide con el eje de giro φˆ. En tal sistema de coordenadas la transformaci´on es un giro de ´angulo φ alrededor del eje ˆz y est´a representada por la matriz anterior. Su traza es igual a 1 + 2 cos φ. Y como la traza es siempre invariante respecto de las transformaciones de semejanza se tiene que Traza(AOO′^ ) = 1 + 2 cos φ.
1.6. Par´ametros de Cayley-Klein 5
sistemas de coordenadas est´an ligados por las seis relaciones de la propiedad de ortogonalidad. Esto quiere decir que dicha matriz tiene s´olo tres coeficientes in- dependientes. Se presentaba entonces el problema de hallar una forma expl´ıcita para los coeficientes de A en t´erminos de tres par´ametros independientes. Eu- ler propuso una elecci´on con claro significado geom´etrico que utilizaremos varias veces a lo largo del curso. La manera m´as simple de comprender esta propuesta es realizando la transformaci´on de un sistema al otro por medio de tres pasos sucesivos.
- Primero una rotaci´on de ´angulo ϕ alrededor del eje ˆz.
- Despu´es una rotaci´on de ´angulo θ alrededor de la nueva posici´on del eje ˆx.
- Por ´ultimo una rotaci´on de ´angulo ψ alrededor de la nueva posici´on del eje zˆ.
Juntando estas tres transformaciones parciales en la forma de un producto matricial, obtenemos la matriz de la transformaci´on completa:
A =
cos ψ sin ψ 0 − sin ψ cos ψ 0 0 0 1
·
0 cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ
·
cos ϕ sin ϕ 0 − sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1
cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ cos θ sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ cos θ sin ψ sin θ − cos ϕ sin ψ − sin ϕ cos ψ cos θ − sin ϕ sin ψ + cos ϕ cos ψ cos θ cos ψ sin θ sin ϕ sin θ − cos ϕ sin θ cos θ
1.6 Par´ametros de Cayley-Klein
Otra manera de representar una transformaci´on ortogonal fue desarrollada por los brillantes matem´aticos Arthur Cayley (16 de Agosto de 1821, Richmond, Surrey, Inglaterra - 26 de Enero de 1895, Cambridge, Cambridgeshire, Inglaterra) y F´elix Klein (25 de Abril 1849, D¨usseldorf, Prussia - 22 de Junio de 1925, G¨ottingen, Alemania). Esta teor´ıa puede parecer rebuscada a primera vista, pero ha tenido una gran importancia en el desarrollo de la F´ısica en el siglo XX. B´asicamente se trata de lo siguiente: Todo vector r se puede representar en la forma cartesiana (x, y, z), sino tambi´en como una matriz 2 x 2 herm´ıtica (v.g. σ = σt^ ) de traza nula
R =
[ z x − iy x + iy −z
]
Esta representaci´on es ´unica. Habiendo aceptado a rega˜nadientes esta propuesta, advertimos que una transformaci´on ortogonal del sistema de coordenadas se puede escribir como una operaci´on matricial actuando sobre R, es decir
R′^ = σ · R
1.7. Coordenadas curvil´ıneas ortogonales 7
1.7 Coordenadas curvil´ıneas ortogonales
Hasta ahora s´olo nos hemos referido a sistemas de coordenadas cartesianas ortog- onales y a las transformaciones entre ellos por rotaci´on. En ellos un punto del espacio queda determinado por sus distancias x, y y z a tres planos ortogonales entre s´ı, o planos coordenados. Sin embargo, este sistema de coordendas no es el ´unico ni en ocasiones el m´as conveniente para describir la evoluci´on de una part´ıcula. Si por ejemplo el cuerpo est´a limitado a moverse sobre una superficie ser´a m´as conveniente utilizar un sistema donde una de las coordenadas permanezca inalterada sobre esa superficie. En general, un sistema de coordenadas est´a car- acterizado por una terna u 1 , u 2 y u 3 de n´umeros reales con una correspondencia biun´ıvoca con las coordenadas cartesianas x, y y z. Por cada punto del espacio pasan tres superficies ui(x, y, z) = cte. llamadas superficies coordenadas. Sus in- tersecciones son las l´ıneas coordenadas, a lo largo de las cuales s´olo var´ıa una de las coordenadas ui. Si alguna de las funciones ui(x, y, z) = cte. no es lineal, las superficies coordenadas no son todas planas, ni las l´ıneas coordenadas son todas rectas. Se dice entonces que las coordenadas u 1 , u 2 y u 3 constituyen un sistema de coordenadas curvil´ıneas. Si dr = dx xˆ + dy yˆ + dz zˆ es un desplazamiento arbitrario sobre una superficie coordenada ui(x, y, z) = cte., entonces
0 = dui =
∂ui ∂x
dx +
∂ui ∂y
dy +
∂ui ∂z
dz = ∇ui · dr
Vemos que el gradiente ∇ui es normal a la superficie ui(x, y, z) = cte. Por lo tanto, el versor ˆui = hi ∇ui, con hi = 1/|∇ui|, tambi´en es normal a la i-´esima superficie coordenada. De manera trivial, la transformaci´on del sistema cartesiano al curvil´ıneo est´a dado por
ˆu 1 ˆu 2 ˆu 3
=^ A ·
x ˆ y ˆ z ˆ
donde A est´a definido por las componentes cartesianas de los versores ˆui, es decir
A =
u 1 x u 1 y u 1 z u 2 x u 2 y u 2 z u 3 x u 3 y u 3 z
=
h 1 ∂u 1 /∂x h 1 ∂u 1 /∂y h 1 ∂u 1 /∂z h 2 ∂u 2 /∂x h 2 ∂u 2 /∂y h 2 ∂u 2 /∂z h 3 ∂u 3 /∂x h 3 ∂u 3 /∂y h 3 ∂u 3 /∂z
El caso m´as importante de sistema de coordenadas curvil´ıneas es aquel en que las tres superficies coordenadas son ortogonales entre s´ı. Se dice entonces que el sistema de coordenadas curvil´ıneas es ortogonal. Para que ello ocurra, los tres versores ˆui deben ser ortonormales, de manera tal que forman un triedro rect´angulo en cada punto del espacio. En este caso la matriz A es ortogonal, y
8 Cap´ıtulo 1. Longitud y tiempo
por lo tanto, la transformaci´on inversa entre ambos conjuntos de versores est´a dada por (^)
x ˆ y ˆ z ˆ
= At (^) ·
ˆu 1 u ˆ 2 ˆu 3
y la relaci´on entre las componentes de un vector r en uno y otro sistema de coordenadas es (^)
u 1 u 2 u 3
= A ·
x y z
Un desplazamiento arbitrario dr = dx ˆx + dy yˆ + dz zˆ se puede escribir como
dr = dx
( h 1
∂u 1 ∂x
uˆ 1 + h 2
∂u 2 ∂x
uˆ 2 + h 3
∂u 3 ∂x
uˆ 3
)
( h 1
∂u 1 ∂y
ˆu 1 + h 2
∂u 2 ∂y
ˆu 2 + h 3
∂u 3 ∂y
uˆ 3
)
( h 1
∂u 1 ∂z
uˆ 1 + h 2
∂u 2 ∂z
uˆ 2 + h 3
∂u 3 ∂z
uˆ 3
)
y reordenando los t´erminos
dr =
∑^3
i=
hi
( ∂ui ∂x
dx +
∂ui ∂y
dy +
∂ui ∂z
dz
) u ˆi
o sea dr = h 1 du 1 uˆ 1 + h 2 du 2 uˆ 2 + h 3 du 3 ˆu 3
Y en m´odulo, |dr|^2 = h^21 (du 1 )^2 + h^22 (du 2 )^2 + h^23 (du 3 )^2
Este resultado parece ser trivialmente cierto, pero debe tenerse en cuenta que para su deducci´on utilizamos la ortogonalidad de las coordenadas curvil´ıneas. Tal como veremos esta ´ultima expresi´on es muy pr´actica^2 para el c´alculo de los par´ametros hi.
1.8 Coordenadas cil´ındricas
En este sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales, un punto r se determina por las coordenadas polares (ρ, ϕ) de su proyecci´on sobre el plano (x, y), y por la
(^2) Dependiendo de las coordenadas curvil´ıneas ortogonales utilizadas, las expresiones para las
operaciones vectoriales tales como el gradiente, la divergencia, el rotor ´o el laplaciano pueden ser muy complicadas. Sin embargo puede demostrarse que todas ellas dependen s´olo de los coeficiente hi
10 Cap´ıtulo 1. Longitud y tiempo
1.10 Velocidad y aceleraci´on
La velocidad de una part´ıcula es la rapidez con que cambia su posici´on al tran- scurrir el tiempo
v =
dr dt A su vez, la velocidad del cuerpo tambi´en suele cambiar al trancurrir el tiempo. Entonces se dice que el cuerpo tiene una aceleraci´on
a =
dv dt La posici´on, la velocidad y la aceleraci´on son entes vectoriales. Sea una trayec- toria no constantemente rectilinea y consideremos un arco de ella suficientemente peque˜no como para que la variaci´on del radio y de la posici´on del centro de cur- vatura sea despreciable. Consideremos adem´as un sistema de coordenadas que acompa˜na a la part´ıcula, con el origen en ella, un eje de versor ˆe‖ tangencial a la trayectoria, y otro definido por el versor ˆe⊥ que apunta hacia el centro de curvatura. Derivando la velocidad v = veˆ‖ obtenemos la aceleraci´on
a =
d dt
vˆe‖ =
dv dt
ˆe‖ + v
dˆe‖ dt
dv dt
eˆ‖ + v
dφ dt
ˆe⊥
dv dt
ˆe‖ + v
r
ds dt
ˆe⊥ =
dv dt
eˆ‖ +
v^2 r
ˆe⊥
Vemos que la aceleraci´on puede no ser tangente a la trayectoria. Mientras que la componente tangencial representa la variaci´on de la rapidez de movimiento sobre la trayectoria, la componente perpendicular -llamada aceleraci´on centr´ıpeta- representa la variaci´on de la direcci´on de la velocidad. Definimos la velocidad angular Ω de una part´ıcula de velocidad v como un vector perpendicular al plano de movimiento y cuya magnitud est´a dada por la rapidez con que var´ıa el ´angulo barrido por el vector posici´on
Ω =
r × v r^2
1.11 Velocidad y aceleraci´on en coordenadas cur-
vil´ıneas
El c´alculo de la velocidad y la aceleraci´on a partir de la variaci´on de las coorde- nadas de r(t) es trivial en un sistema cartesiano
v =
dx dt
ˆx +
dy dt
yˆ +
dz dt
zˆ
1.12. Para saber m´as: 11
a =
d^2 x dt^2
xˆ +
d^2 y dt^2
yˆ +
d^2 z dt^2
zˆ
En un sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales, en cambio, los versores pueden rotar con el tiempo. Es decir,
dˆui dt
d dt
(hi∇ui) 6 = 0
y por lo tanto el c´alculo de las velocidades y aceleraci´on no es tan simple como en el caso cartesiano. En coordenadas cil´ındricas tenemos que
dˆρ = ˆϕ dϕ d ˆϕ = − ρˆ dϕ dˆz = dˆz
y en coordenadas esf´ericas
dˆr = θˆ dθ + ˆϕ sin θ dϕ d ˆϕ = − rˆ sin θ dϕ − θˆ cos θ dϕ dθˆ = − rˆ dθ + ˆϕ cos θ dϕ
Dejamos como un ejercicio expresar la velocidad y la aceleraci´on de un punto en estos dos sistemas. Los resultados son:
v =
dρ dt
ρˆ + ρ
dϕ dt
ϕˆ +
dz dt
zˆ
a =
d
(^2) ρ dt^2
− ρ
( dϕ dt
) 2 (^) ρˆ +
[ 2
dρ dt
dϕ dt
d^2 ϕ dt^2
] ϕ ˆ +
d^2 z dt^2
zˆ
v =
dr dt
ˆr + r sin θ
dϕ dt
ϕˆ + r
dθ dt
ˆθ
a =
d
(^2) r dt^2
− r
( dθ dt
) 2 − r sin^2 θ
( dϕ dt
) 2 (^) rˆ +
[ 2 sin θ
dϕ dt
dr dt
dθ dt
dϕ dt
d^2 ϕ dt^2
] ϕ ˆ +
2 dr dt
dθ dt
d^2 θ dt^2
− r sin θ cos θ
( dϕ dt
) 2 (^) θˆ
1.12 Para saber m´as:
- P. W. Bridgman: The Logic of Modern Physics(MacMillan, New York,1927). — The Nature of Physical Theory (Dover, New York, 1936).
