¡Descarga medida y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
Análisis de error y tratamiento de datos
obtenidos en el laboratorio
INTRODUCCIÓN
Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecisión inevitable debida a las imperfecciones del aparato de medida, o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben registrar la información. El principal objetivo de la denominada teoría de errores consiste en acotar el valor de dichas imprecisiones, denominadas errores experimentales. Dado que el valor de las magnitudes físicas se obtiene experimentalmente por medida (bien directa de la magnitud o bien indirecta, por medio de los valores medidos de otras magnitudes ligadas con la magnitud problema mediante una fórmula física) debe admitirse como postulado físico el hecho de que resulta imposible llegar a conocer el valor exacto de ninguna magnitud, ya que los medios experimentales de comparación con el patrón correspondiente en las medidas directas, viene siempre afectado de imprecisiones inevitables. De este modo, aunque es imposible encontrar en la práctica el valor "cierto" o "exacto" de una magnitud determinada, no hay duda de que existe, y nuestro problema es establecer los límites dentro de los cuales se encuentra dicho valor.
CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES
El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente. Los errores no siguen una ley determinada y su origen está en múltiples causas. Atendiendo a las causas que los producen, los errores se pueden clasificar en dos grandes grupos, errores sistemáticos y errores accidentales.
Se denomina error sistemático a aquel que es constante a lo largo de todo el proceso de medida y, por tanto, afecta a todas las mediciones de un modo definido y es el mismo para todas ellas. Estos errores tienen un signo determinado y las causas probables pueden ser las siguientes:
- Errores instrumentales (de aparatos). Por ejemplo el error de calibrado es de este tipo.
- Error personal. Este es, en general, difícil de determinar y es debido a limitaciones de carácter personal. Un ejemplo de éste sería una persona con un problema de tipo visual.
- Error de la elección del método. Corresponde a una elección inadecuada del método de medida de la magnitud. Este tipo de error puede ponerse de manifiesto cambiando el aparato de medida, el observador, o el método de medida.
Se denominan errores accidentales a aquellos que se producen en las pequeñas variaciones que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo operador. Las variaciones no son reproducibles de una medición a otra, y no presentan más que por azar la misma magnitud en dos mediciones cualesquiera del grupo. Las causas de estos errores son incontrolables para un observador. Los errores accidentales son en su mayoría de magnitud muy pequeña y para un gran número de mediciones se obtienen tantas desviaciones positivas como negativas. Aunque con los errores accidentales no se pueden hacer correcciones para obtener valores más concordantes con el real, si se emplean m‚todos estadísticos se puede llegar a algunas conclusiones relativas al valor m s probable en un conjunto de mediciones.
CONCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISIÓN Y SENSIBILIDAD
En lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes que vamos a definir exactitud, precisión, y sensibilidad.
La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental. De modo que, un aparato es exacto si las medidas realizadas con él son todas muy próximas al valor "verdadero" de la magnitud medida.
La precisión hace referencia a la concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. De modo que, un aparato será preciso cuando la diferencia entre diferentes medidas de una misma magnitud sea muy pequeña.
La exactitud implica normalmente precisión, pero la afirmación inversa no es cierta, ya que pueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a los errores sistemáticos tales como error de cero, etc. En general, se puede decir que es más fácil conocer la precisión de un aparato que su exactitud. La sensibilidad de un aparato está relacionada con el valor mínimo de la magnitud que es capaz de medir. Por ejemplo, decir que la sensibilidad de una balanza es de 5 mg significa que para masas inferiores a la citada, la balanza no presenta ninguna desviación.
Normalmente, se admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la división más pequeña de la escala de medida. En muchas ocasiones, de un modo erróneo, se toman como idénticos los conceptos de precisión y sensibilidad, aunque hemos visto ya que se trata de conceptos diferentes.
ERROR ABSOLUTO. ERROR RELATIVO
Si medimos una cierta magnitud física cuyo valor "verdadero" es x 0 , obteniendo un valor de la medida x, llamaremos error absoluto en dicha medida, a la diferencia:
∆x = x – x 0
donde en general se supone que |∆x| << |x 0 |. El error absoluto nos da una medida de la desviación, en términos absolutos respecto al valor "verdadero". No obstante, en ocasiones nos interesa resaltar la importancia relativa de esa desviación. Para tal fin, se usa el error relativo. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor "verdadero":
x 0
∆x ε =
en forma porcentual se expresará multiplicado por cien. Cuando indiquemos el valor de una medida de una magnitud, tendremos que indicar siempre el grado de incertidumbre de la misma, para lo que acompañaremos el resultado de la medida del error absoluto de la misma, expresando el resultado en la forma:
x ±∆x
De ordinario, y dado el significado de cota de imprecisión que tiene el error absoluto, éste jamás debe tener más de dos cifras significativas , admitiéndose por convenio, que el error absoluto sólo puede darse con dos cifras significativas si la primera de ellas es un 1, o si siendo la primera un 2, la segunda no llega 5. En todos los demás casos debe darse un valor con una sola cifra,
=
3
i 1
3 3 xi
x
y se halla la dispersión total D de las mismas, es decir, la diferencia entre los valores extremos de las medidas (valor máximo de las medidas obtenidas menos el valor mínimo) y finalmente se obtiene el tanto por ciento de dispersión, T, que viene dado por:
x
D
T
3
= ×
Si el valor de la dispersión total D no es mayor que el valor de la sensibilidad del aparato de medida, D ≤ S, en este caso se toma como estimación del valor "verdadero" de la magnitud el valor medio de las tres medidas x 3 y como error absoluto la sensibilidad. Ahora bien, si el valor de la dispersión total D es mayor que el de la sensibilidad del aparato, D > S, procedemos a aumentar el número de medidas de la magnitud. El criterio a seguir en este aumento viene condicionado por el valor del porcentaje de dispersión T del modo indicado en la siguiente tabla:
T en las tres primeras medidas nº total de medidas necesarias
T ≤ 2% 2% < T ≤ 8% 8% < T ≤ 15% 15% < T
Bastan las 3 medidas realizadas Hay que hacer 3 medidas más, hasta un total de 6 Hay que hacer un total de 15 medidas Hay que hacer 50 medidas como mínimo
Una vez realizadas las medidas necesarias se toma como valor verdadero de la magnitud, el valor medio de la misma calculado sobre el número total de medidas realizadas. En cuanto al correspondiente error se determina según los casos como sigue:
Si se han realizado tres medidas , se toma como error absoluto el valor de la sensibilidad del aparato, que como hemos indicado anteriormente, es el error absoluto de cada una de las medidas individuales.
Si se han realizado seis medidas, entonces se calcula el error de dispersión definido como D6/ (cuarta parte de la dispersión total de las seis medidas, es decir, la diferencia entre la mayor y menor de todas las medidas realizadas), y se asigna como error absoluto de las medidas, el máximo entre este valor y la sensibilidad del aparato.
Si se han realizado quince medidas o más, el error absoluto puede calcularse por la expresión:
N(N 1 )
x x
x
N
i 1
2 i N
=
que proporciona el error cuadrático medio o desviación estándar de las medidas, donde xi son cada uno de los valores medidos, x (^) N es la media aritmética de las medidas individuales y N es el número de medidas realizadas.
DETERMINACIÓN DEL ERROR DE UNA MAGNITUD MEDIDA INDIRECTAMENTE
La medida indirecta de una magnitud se alcanza por aplicación de una fórmula a un conjunto de medidas directas, (variables independientes o datos), que las relacionan con la magnitud problema. Mediante dicha fórmula se obtiene también el error de la medida según pasamos a explicar. Antes de continuar, debemos indicar que si en dicha fórmula aparecen números irracionales tales como pi, e, etc., debemos elegir el número de cifras significativas con que deben tomarse a la hora de realizar los cálculos correspondientes, de modo que los errores cometidos al aproximar estos números irracionales no afecten a la magnitud del error absoluto de la magnitud que queremos determinar.
Supongamos que la magnitud F es función de otras magnitudes físicas, estando relacionada con ellas por F = f ( x, y, z, ...). Supongamos además, que se han realizado medidas de las citadas variables, x, y, z...; y se han determinado su valor y su error. Para realizar el cálculo del error absoluto de F, en función de los errores absolutos cometidos en las determinaciones directas de x, y, z... se procederá de la siguiente forma:
En primer lugar se obtiene la diferencial total de F en función de las diferenciales de las variables x, y, z, ...; mediante :
dz ... z
F
dy y
F
dx x
F
dF + ∂
A continuación asimilamos las diferentes diferenciales a los errores absolutos, y además consideramos que en el cálculo del error de F debemos ponernos en el caso más desfavorable, es decir, error mayor, para lo cual tomaremos los valores absolutos de las derivadas parciales, con el fin de tener una suma de términos positivos, obteniendo para el valor del error absoluto de F el resultado:
z ... z
F
y y
F
x x
F
F ∆ +
En este problema se presenta una notable simplificación en el caso en el que la función considerada sea de la forma:
F =xaybzc...
con a, b, c, ... constantes positivas o negativas, ya que en este caso, podemos proceder del siguiente modo, tomando logaritmos neperianos:
ln F = a.ln x + b.ln y + c.ln z
si a continuación obtenemos la diferencial:
d(ln F)= a.d(ln x) + b.d(ln y) + c.d(ln z)
teniendo en cuenta la diferencial logarítmica dada por:
d(ln u) = (du)/u tenemos que:
y teniendo en cuenta el número máximo de cifras significativas del error absoluto:
∆F= 0.
con lo cual vemos que la última cifra significativa en el valor de F es la segunda cifra decimal, de modo que finalmente expresamos:
F = 1.86 ± 0.
CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS
La representación gráfica de los fenómenos físicos que estudiemos debe ajustarse a las siguientes normas:
Gráficas en papel milimetrado con los ejes bien trazados, y en cuyo centro indicaremos la magnitud representada, en las unidades en que ha sido medida (con letra grande y clara). El título de la gráfica ser claro y vendrá indicado en la parte superior.
La variable independiente del fenómeno debe ir representada en abscisas y la dependiente en ordenadas.
Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rápida y sencilla. Para ello se elegirán las escalas con intervalos de 1, 2, 5, 10, 20, ... etc. unidades (poniendo pocos números).
Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y sólo el citado intervalo.
Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala (que han de quedar así uniformemente espaciadas). Nunca se señalan los valores correspondientes a las medidas realizadas.
Los valores medidos se representan sobre el papel milimetrado por el punto correspondiente a sus dos coordenadas (punto experimental) y rodeado por el denominado rectángulo de error, cuya base abarca desde x-∆x hasta x+∆x y cuya altura se extiende desde y-∆y hasta y+∆y, siendo (x,y) las coordenadas del punto experimental. En el caso de que x o y sean despreciables en comparación con la escala utilizada, el rectángulo de error queda reducido a un simple segmento vertical u horizontal, según sea el caso.
Las gráficas han de ser líneas finas "continuas " nunca quebradas, que han de pasar por todos los rectángulos de error, aunque para ello, dejen muchas veces de pasar por los puntos experimentales que pueden quedar a derecha o izquierda de la gráfica. Si al hacer esta operación, alguno de los rectángulos de error, queda excesivamente alejado de la forma continua de la gráfica, es prueba de que esa medida es falsa por alguna causa accidental, y debe repetirse.
AJUSTE DE LA RECTA DE REGRESIÓN POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS
CUADRADOS
Con frecuencia, se plantea el problema de encontrar una expresión matemática del tipo y = f(x), de la ley física que rige el comportamiento de un determinado fenómeno, a partir de una serie de N medidas (xi ,yi ), de las magnitudes x e y que lo caracterizan. Cuando la representación gráfica del fenómeno estudiado proporciona una distribución de los puntos experimentales en forma
prácticamente lineal, es conveniente determinar la ecuación de la recta que será expresión de la ley física que rige el fenómeno estudiado, utilizando para ello el método de mínimos cuadrados. Dicha recta debe cumplir la condición de que los puntos experimentales, queden distribuidos simétricamente a ambas partes de la misma, y además, lo más próximos posible. Esta condición se cumple si se obliga a que la recta de ecuación:
y = a x + b
cumpla con que la expresión:
=
N
i 1
2 c (yi axi b)
tenga un valor mínimo. Derivando c respecto a "a" y "b", y anulando ambas derivadas, tras una serie de operaciones se obtiene:
N^2
i 1
N
i 1
i
2 i
N
i 1
i
N
i 1
i
N
i 1
i i
N x x
N xy x y
a
= =
= = =
N
i 1
N
i 1
i
2 i
N
i 1
i i
N
i 1
i
N
i 1
i
N
i 1
2 i
N x x
x y x xy
b
= =
= = = =
Además de los valores de la pendiente y la ordenada en el origen, es interesante obtener el denominado coeficiente de correlación lineal “r”, que nos da una medida del grado de correlación entre los valores de las variables x e y, es decir, hasta qué‚ punto x e y están relacionadas mediante una función lineal. La expresión de “r” es:
2
1 N^2
i 1
N
i 1
i
2 i
N^2
i 1
N
i 1
i
2 i
N
i 1
i
N
i 1
i
N
i 1
i i
N x x N y y
N xy x y
r
= = = =
= = =
y varía entre 0 (no existe correlación) y ±1 (correlación completa). Las expresiones correspondientes al cálculo del error de la pendiente y la ordenada en el origen son:
2
1
N
i 1
2 i
N
i 1
2 i i
(N 2 ) (x x)
(y ax b)
a
=
=
y y y
z z x x x
z z z 2 1
12 11 2 1
Teoría de errores
- Determine el error absoluto y relativo de cada una de las medidas del siguiente conjunto de datos : 1.1, 1.3, 1.0, 1.2, 1.8, 1.6, 0.9.
- Exprese correctamente los errores siguientes : 0.367875, 3789, 0.001734, 12310, 0.002157, 2.13986, 0.02796, 0.01182, 4.56896, 2.209.
- Exprese correctamente (cuando sea necesario) las medidas y errores siguientes : a) 3.456 ± 0. b) 2345.56 ± 161. c) 0.0001 ± 0. d) 4.5689 ± 2. e) 0.0932 ± 0. f) 16789 ± 1798. g) 2.9 ± 12 h) 9 ± 23 i) 12 ± 12 j) 100 ± 0. k) 2679 ± 300 l) 0.6789 ± 2. m) 0.0003 (leído en una tabla sin indicaciones de error).
n) π = 3.1415 (valor del número pi leído en una tabla).
ñ) g = 9.81 (valor de la gravedad leído en una tabla). o) 0.56 ± 4 p) 0.003789 ± 0. q) 2 ± 0. r) 15 ± 0. s) 17.0 ± 0. t) 17.0 ± 2 u) 1000 ± 10 v) 1000.0 ± 10. w) 0.000 ± 12 x) 6578 ± 0. y) 457.00 ± 0. z) 1 ± 1.
- Indique cuántas medidas debe realizar en cada uno de los siguientes casos y determine (en su caso) el valor verdadero de la medida junto a su error : a) Se han obtenido las siguientes medidas: 0.012, 0.012, 0.013 utilizando un instrumento de sensibilidad 0.001. b) Se han obtenido las siguientes medidas: 0.012, 0.018 y 0.009 utilizando un instrumento de sensibilidad 0.001. c) Se han obtenido las siguientes medidas: 0.25, 0.33, 0.20 utilizando un instrumento de sensibilidad 0.01.
- En una tabla pueden leerse los siguientes datos :
Presión (bar) Temperatura (°C) 0.5 81. 0.6 85. 0.7 89. 0.8 93.
Obtenga la temperatura para un valor de la presión de 0.55 bar.
- En la práctica Tensión superficial , se calcula la tensión superficial de un líquido problema, determinando la diferencia de fuerza ∆F, entre la medida inicial del dinamómetro, con el anillo suspendido en el aire, y la medida obtenida en el momento de desgarre. Sabiendo que la tensión superficial es σ = ∆F/4πr, donde el radio r del anillo es (5.0 ± 0.1) cm. Hallar la tensión superficial de los 3 líquidos problema siguientes con su error, si el número de medidas disponibles es suficiente. Líquido número 1. ∆F = 1429 dyn, 1432 dyn y 1407 dyn. La sensibilidad del dinamómetro es 1 dyn. Líquido número 2.
∆F = 2011 dyn, 2021 dyn y 2002 dyn. La sensibilidad del dinamómetro es 1 dyn. Líquido número 3.
∆F = 1571 dyn, 1582 dyn y 1563 dyn. La sensibilidad del dinamómetro es 1 dyn.
