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Tipo: Resúmenes
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“DEL BICENTENARIO, DE LA CONSOLIDACION DE NUESTRA INDEPENDENCIA, Y LA CONMEMORACION DE LAS HEROICAS BATALLAS DE JUNIN Y AYACUCHO”
ESCOBAR JURADO, Cristian MAYHUA PALOMINO, Luis Fernando MG. GARCIA CAJO, Oscar
Las medidas de variabilidad y forma son herramientas fundamentales en estadística que permiten analizar y describir las características de un conjunto de datos. Mientras que las medidas de tendencia central, como la media y la mediana, resumen el valor típico de los datos, las medidas de variabilidad, como la desviación estándar, el rango y la varianza, indican qué tan dispersos están los datos alrededor de esa tendencia central. Por otro lado, las medidas de forma, como la asimetría y la curtosis, describen la forma de la distribución, indicando si los datos son simétricos, sesgados hacia un lado o si tienen colas más largas o más cortas de lo normal. Las variables aleatorias son fundamentales en la teoría de la probabilidad y representan cualquier fenómeno que puede tomar diferentes valores debido a un proceso aleatorio. Estas pueden ser discretas (con un número finito o contable de resultados, como el lanzamiento de un dado) o continuas (con un número infinito de valores posibles dentro de un intervalo, como la altura de las personas). La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia la incertidumbre y proporciona herramientas para modelar y predecir la ocurrencia de eventos. Es un concepto clave para comprender el comportamiento de las variables aleatorias, ya que permite asignar una medida cuantitativa (entre 0 y 1) a la ocurrencia de un evento en un espacio muestral. En conjunto, estos conceptos permiten realizar análisis estadísticos más profundos y precisos, siendo esenciales en campos como la economía, la ingeniería, las ciencias sociales y la informática
Cálculo sencillo, emplea poca información del conjunto de puntuaciones. Fácil interpretación. Su principal inconveniente es que es sensible únicamente a los valores extremos de la distribución. Sensible a los datos Out Layer. En una distribución de frecuencias con datos agrupados en intervalos no se puede calcular si hay intervalos abiertos. 1.4 VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA. La medida de variabilidad también se puede basar en la distancia entre las puntuaciones y un valor central de la distribución como la media aritmética. De este modo, una distribución con poca variabilidad es aquella en la que la mayoría de las puntuaciones están muy próximas a la media, mientras que, en una distribución con mucha variabilidad, las puntuaciones están alejadas o muy alejadas del valor medio de la variable. Un primer índice que se puede plantear de forma lógica es el promedio de las desviaciones o diferencias de cada puntuación con respecto a su media. 𝑋𝑑 𝑛 𝑛 El problema de este índice es que el sumatorio del numerador siempre es igual a 0, por lo que carece de sentido como índice.
Soluciones: Primera, calcular el valor absoluto de cada desviación antes de realizar la suma, obteniendo un índice denominado desviación media. ∑|𝑋𝑖 −𝑋|̅ 𝐷𝑀 = 𝑛 La varianza de un conjunto de n puntuaciones en una variable Xi denotada por 𝑆𝑥2, se define como el promedio de los cuadrados de las desviaciones de las puntuaciones con respecto a la media. Formalmente expresada como: 𝑆 𝑛 Para simplificar cálculos evitando arrastrar decimales: 𝑆 −𝑋^2 ̅ 𝑛
La varianza viene expresada en las mismas unidades que la variable, pero al cuadrado ej. Pasamos de metro a metro al cuadrado. Con el fin de lograr una medida de dispersión en las mismas unidades que la variable y que sea más fácilmente interpretable, se calcula la raíz cuadrada de la varianza y se obtiene un índice que se denomina desviación típica. La desviación típica de un conjunto n de puntuaciones, que se representa por SX, es la raíz cuadrada positiva de la varianza, y la fórmula para calcularla es: 1.8 PROPIEDADES DE LA VARIANZA Y DESVIACION TÍPICA: Su cálculo requiere el uso de todas las puntuaciones. Miden la variabilidad respecto a la media→ solo pueden utilizarse en el caso de ser ésta apropiada. Nunca son negativas. Pueden ser positivas o iguales a cero (en caso de ser todas las puntuaciones iguales). Si a los valores de una variable se les suma una constante, las nuevas puntuaciones tendrán la misma varianza. 𝑌𝑖 = 𝑋𝑖 + 𝑎 → 𝑆𝑦2 = 𝑆𝑥 2 y 𝑆𝑦 = 𝑆𝑥
Si a los valores de una variable se les suma una constante y se les multiplica por un factor, la varianza de las nuevas puntuaciones será igual a la anterior por el factor elevado al cuadrado. Si 𝑌𝑖 = 𝑏𝑋𝑖 +𝑎 → 𝑆𝑦2 = 𝑏 2 𝑆𝑥 2 y 𝑆𝑦 = |𝑏|𝑆𝑥 1.9 COEFICIENTE DE VARIACIÓN. El CV es una medida relativa de variabilidad y determina la proporción de desviación típica respecto de la media de la distribución. Al estar ambos índices (desviación típica y media) expresados en la misma unidad de la variable del CV es adimensional. Se expresa en porcentajes. 𝑆𝑥
La asimetría de una distribución nos indica el grado en el que las puntuaciones se reparten por debajo y por encima de la medida de tendencia central. PEARSON: Índice adimensional, se basa en la relación entre la media y la moda, y matemáticamente se expresa:
Cuanto más se acerca a 0 más simétrico es el histograma. FISHER: Se basa en las distancias de las puntuaciones respecto a su media elevadas al cubo, por lo que su valor puede ser positivo, negativo o cero.
Mesocúrtico Cr = 0 | Leptocúrtica Cr > 0 | Platicúrtica Cr < 0 DIAGRAMA DE CAJA. También llamado gráfico de caja y bigotes. Se trata de una representación visual que resulta útil para estudiar la asimetría de una variable cuantitativa, así como para detectar si hay valores extremos o atípicos (outliers) en la distribución de frecuencias (sin agrupar intervalos).
Una puntuación directa X: Es la puntuación que se obtiene directamente sin que se medie proceso alguno de transformación del valor registrado. Se designan por letras mayúsculas del alfabeto latino (X,Y,etc.) Puntuación diferencial: Es la diferencia que hay entre cada puntuación directa y la media del conjunto de puntuaciones. Están afectadas por el signo de la diferencia; si la puntuación directa es menor que la media su puntuación diferencial será negativa; si es mayor será positiva, y si es igual será cero. Se designa por la misma letra, en minúscula, que la variable en puntuaciones directas. 𝑥𝑖 =𝑋𝑖 −𝑋̅
𝑥
𝑥
𝑥
Una variable cuyo valor está determinado por la ocurrencia de un evento aleatorio se denomina variable aleatoria o estocástica. En otras palabras, una variable aleatoria X es una función del espacio muestral S en los números reales. En un dado experimento, una variable aleatoria puede tomar diferentes valores. Debemos entonces tener cuidado en distinguir entre la variable (que denotaremos con letras mayúsculas) y sus posibles valores {xi} que puede tomar en cada realización del experimento. Por ejemplo, el número de caras que aparece en una tirada de tres monedas es una variable aleatoria X, cuyos posibles valores son x = 0,1,2,3. (jimenes, 2017)
Una variable aleatoria X que puede tomar un conjunto numerable (finito o infinito) de valores X(S) = x1, x2,... se dice discreta. Se define la distribución de probabilidad P(x) de una variable aleatoria X como la probabilidad de que X tome el valor x, y viene dada por la suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales en S para los cuales X toma el valor x. La misma satisface las propiedades 0 ≤ P(x) ≤ 1 ∀x Se define el valor esperado o valor medio de la variable x como ) (2.1) y el mismo representa un promedio pesado de la variable x. De la misma manera, se define el valor medio de una función arbitraria de g(x) como
