Sin embargo, estas ecuaciones no son compatibles con la Relatividad Especial por dos
razones:
•En primer lugar la masa no es una magnitud absoluta, sino que su medición
deriva en resultados diferentes dependiendo de la velocidad relativa del
observador. De ahí que la densidad de masa no puede servir de parámetro de
interacción gravitatoria entre dos cuerpos.
•En segundo lugar, si el concepto de espacio es relativo, también lo es la noción
de densidad. Es evidente que la contracción del espacio producida por el
incremento de la velocidad de un observador, impide la existencia de
densidades que permanezcan invariables ante las transformaciones de
Lorentz.
Por todo ello, resulta necesario prescindir del término , situado en el lado derecho
de la fórmula de Poisson y sustituirlo por un objeto geométrico-matemático que
permanezca invariante ante las transformaciones de Lorentz: Dicho objeto fue
definido por Einstein en sus ecuaciones de universo y recibe el nombre de tensor de
energía-momentum (). Sus coeficientes describen la cantidad de tetramomentum que
atraviesa una hipersuperficie , normal al vector unitario . De este modo, el tensor de
energía momentum puede expresarse mediante la siguiente ecuación:
O lo que es lo mismo: El componente del tetramomentum es igual a la integral de
hipersuperficie del tensor de tensión-energía. En un fluido ideal, del que están ausentes
tanto la viscosidad como la conducción de calor, los componentes del tetramomentum
se calculan de la siguiente forma:
donde es la densidad de masa-energía (masa por unidad de volumen tridimensional),
es la presión hidrostática, es la cuadrivelocidad del fluido, y es la matriz inversa del
tensor métrico de la variedad.
Además, si los componentes del tensor se miden por un observador en reposo relativo
respecto al fluido, entonces, el tensor métrico viene constituido simplemente por la
métrica de Minkowski:
Puesto que además la tetravelocidad del fluido respecto al observador en reposo es:
como consecuencia de ello, los coeficientes del tensor de tensión-energía son los
siguientes: