Método gráfico(matlab), Ejercicios de Programación Lineal

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Notas para el curso de Programaci´on Lineal

Aplicada

Lenin Augusto Echavarr´ıa Cepeda

28 de agosto de 2023

Notas para el primer parcial

´Indice general

Cap´ıtulo 1

Programaci´on Lineal en las

Empresas

La anal´ıtica juega un papel crucial en el mundo empresarial actual, permi- tiendo a las organizaciones tomar decisiones informadas basadas en datos. Dentro de las t´ecnicas anal´ıticas, la programaci´on lineal ha demostrado ser una herramienta poderosa para abordar problemas de optimizaci´on en las em- presas. Iniciando este curso, exploremos los tipos de anal´ıtica, la importancia de la modelaci´on matem´atica y c´omo la programaci´on lineal puede impulsar la eficiencia y la toma de decisiones estrat´egicas en las organizaciones.

1.1. Tipos de Anal´ıtica

En esta secci´on, describiremos los diferentes tipos de anal´ıtica, como la des- criptiva, la diagn´ostica, la predictiva, la prescriptiva y la cognitiva. Cada tipo de anal´ıtica tiene su propio enfoque y prop´osito, brindando a las empresas diferentes perspectivas y capacidades para aprovechar el valor de los datos.

Anal´ıtica Descriptiva La anal´ıtica descriptiva se enfoca en resumir y pre- sentar datos hist´oricos para comprender y visualizar patrones, tenden- cias y caracter´ısticas importantes. Ayuda a responder preguntas como “¿Qu´e ha sucedido?” y proporciona informaci´on valiosa sobre el pasado.

Anal´ıtica Diagn´ostica La anal´ıtica diagn´ostica se centra en analizar los datos para identificar las causas ra´ız de un problema o una situaci´on

espec´ıfica. Ayuda a responder preguntas como “¿Qu´e est´a mal?” y per- mite comprender por qu´e ocurrieron ciertos eventos o resultados.

Anal´ıtica Predictiva La anal´ıtica predictiva utiliza modelos estad´ısticos y t´ecnicas de aprendizaje autom´atico para predecir eventos futuros o comportamientos basados en datos hist´oricos. Ayuda a responder pre- guntas como “¿Qu´e pasar´a?” y permite tomar decisiones informadas y planificar acciones en funci´on de las predicciones.

Anal´ıtica Prescriptiva La anal´ıtica prescriptiva, adem´as de la programa- ci´on lineal, emplea otras t´ecnicas como la optimizaci´on combinatoria, el aprendizaje autom´atico y la simulaci´on para ayudar a las empresas a tomar decisiones ´optimas en ´areas como la asignaci´on de recursos, la planificaci´on de la cadena de suministro, la gesti´on de inventarios, la programaci´on de proyectos y la toma de decisiones estrat´egicas.

Anal´ıtica Cognitiva La anal´ıtica cognitiva combina tecnolog´ıas de inteli- gencia artificial, procesamiento de lenguaje natural y aprendizaje au- tom´atico para emular el pensamiento humano y ayudar en la toma de decisiones complejas. Va m´as all´a de los datos estructurados y busca comprender, razonar y aprender de informaci´on no estructurada, como texto, im´agenes y voz.

Cada tipo de anal´ıtica tiene su enfoque particular y ofrece diferentes perspec- tivas y capacidades para aprovechar el poder de los datos. La combinaci´on y aplicaci´on adecuada de estos tipos de anal´ıtica puede brindar una ventaja competitiva y mejorar la toma de decisiones en diversas industrias y sectores. La Figura 1.1, presenta los tipos de anal´ıtica organizadas en el modelo de Gartner.

1.2. Modelaci´on Matem´atica

El modelado matem´atico en investigaci´on de operaciones es una herramien- ta utilizada para representar un sistema o problema mediante herramientas matem´aticas, con el fin de analizarlo y encontrar la mejor soluci´on posible. A trav´es de este modelado matem´atico, se pueden simular diferentes escenarios, hacer predicciones y tomar decisiones informadas. El modelado matem´atico puede ser utilizado en una variedad de campos, como la administraci´on, la econom´ıa, la ingenier´ıa y la ciencia de la computaci´on.

Problema

Modelo

Soluci´on

Evaluaci´on

Figura 1.2: Ciclo de Modelaci´on Matem´atica

En la Figura 1.2, se ilustra el ciclo de modelaci´on matem´atica. Comienza con la identificaci´on del problema, donde se recolecta informaci´on y se define el objetivo del modelo. Luego, en la etapa de formulaci´on del modelo, se utiliza la informaci´on recolectada para crear un modelo matem´atico que represente el problema. En la etapa de soluci´on, se utilizan diferentes m´etodos, como el m´etodo gr´afico o algoritmos num´ericos, para encontrar la soluci´on ´optima del modelo. Finalmente, en la etapa de evaluaci´on, se analiza la validez y la sensibilidad del modelo y se toman decisiones basadas en los resultados obtenidos. Este ciclo se repite hasta que se alcanza una soluci´on satisfactoria. Hay varias formas de asignar un modelo matem´atico a una situaci´on es- pec´ıfica. Una de ellas es utilizar un modelo ya existente que sea similar a la situaci´on que se est´a investigando. Por ejemplo, si se est´a investigando un problema de transporte, se puede utilizar un modelo de programaci´on lineal que ya se haya aplicado en un problema similar y adaptarlo al nuevo contexto. Otra forma es desarrollar un modelo desde cero. Esto puede ser necesario si el problema que se est´a investigando es ´unico o si no existe un modelo existente que se adapte a la situaci´on. Esto requiere un an´alisis detallado de los datos y una comprensi´on profunda de las matem´aticas y las t´ecnicas de investigaci´on de operaciones. Es un proceso m´as complejo pero puede dar una soluci´on m´as precisa y adaptada a la situaci´on espec´ıfica. La modelaci´on matem´atica es un componente fundamental de la programa-

ci´on lineal y juega un papel clave en la resoluci´on de problemas empresaria- les. Explicaremos c´omo se traducen los problemas empresariales en modelos matem´aticos, utilizando variables, restricciones y la funci´on objetivo para representar la situaci´on de manera cuantitativa.

1.3. Programaci´on Lineal

En este curso, nos centraremos en la programaci´on lineal como una t´ecnica espec´ıfica de optimizaci´on utilizada en las empresas. La programaci´on lineal se ha convertido en una herramienta fundamental para la toma de decisiones eficientes en diversas ´areas de gesti´on empresarial, ya que permite encontrar la mejor soluci´on posible a problemas de asignaci´on de recursos, planifica- ci´on de la producci´on, gesti´on de inventarios y muchas otras situaciones que implican la optimizaci´on de variables y el cumplimiento de restricciones. La programaci´on lineal se basa en el uso de ecuaciones lineales y desigualda- des lineales para modelar problemas de optimizaci´on. Estos problemas pue- den involucrar la maximizaci´on de ganancias, la minimizaci´on de costos o cualquier otro objetivo espec´ıfico que se desee lograr en el contexto empre- sarial. El enfoque principal es encontrar los valores ´optimos de las variables de decisi´on que maximicen o minimicen la funci´on objetivo, al tiempo que cumplan con las restricciones establecidas. Durante el curso, exploraremos los conceptos b´asicos de la programaci´on li- neal. Comenzaremos por comprender las variables de decisi´on, que son las cantidades que buscamos optimizar. Estas variables representan aspectos re- levantes del problema que se pueden ajustar para lograr el mejor resultado. Por ejemplo, en un problema de asignaci´on de recursos, las variables de de- cisi´on pueden ser la cantidad de recursos asignados a diferentes actividades. Adem´as de las variables de decisi´on, tambi´en consideraremos las restriccio- nes lineales. Estas restricciones representan las limitaciones o condiciones que deben cumplirse en el problema. Pueden surgir debido a restricciones de recursos, capacidades limitadas o requisitos espec´ıficos. Por ejemplo, en un problema de producci´on, puede haber restricciones en la disponibilidad de mano de obra, maquinaria o materiales. Las restricciones se representan me- diante ecuaciones o desigualdades lineales, y su objetivo es establecer l´ımites claros para las variables de decisi´on. Por otro lado, la funci´on objetivo lineal es una parte fundamental de la programaci´on lineal. Esta funci´on define el objetivo que se busca alcanzar

abarcar distintos aspectos de la anal´ıtica en una empresa. Su objetivo es obtener la percepci´on y experiencia de personas que tengan conocimientos sobre la organizaci´on evaluada. Es importante tener en cuenta que este cuestionario se aplica de manera an´onima y confidencial. La informaci´on recopilada ser´a utilizada exclusiva- mente con fines acad´emicos y se garantiza la protecci´on de los datos perso- nales de los participantes. Su participaci´on en este ejercicio es fundamental para obtener resultados sig- nificativos y representativos. Les agradecemos su disposici´on y colaboraci´on, as´ı como el cuidado y la atenci´on al momento de aplicar el cuestionario. Una vez recopilados los datos, se realizar´a un an´alisis para identificar patrones y tendencias en el nivel de anal´ıtica en la empresa evaluada. Los resultados ser´an presentados en un informe que proporcionar´a una visi´on general del uso de la anal´ıtica en la toma de decisiones empresariales. Pasos para aplicar el cuestionario a personas que tengan conocimientos sobre una empresa en particular:

1. Preparaci´on

a) Familiar´ızate con el cuestionario y aseg´urate de entender cada pregunta. b) Identifica a personas que tengan conocimientos sobre la empre- sa que deseas evaluar. Pueden ser empleados, directivos u otras personas con experiencia en la organizaci´on. c) Explica brevemente el prop´osito del cuestionario a las personas seleccionadas y solic´ıtales su participaci´on voluntaria. d ) Aseg´urate de mantener la confidencialidad de las respuestas y ex- plicar que la informaci´on ser´a utilizada con fines acad´emicos ´uni- camente.

2. Proceso de aplicaci´on

a) Proporciona una copia impresa o electr´onica del cuestionario a cada participante. b) Explica las instrucciones de respuesta, resaltando que deben se- leccionar la opci´on que mejor refleje su percepci´on o experiencia en relaci´on con cada afirmaci´on.

c) Aseg´urate de que los participantes tengan suficiente tiempo y tran- quilidad para completar el cuestionario. d ) Establece un plazo para que los participantes devuelvan los cues- tionarios completos.

3. An´alisis de los resultados

a) Recopila los cuestionarios completados de los participantes. b) Transcribe las respuestas en un formato adecuado para su poste- rior an´alisis. c) Calcula las puntuaciones totales para cada participante sumando los puntos obtenidos en todas las preguntas. d ) Analiza los resultados obtenidos a nivel individual y general pa- ra identificar patrones y tendencias relacionadas con el nivel de anal´ıtica en la empresa evaluada.

4. Informe de resultados

a) Elabora un informe que resuma los resultados obtenidos, destacan- do los puntos fuertes y ´areas de mejora en t´erminos de anal´ıtica en la empresa. b) Presenta los resultados de manera clara y concisa, utilizando gr´afi- cos o tablas si es necesario. c) Aseg´urate de proteger la confidencialidad de los participantes y evitar revelar informaci´on que pueda identificarlos. d ) Considera la posibilidad de proporcionar recomendaciones o suge- rencias para mejorar el nivel de anal´ıtica en la empresa evaluada.

Recuerda que es importante agradecer a los participantes por su colabora- ci´on y respetar su tiempo y esfuerzo al completar el cuestionario. Adem´as, aseg´urate de obtener los permisos necesarios antes de utilizar los resultados del cuestionario con fines acad´emicos o de investigaci´on.

Nunca Rara vez A veces Frecuentemente

Siempre Sin respuesta ¿La empresa recopila datos de sus operaciones y ac- tividades comerciales de manera sistem´atica? (^) □ □ □ □ □ □

¿Se utilizan herramientas de an´alisis de datos para identificar patrones, tendencias o insights en la infor- maci´on recopilada? □^ □^ □^ □^ □^ □

¿La empresa utiliza modelos anal´ıticos para predecir el comportamiento futuro de variables clave? (^) □ □ □ □ □ □

¿Existen iniciativas en la empresa para aplicar t´ecni- cas de segmentaci´on de clientes y personalizar las es- trategias de marketing? □^ □^ □^ □^ □^ □

¿La empresa utiliza t´ecnicas de visualizaci´on de datos para comunicar de manera efectiva los resultados de an´alisis a los tomadores de decisiones? □^ □^ □^ □^ □^ □

¿Se utilizan t´ecnicas de miner´ıa de datos para descu- brir informaci´on oculta o patrones complejos en los datos? □^ □^ □^ □^ □^ □

¿La empresa utiliza t´ecnicas de an´alisis de redes so- ciales para comprender la percepci´on y el comporta- miento de los clientes en las redes sociales? □^ □^ □^ □^ □^ □

¿La empresa utiliza t´ecnicas de an´alisis predictivo pa- ra anticipar eventos futuros y tomar decisiones proac- tivas? □^ □^ □^ □^ □^ □

¿Existen iniciativas de an´alisis de sentimiento para comprender la opini´on y el sentimiento de los clientes hacia la empresa o sus productos/servicios? □^ □^ □^ □^ □^ □

¿La empresa utiliza t´ecnicas de optimizaci´on para mejorar la eficiencia operativa y maximizar los re- sultados? □^ □^ □^ □^ □^ □

1.5. Modelos de Programaci´on Lineal

1.5.1. Componentes de un problema de Programaci´on

Lineal

En un problema de programaci´on lineal, tenemos los siguientes componentes:

Funci´on objetivo: Es una funci´on matem´atica que se busca maximizar o minimizar.

Restricciones: Son las limitaciones o condiciones que deben cumplirse en un problema de programaci´on lineal.

Variables de decisi´on: Son las inc´ognitas que se utilizan para describir el problema.

Punto de equilibrio: Es un punto en el que las restricciones se cumplen de manera simult´anea.

Regi´on factible: Es el conjunto de puntos que cumplen con las restric- ciones del problema.

Soluci´on ´optima: Es el punto en el que se alcanza el valor m´aximo o m´ınimo de la funci´on objetivo.

1.5.2. Producci´on

Ejemplo 1.1. Un fabricante de bicicletas desea determinar cu´antas bicicle- tas de cada tipo debe producir cada mes para maximizar sus beneficios. El fabricante produce dos tipos de bicicletas: bicicletas de monta˜na y bicicle- tas de carretera. Cada bicicleta de monta˜na se vende por $4,000 pesos y cada bicicleta de carretera se vende por $8,000 pesos. El fabricante tiene un presupuesto mensual de $200,000 pesos para materiales y 20,000 horas de trabajo disponibles. La producci´on de una bicicleta de monta˜na requiere 80 horas de trabajo y $1,000 pesos de materiales, mientras que la producci´on de una bicicleta de carretera requiere 200 horas de trabajo y $1,500 pesos de materiales.

Para resolverlo con la funci´on optimproblem de Matlab, podemos seguir los siguientes pasos:

Crear un objeto OptimizationProblem vac´ıo

Establecer las variables de decisi´on y sus l´ımites

Establecer la funci´on objetivo

A˜nadir las restricciones

Resolver el problema con la funci´on solve

C´odigo en Matlab:

format shortG prob = optimproblem;

x1 = optimvar('x1', 'LowerBound', 0); x2 = optimvar('x2', 'LowerBound', 0);

prob.Objective = 20x1 + 15x2;

prob.Constraints.cons1 = 2*x1 + x2 <= 200; prob.Constraints.cons2 = x1 >= 25; prob.Constraints.cons3 = x2 >= 35; prob.Constraints.cons4 = x1 + x2 >= 100;

show(prob) [sol, f] = solve(prob);

disp(sol.x1) disp(sol.x2) disp(f)

Donde sol.x1 y sol.x2 son las soluciones ´optimas para las variables x1 y x respectivamente, y sol.ObjectiveValue es el valor de la funci´on objetivo en la soluci´on.

1.5.3. Mezclas

Ejemplo 1.3. Una compa˜n´ıa qu´ımica desea producir soluciones a partir de dos tipos de soluciones qu´ımicas, A y B. La soluci´on A cuesta $5 por litro y la soluci´on B cuesta $7 por litro. La soluci´on A contiene 25 % de un componente esencial y la soluci´on B contiene 50 % de este componente. La compa˜n´ıa desea producir una soluci´on que contenga al menos 40 % del componente esencial y que sea la m´as econ´omica posible. Planteamiento matem´atico: Sea x 1 la cantidad en litros de soluci´on A y x 2 la cantidad en litros de soluci´on B que se producen. El objetivo es minimizar el costo total:

Minimizar 5 x 1 + 7x 2 Sujeto ax 1 + x 2 = 1

1. 3 x 1 + 0. 5 x 2 ≥ 0. 4 x 1 , x 2 ≥ 0

Vamos a resolver el problema usando la herramienta de optimproblem de Matlab.

format shortG problema = optimproblem('ObjectiveSense', 'min');

x1 = optimvar('x1', 'LowerBound', 0); x2 = optimvar('x2', 'LowerBound', 0);

obj = 5x1 + 7x2; problema.Objective = obj;

rest0 = x1 + x2 == 1; rest1 = 0.25x1 + 0.5x2 >= 0.4;

problema.Constraints.rest0 = rest0; problema.Constraints.rest1 = rest1;

show(problema)

problema.Constraints.Grasas = Grasas;

show(problema)

[sol, obj] = solve(problema);

disp(sol.x) disp(obj)

Se obtiene que se deben usar 60 kilogramos de la harina B, solamente, con un costo de $ 1,200.

1.5.4. Transporte

Ejemplo 1.5. Un productor de frutas necesita enviar su producci´on a dos destinos diferentes, un supermercado y una tienda en l´ınea. La producci´on total es de 100 kilogramos de frutas, y la capacidad de env´ıo es de 30 ki- logramos por d´ıa para el supermercado y de 20 kilogramos por d´ıa para la tienda en l´ınea. Adem´as, el supermercado paga un precio de $2 por kilogra- mo, mientras que la tienda en l´ınea paga $3 por kilogramo. El objetivo es maximizar los ingresos totales. El planteamiento matem´atico del problema es el siguiente:

Maximizar: Z = 2x 1 + 3x 2 Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 100 (kg de frutas disponibles) x 1 ≤ 30 (capacidad de env´ıo al supermercado) x 2 ≤ 20 (capacidad de env´ıo a la tienda en l´ınea) x 1 , x 2 ≥ 0 (no-negatividad)

En este problema, x 1 representa la cantidad de kilogramos de frutas enviados al supermercado y x 2 representa la cantidad de kilogramos de frutas enviados a la tienda en l´ınea. La funci´on objetivo es maximizar los ingresos totales, que se obtienen multiplicando la cantidad de kilogramos enviados por el precio por kilogramo correspondiente. Las restricciones establecen la cantidad total de frutas disponibles, la capacidad de env´ıo de cada destino y la condici´on de que solo se pueden enviar cantidades positivas de frutas. En Matlab, se puede usar el siguiente script:

format shortG problema = optimproblem('ObjectiveSense', 'max');

x = optimvar('x',2,1,'LowerBound',0);

problema.Objective = 2 * x(1) + 3 * x(2);

problema.Constraints.Disponible = x(1) + x(2) <= 100; problema.Constraints.Supermercado = x(1) <= 30; problema.Constraints.TiendaEnLinea = x(2) <= 20;

show(problema)

[sol, obj] = solve(problema);

disp(sol.x) disp(obj)

Podemos ver que se debe enviar la capacidad m´axima tanto al supermercado como a la tienda en l´ınea.

Ejemplo 1.6. Una empresa tiene dos f´abricas y tres tiendas, y desea de- terminar cu´antos productos deben ser enviados desde cada f´abrica a cada tienda para satisfacer la demanda de productos y minimizar los costos de transporte. Sea xij la cantidad de productos enviados desde la f´abrica i a la tienda j. La empresa tiene la capacidad limitada de producci´on en cada f´abrica y la demanda limitada en cada tienda. Podemos plantear el siguiente problema de programaci´on lineal: