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MÉTODOS ITERATIVOS EN SISTEMAS LINEALES
Curso: Métodos Numéricos Para Ingeniería
INTRODUCCIÓN
El diseño de sistemas de redes, rigideces de elementos estructurales, requieren la solución de sistemas lineales. Sin embargo, para mejorar el tiempo de cálculo los métodos directos son una mala elección, por lo que los métodos iterativos ofrecen una importante salida para mejorar la velocidad y facilidad de cálculo, uno de los métodos iterativos más famosos es el de Gauss- Seidel.
A continuación, se presentas los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel.
MÉTODOS ITERATIVOS
Los métodos iterativos representan una alternativa potente para solucionar los sistemas de ecuaciones lineales, puesto que éstos se acercan más a la solución real esperada a medida que se itera, de manera que la calidad de la aproximación obtenida dependerá de la cantidad de iteraciones que esté dispuesto a efectuar.
MÉTODO DE JACOBI
El método parte de un sistema de ecuaciones al cual se le aplicaran unos arreglos si es necesario para poder implementar este método. Cuando se tiene el sistema de ecuaciones definido se debe hacer lo posible para que la matriz tenga la forma de diagonalmente dominante.
Forma diagonalmente dominante de la matriz A, del sistema AX = b.
PROCEDIMIENTO A SEGUIR
- Para emplear este método se nos debe proporcionar un vector inicial x(0).
1 (0) (0) 2 (0) (^) (0) 3 (0) n
x x x (^) x
x
^
- Este método se basa en el despeje de cada incógnita de un sistema de ecuaciones como el siguiente.
11 1 12 2 13 3 1 1 21 1 22 2 23 3 2 2 31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
n n n n n n
n n n nn n n
a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
^ ^ ^ ^
^ ^ ^
- Despejamos las incógnitas (variable x) de estas ecuaciones y empleamos el vector inicial para la primera iteración.
1 (^ )^122 (^ 1)^13 3 (^ 1)^1 (^ 1) ( 2 ) 21 1 ( 1) 23 ( 3 1) 2 ( 1) ( 3 ) 31 1 ( 1) 32 2 ( 1) 3 ( 1)
( ) 1 1 ( 1)
11 11 11 11 22 22 22 22 33 33 33 33
1 2 3
... ... ...
k k k (^) n nk k k k n nk k k k (^) n nk
nk^ n n k nn nn
a a a a a a a a a a a a
a a
x a x a^ x a x x a x a^ x a x x a^ x a^ x a x
x a
b
x
b
b
b
2 ( 2 1)^3 ( 3 1) ... nn n
n k n n
a a (^) xk a x^ a
(^)
- Realizamos una serie de iteraciones hasta lograr que el Ea (error absoluto: se calcula con la norma del máximo) sea menor o igual de la tolerancia dada.
x (^ k^ )^ x (^ k 1) Tol (^)
NOTA Esta norma del máximo es la mayor componente en valor absoluto del vector en consideración.
Ejemplo 1 : Resolver por Jacobi el sistema lineal
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
x x x x x x x x x x x x x x x x
Además, el vector de partida es: (0)
x
Solución:
Llevando a la forma x = Tx + c para luego escribirlo en la forma iterativa x(k)^ = Tx(k^ –^ 1)^ + c
De
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
x x x x x x x x x x x x x x x x
^ ^ ^ ^
tenemos
1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2 3
0 1 1 1 1 4 4 4 4 1 0 1 1 2 5 5 5 5 1 1 0 1 1 8 4 2 8 1 1 5 1 6 4 12 6
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
(^) (^) (^) (^)
Iteración 1:
11 20 30 40 21 10 30 40 31 10 20 40 41 10 20 30
1 1 1 1 1 4 2 1 1 1 2 5 1 1 1 1 1 8 1 1 1 5 1 6
4 4 4 4 5 5 5 5 8 8 4 2 6 6 4 12
x x x x x x x x x x x x x x x x
Iteración k:
1 2 1 3 1 41 2 1 1 3 1 41 3 1 1 2 1 41 4 1 1 2 1 3 1
4 4 4 4 5 5 5 5 8 8 4 2
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 6 4 12
5
k k k k k k k k k k k k k k k k
x x x x x x x x x x x x x x x x
^
Así tendríamos las iteraciones:
Por lo que se tiene:
x (18)^ x (17) = máx{0.000357, 0.000302,0.000317,0.000381}= 0. 0.0005 0.5 10 ^3
(18)
x
^
es una aproximación con 3
cifras decimales de precisión exacta. NOTA Se necesito 18 iteraciones para llegar a 3 decimales de precisión exacta, si se desea más precisión deberá hacerse más iteraciones.
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
El método de Gauss-Seidel es casi idéntico al método de Jacobi. La única diferencia entre estos dos métodos está en que, en el método de Gauss - Seidel una vez que se ha calculado el valor de xi, este valor se sustituye inmediatamente en la misma iteración.
11 11 11 22 22 22 3
1 (^ )^1 122 (^ 1)^13 3 (^ 1)^1 (^ 1) 11 ( 2 ) 2 21 23 3 ( 1) 2 ( 1) 22 ( ) 3 3 ( 1)
1 (^ ) 1 1 (^ )^3 ( 2 )
(
2 3 33 33 3 3 33 ( ) 1 1 ) (^22)
... ... ...
k
k k k n nk k k n nk k (^) n nk
nk^ n^ n^ n nn nn
k
nn
k
k
a a a a a a a a
x b^ a x a^ x a x a x b^ a a^ x a x a b (^) a a
x x x
x x
x a x a
x b^ a^ a a a a
a
(^ k^ )^3 3 (^ k )^ ... n
n an
a (^) x
(^)
RECOMENDACIÓN
En este módulo se recomienda tomar en cuente lo siguiente:
- Definir cuál va a ser el vector incógnito inicial.
- Definir que método usar: Jacobi o Gauss- Seidel.
- Por facilidad puede usar el programa gseidel para calcular por Gauss-Seidel la solución con Octave.
FUENTES BIBLIOGRÁFICAS
- Chapra, S., & R, C. (2007). Métodos Numéricos para Ingenieros. La Ciudad de México, México: McGranw-Hill.
- Guillem, N., & Galván, R. (2008). Cálculo numérico con Octave. Fundación de Software Libre.
