¡Descarga Regresión por Mínimos Cuadrados: Lineal y Cuadrática y más Ejercicios en PDF de Métodos Numéricos solo en Docsity!
3.4 Regresión por mínimos cuadrados: Lineal y Cuadrática
Introducción en este tema veremos una definición sencilla y precisa, algunos datos
históricos, además de cómo tiene que hacerse paso por paso con algunos
ejemplos, el método de regresión de mínimos cuadrados lineal se genera para
obtener y lograr el ajuste de curvas
Definición de estimación por mínimos cuadrados: Es una técnica de análisis
numérica dentro de la ciencia matemática, en la que dados un conjunto de pares
ordenados (la variable independiente y la variable dependiente) y una familia de
funciones, se intenta obtener la función continua, “dentro de dicha familia”, que
mejor se aproxime a los datos o nos dé un mejor ajuste de acuerdo con el criterio
de mínimo error cuadrático.
Es una de los más utilizados. Fue desarrollado por Karl Gauss (1777 – 1855);
La idea es producir estimadores de los parámetros (βₒ β¹) que hagan la mínima ₒ βₒ β¹) que hagan la mínima ¹) que hagan la mínima ) que hagan la mínima
suma de cuadrados de las distancias entre los valores observados Yi, y los valores
estimados Ýi.
Regresión por mínimos cuadrados:
En este método se pretende trazar la recta que más se acerque al conjunto de
datos dado a la cual se le llama “línea (recta) de regresión”, expresada
matemáticamente como:
Y = C
1
x + C
2
Los valores de
C
1
C
2
y el Error. Se pueden calcular de las siguientes maneras:
- Usando fórmulas matemáticas:
El error se da en términos de la suma de los cuadrados de la diferencia entre el
valor muestral y el valor calculado con la recta de regresión:
Ejemplo: encontrar la línea de regresión que se ajusta mejor a los siguientes
datos:
La siguiente tabla muestra los valores calculados necesarios para hallar los
valores de los coeficientes de la recta buscada:
Remplazando en las ecuaciones (forma matemática) tenemos:
C
1
2
=1.90, C
2
=0.22, Error =0.
Con estos valores al reemplazarlos en la ecuación tenemos: Y = 1.90x + 0.
Ejemplo 2:
Con los siguientes datos históricos, proyectar la demanda mediante regresión
potencial
Año X Y
Por el método no línea de regresión potencial se tienen las siguientes relaciones y
construimos la siguiente tabla:
Año X Y Logx=
X
Logy=
Y
Logx2 LogY2 LogxLog
y
Y
sumas 2.856 27.580 1.771 126.
Lo que nos interesa es encontrar el valor de a, b y c, estos valores se obtienen al
resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
Una vez se haya reemplazado el valor de N, y de las sumatorias, sólo habrá que
solucionar el sistema de ecuaciones por su método preferido. Después de que ha
solucionado el sistema de ecuaciones entonces tendrá el valor de los parámetros:
a,b,c.
En determinado proceso se realizaron una serie de 24 mediciones, que luego al
graficarse se determinó que es de naturaleza cuadrática. Se desea encontrar los
parámetros del polinomio de segundo grado, que mejor se ajusta a esa serie de
datos, y cuál es el valor de la variable dependiente,
cuando el valor de la variable independiente es
de 20. La tabla con los datos medidos es la
siguiente:
Ahora, teniendo en cuenta la matriz que dedujimos
anteriormente, sabemos que tenemos que encontrar
los valores de la suma de x, la suma de x2, de x3, x4,
de Yi, xYi, x2*Yi y N=24.
Remplacemos los valores de la matriz:
Resolviendo: Por lo tanto:
a=9,6 b=1,76 c=2,02 la parábola de mejor ajuste es
entonces:
y =9.6+1.76∗ x + 0.2− x
2
Ejemplo 2:
Aplicaciones:
X Y
El modelo de regresión lineal es aplicado en un gran número de campos, desde el
ámbito científico hasta el ámbito social, pasando por aplicaciones industriales ya
que en multitud de situaciones se encuentran comportamientos lineales. Estos son
algunos ejemplos aplicados a diversos campos:
Química
La concentración de un elemento es uno de los parámetros de mayor importancia
en los procesos químicos aplicados en la industria.
Mecánica
En esta rama se utiliza la Regresión Lineal entre otros para ajustar la recta de
Paris, una ecuación que sirve para estudiar elementos sometidos a fatiga en
función del número de ciclos a los que se somete un material
Electricidad
En electricidad se puede obtener el valor de una resistencia en un circuito y su
error mediante un ajuste de regresión lineal de pares de datos experimentales de
voltaje e intensidad obtenidos mediante un voltímetro y un amperímetro.
Física
Determinación del coeficiente de rozamiento estático de forma experimental a
partir de la medición del ángulo de inclinación de una rampa. Se realiza un
montaje ajustando un circuito para medir el ángulo de inclinación, y se realizan
mediciones variando dicho. Mediante la regresión lineal de los datos obtenidos, se
obtiene la ecuación y el índice de correlación a fin de saber el error.
