Métodos numéricos – Ejercicios – Ingeniería , Ejercicios de Ingeniería

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METODOS NUMERICOS PARA

INGENIERIA

ING. RICARDO SEMINARIO VASQUEZ

INDICE DE MATERIAS

• INTRODUCCION AL ANALISIS NUMERICO
• ¿Qué es un método numérico?
• ERRORES DE CÁLCULO
• TIPOS DE ERRORES..........................................................................................................
• ALGORITMOS BASICOS
• Ejercicios propuestos...........................................................................................................
• INTERPOLACIÓN LINEAL...............................................................................................
  • NEWTON..................................................................................................................... INTERPOLACIÓN CON ESPACIOS EQUIDISTANTES O INTERPOLACION DE
  • LAGRANGE INTERPOLACION CON ESPACIOS NO EQUIDISTANTES O INTERPOLACION DE
• APROXIMACIÓN LINEAL..............................................................................................
• Diagrama de flujo.............................................................................................................
• CALCULO DE DERIVADAS...........................................................................................
• Calculo de la primera derivada...........................................................................................
• Formula de derivación de dos puntos:
• SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES
• MÉTODO DE BISECCIÓN..............................................................................................
• MÉTODO DE PUNTO FIJO
• MÉTODO DE NEWTON RAPHSON..............................................................................
  • DE REDUCCION DE GAUSS-JORDAN SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE EL METODO
• A) SISTEMAS CON SOLUCION UNICA
• B) SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONES..................................................
• C) SISTEMAS SIN SOLUCION.....................................................................................
• D) SISTEMAS HOMOGENEOS
• METODOS DE INTEGRACION
• MÉTODO DEL TRAPECIO O REGLA DEL TRAPECIO
• REGLA DE SIMPSON
• REGLA DE SIMPSON 1/3
• REGLA DE SIMPSON 3/8
• ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
• MÉTODO DE EULER.......................................................................................................
• MÉTODO DE RUNGE – KUTTA
• BIBLIOGRAFIA Y WEBGRAFIA

¿Qué es un método numérico?

Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo.

ERRORES DE CÁLCULO

• Notación científica (punto flotante) o Ejemplo : ƒ 2 * 10^2 = 200 ƒ 5769 = 5.769 * 10^3 ƒ 176936 = 1.77 * 10^5 ƒ 0.00536 = 5.36 * 10 - ƒ 0.0000798 = 7.98 * 10 - Ejercicios

Realizar las siguientes operaciones:

a) 0.5971 * 10 3 + 0.4268 * 10-

solución

E = | a*- a |

0.51*10 2 - 0.50 * 10^2 = 0.01 * 10^2 = 1.

Er = E/ a*

(0.01 * 10 2 )/0.50 *10^2 = 0.02 * 100 = 2%

ALGORITMOS BASICOS

Ejemplo programado en lenguaje C++

Programa cálculo del promedio //programa para calcular el promedio de "m" números ingresados #include<conio.h> #include<iostream.h> #include<math.h> void main() { int x,sum,m,cont; int prom; cont=0; cout<<"ingrese el total de números a sumar :"; cin>>m; do { cont+=1; cout<<"ingrese el numero a sumar :"; cin>>x;

sum+=x; } while (cont<m); cout<<"la suma es :"; cout<< sum; prom=sum/m; cout<<"\a el promedio es : "; cout<<prom; getch(); }

Ejercicios propuestos

• Calcular la suma de los “N” números ingresados por teclado
• Calcular la suma de los “N” primeros números
• Calcular el factorial de un numero

o k- écimas diferencias Δ k^ Yi = Δ kk-1^ Yi+1 - Δ k-1^ Yi i=0,1,2,3...n (4) k=0,1,2,3...n

donde :

Δ es el operador de diferencias progresivas

Para i=0 en la ecuación (1)

ΔY 0 = Y 1 – Y 0 Y 1 = Y 0 + ΔY 0

Para i=1 en la ecuación (1)

ΔY 1 = Y 2 – Y 1 Y 2 = Y 1 + ΔY 1

Para i=0 en la ecuación (2)

Δ 2 Y 0 = Δ Y 1 – Δ Y 0 Δ Y 1 = Δ 2 Y 0 + ΔY 0 (7)

Sustituyendo las ecuaciones (7) y (5) en (6)

Y 2 = Y 1 + ΔY 1

Y 2 = (Y 0 + ΔY0) + (Δ 2 Y 0 + ΔY 0 )

Y 2 = Y 0 + 2ΔY 0 + Δ 2 Y 0 (8)

De las ecuaciones (5) y (8)

Y 1 = Y 0 + ΔY 0 sacando factor comun Y 0 tenemos : Y 1 = (1 + Δ) 1 Y 0 Y 2 = Y 0 + 2ΔY 0 + Δ 2Y 0 sacando factor comun Y 0 tenemos : Y 2 = (1 + Δ) 2 Y 0

Entonces para Y 3

Y 3 = (1 + Δ)^3 Y 0 (9)

Generalizando, tendremos :

Yk =(1 + Δ)kY 0 (10)

El Segundo miembro de la ecuación (10) corresponde al Binomio de Newton Elevado al exponente “k”, el cual puede desarrollarse del siguiente modo:

Yk = Y 0 + (^) ⎟⎟ ⎠

k (^) ΔY 0 + ⎟⎟⎠

k (^) Δ 2 Y 0 + ..... + ⎟⎟⎠

k

k (^) Δ k (^) Y 0 (11)

Para : K= 1,2,3, ...n

Yk = Y 0 + (^) ⎟⎟ ⎠

k (^) ΔY 0 + ⎟⎟⎠

k (^) Δ 2 Y 0 + .... ⎟⎟⎠

j

k (^) Δ kY 0 + ⎟⎟⎠

j + 1

k (^) 0

Para : K= 1,2,3, ...n

Si se toma un valor “j” cualquiera menor que “k” y si las j-esimas diferencias son constantes, entonces todas las diferencias de orden superior a “j” serán cero, por lo que la ecuación (11) queda :

Yk = b 0 + b 1 x + b 2 x^2 + ..... .+ bj xj

Se llama Polinomio de Newton con espaciamiento constante

Ejercicio 01

En base a la función tabular que se muestra, preparar la tabla de diferencias:

X Y 0 - 1 1 2 9 3 25 4 55 5 105

Solución

las primeras diferencias son :

Δ^1 Y 0 = Y 1 -Y 0 = 1-(-5) = 6 Δ^1 Y 1 = Y 2 -Y 1 = 9 - 1 = 8 Δ^1 Y 2 = Y 3 -Y 2 = 25- 9 = Δ^1 Y 3 = Y 4 -Y 3 = 55-25 = Δ^1 Y 4 = Y 5 -Y 4 = 105-55 =

las segundas diferencias son :

Δ^2 Y 0 = ΔY 1 - ΔY 0 = 8 - 6 = 2 Δ^2 Y 1 = ΔY 2 - ΔY 1 = 16 - 8 = 8

Δ^2 Y 2 = Δ Y 3 - Δ Y 2 = 30 - 16 =

Δ^2 Y 3 = Δ Y 4 - Δ Y 3 = 50 -30 =

las terceras diferencias son :

Δ^3 Y 0 = Δ 2 Y 1 - Δ 2 Y 0 = 8 - 2 = 6 Δ^3 Y 1 = Δ 2 Y 2 - Δ 2 Y 1 = 14 - 8 = 6 Δ^3 Y 2 = Δ 2 Y 3 - Δ 2 Y 2 = 20 - 14 = 6

Queda entonces la tabla de resultados:

X Y Δ^1 Y Δ^2 Y Δ^3 Y 0 - 1 1 6 2 9 8 2 3 25 16 8 6 4 55 30 14 6 5 105 50 20 6

Por ser Δ^3 Y constante, corresponde a un polinomio de tercer grado y es un polinomio exacto

En la ecuación (12)

Yk = Y 0 + (^) ⎟⎟ ⎠

k (^) Δ 1 Y 0 +^ ⎜⎜⎝⎛ 2 ⎟⎟⎠⎞

k (^) Δ 2 Y 0 +^ ....^ ⎜⎜⎝⎛ j ⎟⎟⎠⎞

k (^) Δ k (^) Y 0 +^ ⎜⎜⎝⎛ j + 1 ⎟⎟⎠⎞

k (^) 0

Si hacemos J=1, entonces tendremos el polinomio de primer grado que se aproxima a f(x)

Yk = Y 0 + (^) ⎟⎟ ⎠

k (^) ΔY 0

Reemplazando en la ecuación general :

Yk = Y 0 + (^) ⎟⎟ ⎠

k (^) Δ 1 Y 0 + ⎟⎟⎠

k (^) Δ 2 Y 0 + .... ⎟⎟⎠

j

k (^) Δ k (^) Y 0 + ⎟⎟⎠

j + 1

k (^) 0

Yk = Y 0 + (^) ⎟⎟ ⎠

x (^1) Δ 1 Y 0 + ⎟⎟⎠

x (^1) Δ 2 Y 0 + ⎟⎟⎠

x (^1) Δ 3 Y 0

Reemplazando en la ecuación anterior:

Δ^1 Y 0 =8, Δ^2 Y 0 =8, Δ^3 Y 0 =

Yk = Y 0 + (^) ⎟⎟ ⎠

x (^1) 8 + ⎟⎟⎠

x (^1) 8 + ⎟⎟⎠

x (^16)

Conociendo por formula de permutaciones:

x (^1) = 1

( x − 1 )

x (^1) = 2

( x − 1 )( x − 2 )

x (^1) = 6

( x − 1 )( x − 2 )( x − 3 )

Yk = 1 + (^ x^ 1 −^1 )8 + (^ x^ −^1 )( 2 x −^2 )8 + (^ x^ −^1 )( x − 62 )( x −^3 )*

Y = 1+(x-1)8 + (x-1)(x-2)4 + (x-1)(x-2)(x-3)*

Simplificando queda :

Y = X^3 – 2X^2 + 7 X - 5 SOLUCION PEDIDA

a 0 = (^) ( )( )( )...( ) 0 1 0 2 0 3 0

0 x x x x x x x x n

y − − − −

a 1 = (^) ( )( )( )...( ) 1 0 1 2 1 3 1

1 x x x x x x x x n

y − − − −

……..

an = (^) ( )( )( )...( ) n −^0 n − 1 n − 2 n − n − 1

n x x x x x x x x

y

Sustituyendo en la ecuación de Lagrange

Y = (( )()( )()( ).....()...( ))

0 1 0 2 0 3 0

1 2 3 n

n x x x x x x x x

x x x x x x x x − − − −

− − − − y

1 0 1 2 1 3 1

0 2 3 ( )( )( )...( )

( )( )( ).....( ) y x x x x x x x x

x x x x x x x x n

n − − − −

2 0 2 1 2 3 2

0 1 3 ( )( )( )...( )

( )( )( ).....( ) y x x x x x x x x

x x x x x x x x n

n − − − −

( 00 )(^11 )(^22 )...(^11 )^1

( )( )( ).....( ) y x x x x x x x x

x x x x x x x x n n n n n

n −

− − − − −

o simplemente :

i jj^ i i j

j (^) y x x

x x ∑∏ ≠=^ −

0

Ejercicio 01

• dada la siguiente función tabular, encontrar el valor de la función para x=

X Y 0 5 1 7 2 9 5 15

Solución

Reemplazando en la ecuación (2) :

Y = (( )()( )()( ))

0 1 0 2 0 3

1 2 3 x x x x x x

x x x x x x − − −

− − − y0 + ( 1 00 )( 1 22 )( 1 33 )^1

( )( )( ) y x x x x x x

x x x x x x − − −

2 0 2 1 2 3

0 1 3 ( )( )( )

( )( )( ) y x x x x x x

x x x x x x − − −

( 3 00 )( 3 11 )( 3 22 )^3

( )( )( ) y x x x x x x

x x x x x x − − −

haciendo x=

Y = (^) (( 03 −− 1 1 )()( 03 −−^22 )()(^30 − −^55 ))5 + ((^31 −− 00 )()( 13 −− 22 )()( 13 −− 55 )) 7

• (^) (( 23 −−^00 )()( 23 −−^11 )()(^32 − −^55 ))* 9 + (^) (( 53 −− 00 )()( 53 −− 11 )()( 53 −− 22 )) 15

Y= 11 solución buscada