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Eliminación de Gauss Considérese un sistema general de res ecuaciones lincales con tres incógnitas. Ak, + 0, X, +4, =), AX + 0, X, + 4,x, =D, (3.38) 4%, +4,% +4,x, =D, Como primer paso, se remplaza la segunda ecuación con lo que resulte de sumarle la primera ecuación multiplicada por (-a, /a, ,). De manera similar, se sustituye la tercera ecuación con el resultado de sumarle la primera ecuación multiplicada por (-a, Ja, ,). Esto da lugar al nuevo sistema 4, +4,X, +4,%, =D, 4. br, (3.39) MD, en donde las a' y las b' son los nuevos elementos que se obtienen de las operaciones ya mencionadas, y en donde x, se ha eliminado en la segunda y tercera ecuaciones. Ahora, multiplicando la segunda ecuación de 3.39 por (-a”, /a',,) y sumando el resultado a la tercera ecuación de 3.39, se obtiene el sistema triangular 84, X, +4,X, +0,%, =D, 4. P, (3.40) 0 DP, donde a”, , y b”, resultaron de las operaciones realizadas y x, se ha eliminado de la tercera ecuación. El proceso de llevar el sistema de ecuaciones 3.38 a la forma de la ecuación 3.40 se conoce como triangularización. El sistema en la forma de la ecuación 3.40 se resuelve despejando de su última ecuación x,, sus- tituyendo x, en la segunda ecuación y despejando x, de ella. Por último, con x, y x, sustituidas en la primera ecuación de 3.40 se obtiene x,. Esta parte del proceso se llama sustitución regresiva. Antes de ilustrar la eliminación de Gauss con un ejemplo particular, nótese que no es necesario conservar x,, x, y x, en la triangularización y que ésta puede llevarse a cabo usando solamente la ma- triz coeficiente A y el vector b. Para mayor simplicidad se empleará la matriz aumentada B.