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LAGRANGE Y MAS Y MUCHO MAS MAS
Tipo: Resúmenes
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¡No te pierdas las partes importantes!
Aquí el objetivo es encontrar: f(x)= o sea: 👉 el valor de x donde la función cruza el eje X. ¿QUÉ ES UNA RAÍZ? Ejemplo: f(x)=x²- Queremos: x²-4= Entonces: x²= x=2 ó x=- 👉 2 y -2 son raíces. Porque hacen que: f(x)= MÉTODOS QUE VEREMOS
1. Bisección Método: seguro fácil más lento 2. Newton-Raphson Método: rapidísimo elegante puede fallar si eliges mal
Es un método que: divide intervalos busca dónde cambia el signo se acerca poco a poco a la raíz IDEA PRINCIPAL Si: f(a)·f(b)< entonces: 👉 existe una raíz entre a y b. Porque hubo cambio de signo. EJEMPLO f(x)=x²- Evaluamos En x= f(1)=1²-4=- En x= f(3)=3²-4= Observamos (-3)(5)< 👉 hay raíz entre 1 y 3. FÓRMULA DE BISECCIÓN El punto medio: xr=(a+b)/
Repetir. EJEMPLO COMPLETO — BISECCIÓN Resolver: f(x)=x³-x- BUSCAMOS INTERVALO x= f(1)=1-1-2=- x= f(2)=8-2-2= Hay cambio de signo (-2)(4)< 👉 sí hay raíz. ITERACIÓN 1 xr=(1+2)/2=1. Evaluamos f(1.5)=1.5³-1.5- =3.375-1.5- =-0. Revisamos signos f(1)=- f(1.5)=-0. NO cambia signo. Entonces probamos:
f(1.5)f(2) (-0.125)(4)< 👉 raíz entre: [1.5,2] ITERACIÓN 2 Nuevo intervalo: [1.5,2] Punto medio xr=(1.5+2)/2=1. Evaluamos f(1.75)=1.75³-1.75- =5.359-1.75- =1. Cambio de signo f(1.5)=-0. f(1.75)=1. 👉 raíz entre: [1.5,1.75] Y ASÍ SIGUES Cada vez el intervalo se hace más pequeño 😄 OBJETIVO DE BISECCIÓN Encerrar la raíz y aproximarla. VENTAJAS fácil estable
Elegir: x₀ PASO 2 Calcular: f(x₀) y: f'(x₀) PASO 3 Aplicar fórmula: x₁=x₀-f(x₀)/f'(x₀) PASO 4 Repetir. EJEMPLO COMPLETO — NEWTON-RAPHSON Resolver: f(x)=x²- Sabemos que la raíz es: √2 ≈ 1. DERIVADA f'(x)=2x ELEGIMOS x₀= ITERACIÓN 1 Evaluamos f(1)=1²-2=-
f'(1)= Fórmula x₁=1-(-1/2) x₁=1+0. x₁=1. ITERACIÓN 2 Evaluamos f(1.5)=1.5²- =2.25- =0. f'(1.5)= Fórmula x₂=1.5-(0.25/3) x₂=1. 😳 ya casi. ITERACIÓN 3 f(1.4167)≈0. f'(1.4167)=2. Fórmula x₃=1.4167-(0.0069/2.8334) x₃≈1. 😎👉 RESULTADO √2≈1.
Bisección divide intervalos necesita cambio de signo seguro pero lento Newton-Raphson usa derivadas usa tangentes muy rápido pero sensible al punto inicial 😄 MÉTODOS CERRADOS Y ABIERTOS Los métodos para raíces se clasifican en:
Ejemplo f(1)=- f(2)= Como: (-2)(4)< la raíz está encerrada entre: [1,2] ¿Qué hace bisección? Va cortando el intervalo: [1,2] después: [1.5,2] después: [1.5,1.75] y así 😄 Por eso es “cerrado” Porque SIEMPRE mantiene un intervalo que contiene la raíz. VENTAJA muy seguro casi siempre converge DESVENTAJA más lento
2. MÉTODOS ABIERTOS Ejemplo: Newton-Raphson ¿Por qué se llaman abiertos?
Más seguro Más lento MÉTODO ABIERTO Usa punto inicial No encierra raíz Más rápido Más sensible Entonces Bisección Es un método cerrado. Porque la raíz queda encerrada en un intervalo. Newton-Raphson Es un método abierto. Porque trabaja con aproximaciones libres. FRASE PERFECTA PARA MEMORIZAR Los métodos cerrados trabajan en un intervalo donde existe cambio de signo. Los métodos abiertos no necesitan encerrar la raíz y usan aproximaciones iniciales. INTERPOLACIÓN DE NEWTON Y LAGRANGE Ahora vamos con Interpolación de Newton y Lagrange, que son temas IMPORTANTÍSIMOS en métodos numéricos. Aquí aprenderás: qué son para qué sirven fórmulas diferencias cómo se aplican
ejercicios resueltos paso a paso
1. ¿QUÉ ES INTERPOLACIÓN? La interpolación sirve para: estimar valores intermedios usando puntos conocidos. IDEA SIMPLE Si tienes datos: x y 1 2 2 5 3
y quieres saber cuánto vale en: x = 2. la interpolación crea una función que pase por esos puntos. 😄👉 OBJETIVO Construir un polinomio que pase exactamente por los puntos dados. MÉTODOS MÁS IMPORTANTES
Tercero L2(x)= ((x-x0)(x-x1))/((x2-x0)(x2-x1)) ¿PARA QUÉ SIRVEN? Cada Li: vale 1 en su punto vale 0 en los demás 😄👉 EJEMPLO RESUELTO — LAGRANGE Puntos: x y 1 1 2 4 3 9 Interpolar. IDENTIFICAMOS x0=1, y0= x1=2, y1= x2=3, y2= CALCULAMOS L0(x) L0(x)= ((x-2)(x-3))/((1-2)(1-3)) Denominador (1-2)(1-3)=(-1)(-2)= Entonces L0(x)= ((x-2)(x-3))/ L1(x)
L1(x)= ((x-1)(x-3))/((2-1)(2-3)) Denominador (1)(-1)=- Entonces L1(x)= -(x-1)(x-3) L2(x) L2(x)= ((x-1)(x-2))/((3-1)(3-2)) Denominador (2)(1)= Entonces L2(x)= ((x-1)(x-2))/ ARMAMOS EL POLINOMIO P(x)= 1L0(x)+ 4L1(x)+ 9L2(x) Sustituimos P(x)= 1((x-2)(x-3))/ +4(-(x-1)(x-3)) +9((x-1)(x-2))/ SIMPLIFICANDO Al final queda: P(x)=x² 😄👉 Porque los puntos pertenecían a: y=x²
(f[x1,x2]-f[x0,x1])/(x2-x0) EJEMPLO RESUELTO — NEWTON Usaremos: x y 1 1 2 4 3 9 TABLA DE DIFERENCIAS Primera columna f[x0]= f[x1]= f[x2]= Primeras diferencias Entre 1 y 2 f[x0,x1] = (4-1)/(2-1) = Entre 2 y 3 f[x1,x2] = (9-4)/(3-2) =
Segunda diferencia f[x0,x1,x2] = (5-3)/(3-1) =2/ = ARMAMOS EL POLINOMIO P(x)= 1 +3(x-1) +1(x-1)(x-2) EXPANDIMOS P(x)=1+3x-3+(x-1)(x-2) Multiplicamos (x-1)(x-2)=x²-3x+ Sustituimos P(x)=1+3x-3+x²-3x+ Resultado P(x)=x² 😄👉 DIFERENCIA MÁS IMPORTANTE Lagrange Construye todo directamente. Newton Construye por partes usando diferencias divididas.
