¡Descarga Soluciones: Minimización de costes y curvas de costes - Prof. 1906 y más Apuntes en PDF de Microeconomía solo en Docsity!
Solucions: Minimització del cost i Corbes de costos
- Considera una empresa amb la següent funció de producció f (x 1 , x 2 ) = (x 1 ) (^14) (x 2 ) (^12) . Els preus dels factors són w 1 , w 2 > 0.
(a) Dibuixa algunes isoquantes. (b) Com són els rendiments a escala de la funció de producció? Els exponents sumen menys que 1 i els rendiments són decreixents. (c) Especi ca el problema de maximització de bene cis de l'empresa. M axx 1 ,x 2 p(x 1 ) (^14) (x 2 ) (^12) − w 1 x 1 − w 2 x 2 (d) Quin és el producte marginal de x 1 i de x 2? P M 1 = 14 (x 1 )−^ (^34) (x 2 ) (^12)
P M 2 = 12 (x 1 ) (^14) (x 2 )−^ (^12)
(e) Quina és la relació tècnica de substitució? RT S = − P M P M^12 = − 2 xx^12 (f) Determina la funció de demanda dels dos factors. Les condicions de primer ordre són: p 14 (x 1 )−^ (^34) (x 2 ) (^12) = w 1 p 12 (x 1 ) (^14) (x 2 )−^ (^12) = w 2 Resolent tenim: x 1 (w 1 , w 2 , p) = p
4 64 w 12 w 22 x 2 (w 1 , w 2 , p) = p
4 32 w 1 w 23 y(w 1 , w 2 , p) = p
3 16 w 1 w 22 (g) Especi ca el problema de minimització de costos per l'empresa donat que vol produir un nivell d'output y. M inx 1 ,x 2 w 1 x 1 + w 2 x 2 t.q y = (x 1 )
(^14) (x 2 )
(^12)
(h) Determina les funcions de demanda condicionals dels dos factors (condicionada pel nivell de producció y). Aïllant x 2 tenim: x 2 = y
2 x 112 Substituint: M inx 1 w 1 x 1 + w 2 y
2 x 112 La condició és: w 1 − w 2 12 y
2 x 132
Resolent: x 1 (w 1 , w 2 , y) = ( 2 ww^21 ) (^23) y (^43)
x 2 (w 1 , w 2 , y) = ( (^2) ww 21 ) (^13) y (^43)
(i) Deriva la funció de cost total, mig i marginal. La funció de cost total és: c(w 1 , w 2 , y) = w 1 x 1 + w 2 x 2 = (( 12 )^2 /^3 + 2^1 /^3 )w 1
(^13) w 2
(^23) y
(^43)
Anomenarem K = (( 12 )^2 /^3 + 2^1 /^3 )w 1 (^13) w 2 (^23)
amb l'objectiu de simpli car els càlculs. La funció de cost total sera: c(w 1 , w 2 , y) = Ky (^43)
Cost mig: CM e (y) = C( yy )= Ky
1 3 Cost marginal: CM g (y) = ∂c ∂y(y )= 43 Ky
(^13)
- Considera la següent funció de costos c(y) = y^2 + 2y + 1.
(a) Determina la funció de cost variable, x, mig i marginal. Dibuixa les corresponents corbes. Cost variable: CV (y) = y^2 + 2y Cost x: CF (y) = 1 Cost mig: CM ig (y) = y
(^2) +2y+ y Cost marginal: CM g (y) = ∂c ∂y(y )= 2y + 2 (b) Determina la funció d'oferta de l'empresa, si tant el mercat del pro- ducte com el dels factors són perfectament competitius. L'oferta a curt termini es determina pel creuament del cost variable mig i el cost marginal (l'empresa cobreix costos xos): CV M e (y) = CM g (y) y + 2 = 2y + 2 y = 0 L'oferta serà: y = 0 si p < 2 y = p 2 − 1 si p > 2 (c) Si el preu del producte és p = 8, determina la quantitat oferta, els bene cis i l'excedent del productor. La quantitat ofertada és: y = 82 − 1 = 3 El bene ci és: Π = py − c(y) = py − y^2 − 2 y − 1 = 8 L'excedent del productor és l'area entre preu i cost marginal: EP = 6 ∗ 23 = 9
- Una empresa té aquesta funció de producció y = f (x 1 , x 2 ) = x 1 (^13) x 2 (^13) .
CF M ig (y) = (^1000) y CM g (y) = 3 y
2 10 (d) Troba la corba d'oferta (a llarg termini) per aquesta empresa i dibuixa- la al grà c de la part b) Les funcions de cost mig i cost marginal és tallen en y = 0, així que la corba d'oferta a llarg termini coincideix amb la corba de cost marginal: p = 30y
(^12)
y = p
2 900 (e) Troba la corba d'oferta a curt termini i dibuixa-la al grà c de la part c). El cost variable mig i el cost marginal es creuen en y = 0, així que la corba d'oferta a curt termini coincideix amb la corba de cost marginal: p = 3 y
2 10 y =
10 p 3 (f) Com canvien els resultats de les parts b) i c) si la funció de producció és en realitat y = f (x 1 , x 2 ) = x 1 (^23) x 2 (^23) ? LLARG TERMINI: x∗ 1 = x∗ 2 però x∗ 1 = x 1 (y) = y (^34) i x∗ 2 = x 2 (y) = y (^34)
. Aleshores: c(y) = 20y (^34)
CM g(y) = 15y−^ (^14) y CM e(y) = 20y−^ (^14)
Fixeu-vos que les dues corbes són decreixents. CURT TERMINI: c(y) = y^
(^32) 10 + 1000 CM g(y) = 3 y^
(^12) 20 CM e(y) = y^
(^12) 10 +^
1000 y CV M e(y) = y^
(^12) 10 y^ CF M e(y) =^
1000 y. (g) Com canvien tots els teus resultats de la a) a la e) si la funció de producció és y = f (x 1 , x 2 ) = Min{ 2 x 1 , 5 x 2 } (^23) ? La forma general d'aquesta funció és: y = f (x 1 , x 2 ) = Min{ax 1 , bx 2 }c (en aquest problema a = 2, b = 5, c = 23 ) Podem trobar les demandes condicionades de factors observant que y (^32) =Min{ 2 x 1 , 5 x 2 } Aleshores, en l'optim del problema de minització s'ha de complir 2 x 1 = 5x 2 = y (^32)
La solució en aquest cas és : x 1 (y) = 12 y (^32) , x 2 (y) = 15 y (^32)
(per la forma general, podeu trobar que la solució és x 1 (y) = (^) a^1 y (^1) c , x 2 (y) = (^1) b y (^1) c )
Obtenim: c(y) = 10 12 y
(^32)
(^32) = 7y
(^32)
CM g(y) = 212 y (^12)
CM ig(y) = 7y
1 2 L'oferta a llarg termini és: p(y) = 212 y (^12) (= CM g(y) que és creixent i es troba per sobre del CM e(y)) CURT TERMINI: x 2 = 100. El màxim que es pot produir a curt termini és y¯ = (100b) (^23) ; aleshores obtenim el límit de y ≤ (100b) (^23) . De Min{ 2 x 1 , 5 x 2 } = y
(^32) i x 2 x obtenim x 1 (y) = y^
(^32) 2 i la funció de costos a curt termini és c(y) = 5y (^32)
(^12) 2 CM ig(y) = 5y (^12)
- (^1000) y CV M ig(y) = 5y (^12) i CF M ig (y) = (^1000) y
La corba d'oferta a curt termini és: p(y) = 15 y^
(^12) 2 (=^ CM^ (y)^ que es creixent i es troba per damunt de CV M e(y)) (h) Com canvien tots els teus resultats de la a) a la e) si la funció de producció és y = f (x 1 , x 2 ) =x 1 + 2x 2? LLARG TERMINI: Com les preus dels factors són iguals i el factor 2 produeix dues vegades més que el factor 1, s'utilitzarà només el segon factor: y = 2x 2 x 2 = y 2 c(y) = 5y CM g(y) = CM e(y) = 5 L'oferta a llarg temini és: y = 0 si p < 5 y =∞ si p > 5 CURT TERMINI: Com x 2 = 100, la quantitat que es pot produir no pot superar y = 200
- Suposa que l'empresa A té una funció de costos a curt termini amb la forma c(y) = a(y) + y^2 , on a(y) = 10 si y > 0 i a(0) = 0 (els costos a(y) corresponen al que anomenem costos quasi xes).
(a) Troba la corba d'oferta a curt termini de l'empresa A i dibuixa-la. CM g(y) = 2y
yA(p) =
0 sip < 2
p 2 sip^ ≥^2
l'oferta ve donada per p = CM g i
py − c(y) > 0 (l'empresa cobreix costos xos)
(c) Corba de Cost Mig Variable CV M ig(y) = 3y és una recta (d) Corba de Cost Fix Mig CF M ig(y) = (^4) y
- Si c(y) = y^3 − 7 y^2 + 17y + 66 és la funció de costos d'una empresa com- petitiva. Troba la corba d'oferta a curt termini i comprova que per cada preu aquella quantitat maximitza els bene cis (és més fàcil si dibuixes el grà c). CM g(y) = 3y^2 − 14 y + 17 CV M ig(y) = y^2 − 7 y + 17 Per trobar el punt de tall resolem: CM g(y) = CV M ig(y) 3 y^2 − 14 y + 17 = y^2 − 7 y + 17 y = 7 Aleshores: si p < 7 l'oferta és y = 0 si p > 7 l'oferta segueix la corba del cost marginal
