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Grado en Biolog´ıa Tema 2 Funciones de una variable
Secci´on 2.7: Modelos de evoluci´on.
Un modelo de evoluci´on trata de expresar el comportamiento de una variable con el paso del tiempo mediante una funci´on sencilla.
Modelo de evoluci´on lineal.
El modelo de evoluci´on m´as sencillo es el modelo lineal. En un modelo lineal cada unidad de tiempo que pasa, la variable respuesta var´ıa una cantidad fija d, que puede ser una cantidad positiva o negativa. Si escribimos y 0 para representar el valor de la variable y al comienzo del estudio, se tendr´ıa: t = 0 ⇒ y = y 0 t = 1 ⇒ y = y 1 = y 0 + d t = 2 ⇒ y = y 2 = y 1 + d = y 0 + 2d t = 2 ⇒ y = y 3 = y 2 + d = y 0 + 3d.
En general, depu´es de t periodos y = f (t) = yt = y 0 + td.
La gr´afica de esta funci´on es una recta de pediente d.
En algunos casos es necesario conocer el valor de la suma de los valores de la variable respuesta en los instantes t = 0, 1 , 2 , 3 ,... , n. Es decir, la suma S = y 0 + y 1 + · · · + yn− 1 + yn. Escribimos
S = y 0 + (y 0 + d) + · · · + (yn − d) + Yn
S = yn + (yn − d) + · · · + (y 0 + d) + Y 0.
Sumando ambos miembros de estas igualdades se tiene:
2 S = (y 0 + yn) + (y 0 + yn) + · · · + (y 0 + yn) + (y 0 + yn) = (n + 1)(y 0 + yn).
Por tanto S =
y 0 + yn 2
(n + 1).
Modelo de evoluci´on exponencial.
Un modelo de evoluci´on muy com´un en el crecimiento de poblaciones es el modelo exponencial. En este modelo por cada unidad de tiempo que pasa, la variable respuesta aumenta un porcentaje α% de su valor en el periodo inmediatamente anterior. Si α > 0 la poblaci´on crece y si α < 0 la poblaci´on decrece. Se tiene:
y(t) = y(t − 1) +
α 100
y(t − 1) = y(t − 1)(1 +
α 100
Llamando y 0 al valor inicial, se tiene
y(0) = y 0
y(1) = y 0 (1 +
α 100
y(2) = y 1 (1 +
α 100
) = y 0 (1 +
α 100
)^2.
En general, en el periodo t,
y(t) = f (t) = y 0 (1 +
α 100
)t.
Con r = 1 +
α 100
podemos escribir
y(t) = y 0 rt^ = y 0 eln^ r
t = y 0 et^ ln^ r.
La exponencial que aparece en esta f´ormula es la raz´on por la que este modelo de evoluci´on se llama exponencial.
La suma de los valores de una variable respuesta que se describe con un modelo exponencial es:
S = y 0 + y 0 r + y 0 r^2 + · · · + y 0 rn.
Para hacer esta suma multiplicamos ambos miembros de la igualdad por r para obtener:
Sr = y 0 r + y 0 r^2 + · · · + y 0 rn^ + y 0 rn+1.
Ahora se resta a esta igualdad la anterior para tener:
Sr − S = y 0 rn+1^ − y 0 ⇒ S = y 0
rn+1^ − 1 r − 1
Ejercicio 1: Una poblaci´on de 100 gatos monteses crece aproximadamente un 3% cada a˜no. (a) Escribe una f´ormula para calcular la poblaci´on aproximada de gatos monteses despu´es de n a˜nos. (b) ¿Cu´antos gatos monteses habr´a tras 25 a˜nos? (c) ¿Cu´antos a˜nos se necesitarian para tener al menos 1000 gatos monteses?
R./ (a) Despu´es de n a˜nos la poblaci´on de gatos monteses ser´a aproximadamente yn = 100(1, 03)n. (b) Hay que calcular y(25) = 100(1, 03)^25 ≈ 209 gatos monteses. (c) Hay que hallar el menor n para que y(n) ≥ 1000. Es decir se debe cumplir 1000 ≤ 100(1, 03)n. Se despeja n tomando logaritmos neperianos y se llega a la conclusi´on que se necesitan al menos 78 a˜nos.
Ejercicio 2: En el vertedero de basura de Valdeming´omez se ha observado que cada a˜no los camiones de la CAM depositan un 5% m´as de basura que el a˜no anterior. Como la basura no se retira, se va acumulando. a) Escribir una funci´on que exprese la cantidad de basura depositada cada a˜no por los camiones de la CAM en el vertedero. b) Encontrar una f´ormula que de la cantidad de basura acumulada en el vertedero al cabo de n a˜nos. c) Si inicialmente el vertedero estaba vac´ıo y al cabo de un a˜no conten´ıa 1000 toneladas de basura, calcular cuantos a˜nos han de pasar para que la basura acumulada supere las 90.000 toneladas.
R./ (a) Si B 0 es la cantidad inicial de basura, la cantidad de basura B(n) que se deposita el a˜no n se calcula con la f´ormula B(n) = B 0 (1, 5)n. (b) Hay que hacer la suma:
S = B 0 + B 1 (1, 05) + · · · + Bn(1, 05)n.
La masa forestal de un bosque disminuye un α% cada mes y se replantan A ´arboles mensu- almente.
Un cultivo de bacterias crece un α% cada hora y se inyecta un medicamento del que se sabe que cada dosis elimina A bacterias por hora.
Un pr´estamos de un capital de C euros al α% de inter´es anual se quiere devolver pagando una mensualidad fija de L euros. En este caso podemos estar interesados en saber cuantos a˜nos tardariamos en pagar el pr´estamo o cual ser´ıa la mensualidad para pagar el pr´estamo en un n´umero fijo de a˜nos.
Ejercicio 3 :(Explotacion forestal) Una masa forestal de un bosque dsiminuye de forma natural un 0, 5% cada mes. Por otro lado, se plantn 10 ´arboles cada mes. Se comienza con 1000 ´arboles. (a) Sin hacer c´alculos, ¿aumenta o disminuye la cantidad de ´arboles? (b) ¿Cu´antos ´arboles tendr´a el bosque tras 24 meses? (c) ¿Cu´antos a˜nos se necesitar´ıan para que el bosque tuviera 1500 ´arboles?
R./ (a) Aumenta, porque al principio solo mueren 5 al mes y se plantan 10. (b) Si y(n) es la cantidad de ´arboles tras n meses, con la f´ormula obtenida anteriormente podemos escribir:
y(n) = 1000(1 − 0 , 005)n^ + 10
(1 − 0 , 005)n^ − 1 − 0 , 005
Observa que en este caso α = − 0 , 5% y que A = −10 ya que se plantan 10 ´arboles. Entonces
y(24) = 1000(0, 995)^24 + 10
(0, 995)^24 − 1
≈ 1113 ´arboles.
(c) Para alcanzar 1500 ´arboles necesitamos calcular el menor n (en meses) tal que y(n) ≥ 1500. Es decir,
y(24) = 1000(0, 995)n^ + 10
(0, 995)n^ − 1 − 0 , 005
Se resuelve esta desigualdad tomando logaritmos neperianos cuidadosamente. Se tardaria 139 meses (es decir, 11 a˜nos y 7 meses) en llegar a tener 1500 ´arboles en el bosque.
Ejercicio 4: (Bacterias y antibi´oticos) Se sabe que un cultivo de bacterias crece un 6% cada hora y que inicialmente hay 2000 bacterias. (a) Escribe una f´ormula para calcular el n´umero de bacterias tras n horas. ¿Cu´ando se alcanzar´a una poblaci´on de 1 millon de bacterias? (b) Se inyecta cada hora en la colonia de bacterias un antibi´otico del que se sabe que cada dosis elimina 200 bacterias. Escribe una f´ormula para calcular el n´umero de bacterias tras n horas. ¿Desaparcecer´a la poblaci´on de bacterias? ¿En cuanto tiempo?
R./ (a) Si y(n) es el n´umero de bacterias tras n horas, la f´ormula es y(n) = 2000(1, 06)n. Ahora queremos hallar n para que y(n) ≥ 106. Tomando logaritmos se concluye que se necesitan 107 horas. (b) En este caso l´a f´ormula es:
y(n) = 2000(1, 06)n^ − 200
(1, 06)n^ − 1 0 , 06
La poblaci´on desaparecer´a con el tiempo porque al comienzo aumenta un 6% de 2000, que es 120, mientras que se eliminan 200 bacterias. Ahora hay que calcular el menor n que haga y(n) ≤ 0 , es decir:
2000(1, 06)n^ −
(1, 06)n^ +
Tomando logaritmos en la expresi´on anterior se llega a n ≥ 15 , 72. Es decir, en 16 horas desaparecer´an todas las bacterias.
Ejercicio 5: (Modelo hipotecario) Una persona recibe un pr´estamo de 120.000 euros con un tipo de inter´es anual del 4% que se computa mensualmente, y que debe devolver al banco en N a˜nos mediante pago de mensualidades de L euros. (a) Escribe una f´ormula que permita calcular la cantidad adeudada al banco tras n meses. (b) Si pudiera pagar una mensualidad de 500 euros al mes, ¿Cu´antos a˜nos necesitar´ıa estar pagando para amortizar el pr´estamo? (c) Halla el importe mensual L que deber´ıa pagar si quiere terminar de pagar el pr´estamo en 30 a˜nos.
R./ (a) El inter´es es 4% anual, pero como se computa mensualmente, se debe considerar el inter´es mensual, que es
α =
Si llamamos y(n) a la cantidad adeudada al banco tras n meses, la f´ormula es.
y(n) = 120.000(1, 003)n^ − L
(1, 003)n^ − 1 0 , 003
(b) Hay que hallar el menor n para que y(n) ≤ 0 , con L = 500. Es decir
y(n) = 120.000(1, 003)n^ − 500
(1, 003)n^ − 1 0 , 003
De aqui se obtiene n ≥ 483 , 64. Se necesitan, por tanto, 40 a˜nos y 4 meses para terminar de pagar el pr´estamo. (c) Si se quiere terminar de pagar el pr´estamo en 30 a˜nos, es decir 30 × 12 = 360 meses, hay que hallar L para que
120 .000(1 +
)^360 − L
(1 + 12004 )^360 − 1
4 1200
Se tiene
L =
4 1200 120 .000(1 +^
4 1200 )
360
(1 + 12004 )^360 − 1
Se debe pagar 572, 93 euros al mes para terminar en 30 a˜nos.
La ecuaci´on log´ıstica discreta.
En un modelo de evoluci´on exponencial, en el que la poblaci´on en el a˜no n + 1 aumenta un porcentaje α% cada a˜no, la poblaci´on crece indefinidamente. Este modelo puedes ser realista para periodos cortos de tiempo.
Cuando los individuos de una poblaci´on deben competir por los recursos disponibles para so- brevivir, si los recursos son limitados, cuando el n´umero de individuos es muy grande el crecimiento no podr´a ser proporcional al n´umero de individuos del a˜no anterior.
