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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO # 11: CINEMÁTICA -CONCEPTOS BÁSICOS-
Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
Temas Introducción Conceptos básicos para movimiento curvilíneo general Conceptos básicos para el caso de un movimiento rectilíneo
Introducción
La cinemática es la descripción matemática del movimiento y en ella no se estudian las causas que lo “producen” (las fuerzas).
Hay movimientos de diversos tipos, tales como: movimiento de cuerpos rígidos (por ejemplo, un trompo girando o una esfera rodando), vibraciones en los cuerpos deformables (por ejemplo, las ondas sonoras), movimiento de los fluidos (hidrodinámica). En esta sección del curso se tratará la cinemática más simple, la de la partícula, que es la base de todos los movimientos por complejos que sean.
Los conceptos básicos de la cinemática son: marco de referencia, sistema de coordenadas, posición, velocidad, aceleración.
Marco de referencia
Es un cuerpo rígido respecto al cual se puede determinar la posición o el cambio de posición de un objeto cuyo movimiento quiere estudiarse. Este no necesariamente debe ser inercial.
El movimiento es esencialmente relativo: un cuerpo puede estar en reposo respecto a un marco de referencia y moverse bien sea con velocidad constante o con aceleración respecto a otros marcos de referencia.
Un marco de referencia comprende también los relojes que permiten medir los intervalos de tiempo. El tiempo en la mecánica newtoniana es absoluto, pero en la mecánica einsteniana es relativo. En este curso los objetos tienen velocidades bajas comparadas con la velocidad de la luz, por lo que se aplicará la mecánica newtoniana.
Sistema de coordenadas
Es un conjunto de una o más variables, denominadas coordenadas, que permiten la ubicación de la partícula respecto a un marco de referencia. Tanto el marco de referencia como el sistema de coordenadas pueden ser elegidos entre varios, predominando en su elección que permitan la mayor simplicidad posible del análisis físico-matemático de la situación a estudiar: por ejemplo son base para su elección las simetrías.
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Por ejemplo, el vuelo de un mosca en una habitación puede describirse con un sistema de coordenadas cartesiano (x,y,z) fijando su origen en el piso de la habitación (el piso es el marco de referencia).
Trayectoria
Es la línea imaginaria que deja la partícula en su recorrido.
Los movimientos de una partícula se suelen clasificar con base en su trayectoria: movimiento rectilíneo, movimiento circular, movimiento parabólico, movimiento curvilíneo, etc.
Conceptos básicos para movimiento curvilíneo general
Posición
Dado un sistema de coordenadas la ubicación de la partícula queda definida por un vector posición, r ,
Figura 1.
Figura 1
r=x i+y j+z kˆ^ ˆ^ ˆ
En el SI se mide en m.
Desplazamiento
Es el cambio en la posición de la partícula, Figura 2. En esta Figura la partícula en un instante dado t se encontraba en la posición P y luego, transcurrido un intervalo de tiempo t, se encuentra en la posición P’ y por lo tanto el desplazamiento en ese intervalo de tiempo es,
Δr = r '-r
Δr = x' i+y' j+z' k - x i+y j+z kˆ^ ˆ^ ˆ^ ˆ^ ˆ^ ˆ
Δr = x'-x ˆi+ y'-y^ ˆj+ z'-z^ kˆ
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Es un magnitud vectorial y en el SI se mide en m.s-^1.
Rapidez media
A la longitud recorrida dividida por el intervalo de tiempo empleado en realizarla se le denomina rapidez
media,Vmedia
media
Δs
V =
Δt
Es una magnitud escalar y en el SI se mide en m.s-^1. En general,
Vmedia Vmedia
Ejemplo:
Suponer que un estudiante para ir desde su casa hasta la universidad recorre 2,0 km en dirección ESTE en 0,40 h (de A a B) y luego 1,0 km en dirección NORTE en 0,10 h (de B a C). Este recorrido se ilustra en la Figura 3.
Figura 3
El desplazamiento del estudiante sería el vector que va desde A hasta C. La magnitud de éste es:
2 2
AC= 2,0 km + 1,0 km 2,2 km
y su dirección es:
α=tan -1^1 =26o
Por tanto, su velocidad media Vmediaserá un vector cuya magnitud es:
media
2,2 km km
V = = 4,
0,40+0,10 h h
con una dirección igual a la del desplazamiento, es decir formando un ángulo de 26º con la horizontal (eje X).
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El valor de la rapidez será igual a la división entre la longitud recorrida y el tiempo empleado. Es decir,
media
2,0+1,0 km km
V = = 6,
0,40+0,10 h h
Como la rapidez es un escalar no se le puede calcular una dirección.
Ejemplo:
Suponer que el estudiante del ejemplo anterior cuando llega a la universidad regresa a su casa por el mismo camino invirtiendo los mismos tiempos. El desplazamiento neto sería nulo (regresa al punto de partida), pero la longitud recorrida es igual a 6,0 km (suma de todo el recorrido). Por tanto, su velocidad media es nula y su rapidez media continúa siendo igual a 6,0 km/h (longitud recorrida dividida por el tiempo total).
Velocidad instantánea (velocidad)
La velocidad Vdel punto móvil en el instante t se define como el límite de la velocidad media cuando el
intervalo de tiempo t tiende a cero, es decir, cuando el punto P’ se aproxima al punto P,
Δt 0 media Δt 0
Δr V= V = lim lim Δt
es decir,
dr
V=
dt
En el SI se mide en m.s-^1. A su magnitud V se le denomina rapidez , observar que como dr ds,
dr ds
V = =V
dt dt
En componentes rectangulares,
Δt 0 Δt 0 Δt 0 Δt 0
Δr Δx (^) ˆ Δy (^) ˆ Δz ˆ V= = i + j + k lim dt lim Δt lim Δt lim Δt
Es decir,
dx ˆ dy ˆ dz ˆ
V= i+ j+ k
dt dt dt
x y z
V=V ˆi+V j+V k^ ˆ^ ˆ
con,
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Figura 5
Ejemplo:
Una partícula que se mueve rectilíneamente ocupa la posición A en el instante t con velocidad Vi y en el
instante t+t ocupa la posición B con velocidad Vf tal como se ilustra en la Figura 6. El cambio de la
velocidad, ΔV, se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial:
ΔV=V -V =V + -V f i f (^) i
Esta operación está ilustrada en la misma figura. En ella se observa que como, ΔV, apunta hacia la
izquierda, la aceleración media, amedia, también se dirige así.
Figura 6
Ejemplo:
Una partícula sigue la trayectoria ilustrada en la Figura 7. En el instante t se encuentra en la posición A con
velocidad Vi y en el instante t+t ocupa la posición B con velocidad Vf, tal como se ilustra en la figura. Por
lo tanto, el cambio de la velocidad ΔVse dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial:
ΔV=V -V =V + -V f i f (^) i
Esta operación está ilustrada en la misma figura. En ella se observa que como ΔV apunta hacia la
concavidad, la aceleración media, amediarepresentada como a en la figura, también se dirige así.
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Figura 7
Ejemplo:
Una partícula se mueve con movimiento circular uniforme (M.C.U). En el instante t se encuentra en la
posición A con velocidad Viy en el instante t+t ocupa la posición B con velocidad Vf, tal como se ilustra
en la Figura 8. Por lo tanto, el cambio de la velocidad ΔVse dirigirá según el resultado de la siguiente
resta vectorial:
ΔV=V -V =V + -V f i f (^) i
El resultado de esta operación está ilustrado en la Figura 8. La aceleración apunta hacia donde apunta el
vector, ΔV.
Figura 8
Aceleración instantánea (aceleración)
La aceleración adel punto móvil en el instante t se define como el límite de la aceleración media cuando el
intervalo de tiempo t tiende a cero, es decir,
Δt 0 media Δt 0
a= a = ΔV lim lim Δt
es decir,
dV
a=
dt
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Componentes normal y tangencial de la aceleración
De la definición de aceleración se concluye que ésta es diferente de cero siempre que hayacambios en la velocidad. Como la velocidad es un vector, puede cambiar enmagnitud, endirección o en ambas. Si la
velocidadcambia en magnitud se dice que el cuerpo tieneaceleración tangencial ( at); sicambia en dirección
se dice que el cuerpo tieneaceleración centrípeta o normal ( ac). En el caso que cambie simultáneamente en
magnitud y en dirección, la aceleración resultante ( a) será la suma vectorial de la aceleración tangencial y
de la aceleración centrípeta, Figura 10, por lo que la magnitud de la aceleración resultante será igual a:
2 2
a = a +at c
Figura 10
Conceptos básicos para el caso de un movimiento rectilíneo
Observación:
Aunque la posición, la velocidad y la aceleración son magnitudes vectoriales, en el movimiento rectilíneo se puede simplificar su notación ya que la dirección de estos vectores es conocida, es decir, se escribirá:
x en lugar de x.
Vx en lugar de Vx.
ax en lugar de ax.
Posición
En el movimiento rectilíneo se puede escoger un solo eje coordenado para lograr ubicar la partícula. Esto lo se ilustra en la Figura 1.
Figura 1 1
El vector posición correspondiente a la ubicación A sería el ilustrado en la Figura 12
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Figura 12
Desplazamiento
Si la partícula en el instante t 1 ocupa la posición A y en el instante t 2 ocupa la posición B, cuando se mueve de A a B su desplazamiento x es el que se representa en la Figura 13.
Figura 13
en donde,
Δx = x -x 2 1
Velocidad media
La velocidad media se define así,
media
Δx
V =
Δt
donde t es el intervalo de tiempo,
Δt = t -t 2 1
La velocidad media es un vector que apunta en la dirección del vector desplazamiento, Figura 14.
Figura 14
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x x
dV
a =
dt
No sobra decir que en el S.I. la posición se mide en m, la velocidad en m.s-^1 y la aceleración en m.s-^2.
Ejemplo:
Una partícula se mueve rectilíneamente en dirección x de tal forma que su posición en función del tiempo está dada por la siguiente ecuación escrita en el sistema SI:
x = 1 t^3 - 5 t 2 + 6t + 2
(a) ¿cuál es su posición inicial? (b) ¿cuál es su posición en el instantes t =4, 0 s? (c) ¿cuál es su desplazamiento entre los instantes t =2, 0 s y t =3, 0 s? (d) ¿Cuál es la velocidad media entre los instantes t =2, 0 s y t =3, 0 s? (e) ¿Cuál es la velocidad instantánea en el instante t =4, 0 s? (f) ¿Cuál es la aceleración media entre los instantes t =4, 0 s y t =5, 0 s? (g) ¿Habrá algún instante donde la partícula se devuelva? (h) ¿Cuál es la longitud recorrida hasta el instante t = 4, 0 s?
Solución:
(a) Para calcular la posición inicial se debe evaluar x en el instante t = 0 s.
x 0 = 0 - 0 + 6 0 + 2= 2,0 m
Es decir, la partícula se mueve respecto a algún marco de referencia en el cual se ancló el eje coordenado de la Figura 17.
Figura 17
(b) Calcular la posición en t = 4,0 s.
x 4 = 4,0 - 4,0 + 6 4,0 + 2= 7,3 m
(c) Calcular las posiciones en los instantes t = 2,0 s y t = 3,0 s.
x 2 = 2,0 - 2,0 + 6 2,0 + 2= 6,7 m
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x 3 = 3,0 - 3,0 + 6 3,0 + 2= 6,5 m
por lo tanto el desplazamiento es (ver Figura 18),
Δx = x 3,0 - x 2,0 = 6,5 m - 6,7 m = - 0,2 m
Figura 18
(d) La velocidad media entre los instantes t =2, 0 s y t =3, 0 s es,
media
Δx - 0,2 m m
V = = = - 0,
Δt 3,0 s - 2,0 s s
(e) La velocidad (es decir, la velocidad instantánea) en t = 4, 0 s,
dx
V =
dt
V = t 2 - 5t + 6
2 m
V 4,0 = 4,0 - 5 4,0 + 6= 2,
s
(f) La velocidad en t =5.0 s,
2 m
V 5,0 = 5,0 - 5 5,0 + 6= 6,
s
Por lo tanto la aceleración media entre los instantes t = 4.0 s y t = 5.0 s será,
media (^2)
m
s m
a = = 4,
5,0 - 4,0 s s
(g) Si la partícula se va a devolver primero debe parar, es decir V=0. Por lo tanto, es necesario averiguar si hay algún instante en el cual se detiene.
V=
t 2 - 5t + 6 = 0
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Por tanto la longitud recorrida en los cuatro primeros segundos es,
s = s + s + s 1 2 3 = 4,7 m + 0,2 m + 0,8 m = 5,7 m
que es diferente a la magnitud del desplazamiento en ese mismo intervalo de tiempo, como lo podrá verificar el lector.
Taller
- Una partícula se mueve rectilíneamente de tal forma que su posición respecto al tiempo se expresa con
la siguiente ecuación en el SI:
x t = (^) 4t^3 - 48t 2 + 180t m
Encontrar la distancia total recorrida (longitud recorrida) en los primeros 10 s.
Rp. 1 032 m
- Una partícula se mueve rectilíneamente de tal forma que su posición respecto al tiempo se expresa con
la siguiente ecuación en el SI:
x t = 1 t^3 - 3t 2 + 8t + 2 m
Calcular: (a) el instante en que la velocidad es cero, (b) la posición y la distancia total recorrida (longitud recorrida) en el instante en el que la aceleración es cero.
Rp. (a) 2 s y 4 s (b) 8,00 m y 7,33 m
- La aceleración de una partícula respecto al tiempo se define en el SI por la siguiente ecuación,
a = - 2,
Si la V = + 8,0 m/s y x = 0 cuando t=0 s, calcular la velocidad, la posición y la distancia total recorrida (longitud recorrida) cuando t= 6 s.
Rp. – 4 ,0 m/s, 12 m y 20 m.
FIN.
