Módulo de cepu 2024 Matemática, Transcripciones de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

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( P no implica Q ) no es una tautología), lo que se

denota con.

3. IMPLICACIONES NOTABLES (IN)

MODUS PONENDO PONENS (MPP):

• MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT):

• MODUS TOLLENDO PONENS (MTP)

• SIMPLIFICACIÓN (S)

• SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)

4. EQUIVALENCIA (E)

(P es equivalente a Q) es una tautología), lo que se

denota con.

NO EQUIVALENCIA

(P no equivalente a Q) no es una tautología), lo que se

denota con.

1. EQUIVALENCIAS NOTABLES (EN).

• Doble Negación ( DN ):

p p p p

• Idempotencia( Idem.):

p pp p pp

• Conmutatividad ( Conm.):

p  q q p p  q q p

• Asociativa ( Asoc.) :

p  q  r  p  (qr)  (pq)  r

p  q  r  p  (qr)  (pq)  r

• Distributiva ( D ):

p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

• De Morgan ( DM ):

 (p q)  p  q

 (p q)  p  q

• Condicional ( Cond.):

p → q ( pq) (p q)(q→p)

• Bicondicional( B ):

p↔q (p→q)(q→p)(pq)(q p)

 (p q)  ( p  q)

• Absorción ( Ab ):

p (p  q)  p

p (  p  q)  p  q

p (p  q)  p

p (  p  q)  p  q

• Disyunción Exclusiva ( DE ):

 (pq) (pq)

 (pq)(pq)

• Complementación ( Comp.):

pp T pp C

T  C C  T

• Identidad ( I ):

p T  p p C C

p T T p C  p

1. LEYES LÓGICAS

Son las Implicaciones Notables y las Equivalencias Notables.

8. INFERENCIA

Definición: Es una estructura de proposiciones en donde a partir de una o más

proposiciones llamadas premisas se obtiene otra que es la conclusión, haciendo uso de las Implicaciones Notables y de las Equivalencias Notables.

Ejemplos

2. Todas las mujeres son mortales. Cecilia es mujer.

Por lo tanto, Cecilia es mortal. TRANSFORMACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES Transformar una proposición es convertirla en otra equivalente más sencilla,

de ser posible. Simplificar una proposición es transformarla en otra equivalente que posea el menor número de proposiciones simples y de conectivos proposicionales, haciendo uso de la EN.

9. CUANTIFICADORES:

Cuantificador Universal: Se denomina así a la expresión:

“Para todo … se verifica …”, y se simboliza por “ ”. Cuantificador Existencial: Se denomina así a la expresión:

“Existe al menos un … tal que se verifica … “, y se simboliza por "∃" Variante del Cuantificador Existencial

Se denomina así a la expresión: “Existe un único… tal que se verifica …” y se simboliza por ∃!

1. CUANTIFICACIONES:

A partir de las proposiciones abiertas se pueden obtener Proposiciones cerradas, por ejemplo, mediante el proceso de cuantificación , es decir, usando cuantificadores.

Cuantificación Universal en la variable x: Se denomina así a la expresión: “Para todo x se verifica p (x)”, y se le

simboliza por x : p (x).

Cuantificación Existencial en la variable x: Se denomina así a la expresión: “Existe al menos un x tal que se verifica p

(x)”, y se le simboliza por x / p (x).

1. CUANTIFICACIONES: A partir de las proposiciones abiertas se pueden obtener Proposiciones

cerradas, por ejemplo, mediante el proceso de cuantificación , es decir, usando cuantificadores. Cuantificación Universal en la variable x:

Se denomina así a la expresión: “Para todo x se verifica p (x)”, y se le

simboliza por x: p (x).

Cuantificación Existencial en la variable x: Se denomina así a la expresión: “Existe al menos un x tal que se verifica p

(x)”, y se le simboliza por x / p (x).

Variante de la Cuantificación Existencial en la variable x: Se denomina así a la expresión: “Existe un único x tal que se verifica p(x)” y

se le simboliza por

12. NEGACIÓN DE CUANTIFICACIONES:

Afirmación Negación

1. Todo(s)…es (son) … Algún (os)…no es (no son)

Ninguno…no es…

1. Ninguno … es … Algún (os)…es (son)… Todo(s)… no es (no son) …

2. Algún (os) …es (son) … Ninguno … es … Todo (s) … no es (no son) …

13. VALOR DE VERDAD DE LAS CUANTIFICACIONES A) Una cuantificación universal es V si y solo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a la proposición abierta que forma parte de ella.

B) Una cuantificación existencial es V si y solo si es V alguna de las proposiciones particulares asociadas a la proposición abierta que forma parte de ella.

CONJUNTOS. Es un término no definido. En matemática, un conjunto es una colección de entes u objetos bien definidos.

Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas o letras mayúsculas con subíndices. Los elementos del conjunto se escriben entre llaves y separados por puntos

y comas. Ejemplos. A = { - 12 ; - 3 ; 0 ; 4 ; 7 } y n(A) = 5 = número de elementos de A

B = {x ∈ ℝ / x^2 – 4 = 0} = { – 2 ; 2 } 1.1. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS: o Por extensión : Cuando es posible dar una lista explícita de todos

sus elementos.

( P→Q

( P  Q)

( p →q)p q

( p →q) ~ q ~ p

( p  q) ~ p q

( p  q) ~ q p

p qp

p qq

( p →q) ( q→r) ( p→ r)

( PQ

( P  Q)

( PQ

( P  Q)

p  q











! x / p ( ) x

  x :p(x)x / p(x)

  x / p(x)x: p(x)

Ejemplo.

1.2. CONJUNTOS ESPECIALES

• Conjunto Vacío: Es el que carece de elementos. Se simboliza

por { } o por ,

• Conjunto Unitario: Es el que consta de un solo elemento.
• Conjunto Finito: Es el que consta de n elementos diferentes y ℕ
• Conjunto Infinito: Es el que no es finito.
• Conjunto Universal (U): Es el conjunto formado por todos los

elementos de la teoría en discusión.

1.3. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados los conjuntos A, B y C, se tiene:

Inclusión

, se lee: A está incluido en B,

A está contenido en B; A es subconjunto de B.

Propiedades

No Inclusión ( ⊄)

Disjunto (disj)

A disj

SubConjuntoPropio (Sp)

Comparabilidad (Comp)

A comp B ↔ A ⊂ B ∨ B ⊂ A

No Comparabilidad (Comp)

A comp B

Igualdad (=)

A = B ↔ A⊂B ∧ B⊂A

P.1.

P.2.

P.3.

No Igualdad ( ≠ )

A ≠ B ↔ A ⊄B ∨ B ⊄ A

P.1.

1.4. DIAGRAMAS

• Diagramas de Venn

Son regiones planas limitadas por líneas geométricas cerradas de forma triangular, rectangular, circular, elíptica, etc. Ejemplo

O

A = B

• Diagramas lineales

Permiten visualizar algunas relaciones entre conjuntos enlazándolos mediante segmentos de recta (verticales u oblicuos. Ejemplo

B A ● B A

A = B

Diagrama de Diagrama de Veitch: Carrol Lewis:

1.5. OPERACIONES CON CONJUNTOS.

• POTENCIACIÓN:

, donde:

Equivalentemente X ∉ P(A) ⊄A

P.1.

P.2.

P.3.

P.4.

P.5.

REUNIÓN O UNIÓN:

donde:

x ∉ (A B) x ∉A (^) ∧ x∉B

INTERSECCIÓN:

, donde:

• DIFERENCIA:

• DIFERENCIA SIMÉTRICA:

COMPLEMENTACIÓN:

• COMPLEMENTACIÓN RELATIVA:

1.6. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS.

Propiedades : Identidad

1. A  =A 2. A U=U

3. A = 4. A U=A

Idempotencia

1. AUA =A .2.A A=A

Complementación

1.A A U

c

c A A

3. A^ A

c c  = 

Commutatividad

1. (^) A B=BA 2. A B=BA

A = 2 ; 4 ; 6 n(A)= 3

 n (^  )=^0

n

A  B  x : x  A → x B

( )

nA

n X  A = ( ) 2 1

( )     = −

nA nX A X 

A :  A

A : A A

A B C : A  B  B  C → A C

 A  B  B A

x: xAxB

A : A =A

A B : A = B  B =A

A B C : A = B  B = C → A =C

A :  A

AspB;A B

A B

P( A)= x/x A

X  P ( A ) X  A X

A :P(A)

A: AP(A)

( )

A nPA nX A

n A

 A  B : A  B → P ( A ) P ( B )

 A  B : A = B  P ( A )= P ( B )

A B=x/x Ax B

x  ( A  B ) x  A  x  B

 

A B=x /xAx B

A −B=x /xAx B

A B=x /xAx B=  x /( x  A  x B ( x A  x  B 

A B A x/x B x B

= − =   A

A Ac

B Total Bc

Total

. y^ B

A

.x

.x

A

B

D

C

A A

c

. x^ B

A

y

I. ∀ x ∈ B: x^2 < 0

II. ∀ x ∈ B: x^2 + 1 ≥ 0

III. ∃x ∈ B / (x+1) (x - 1) > 2. Son respectivamente:

A) FVV

B) VFF

C) VVV

D) VVF

E) VFV

1. SI: p1:(

p 2 : La esfera es una superficie

p 3 : La Micología estudia los músculos

p 4 : El {x∈ R / 5x - 2 > 5x – 5}, es universal, entonces las

proposiciones falsas son:

A) p 1 y p 2

B) solo p 1

C) solo p 2

D) p 2 y p 3

E) p1 ,p 2 y p 3

1. Es una proposición compuesta elemental abierta

1. 8> 3 ∧ 3 + 7 = 10

2. 8 + 6 = 14 v x > 9

3. x + 7 = 10 ∧ 2 > 6 → 16 < 6

4. 13 – 9 = 4 ↔ 4 = 24

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 1 y 2

1. El Ing. Salvador salió de vacaciones por “n” días, durante los cuales:
   • Llovió 7 veces en la mañana o en la tarde.
   • Cuando llovía en la tarde, estaba despejado en la mañana.
   • Hubo 5 tardes despejadas.
   • Hubo 6 mañanas despejadas. Entonces el valor de “n”, es: A) 5

B) 6 C) 8 D) 11

E) 9

1. Si:

A = {x 𝜖N / x > 4 → x = 6}

B = {x 𝜖N / x > 0 ∧ x ≤ 5}

C = {x 𝜖z / ∼ [𝑥 > 1 ⟶ 𝑥

2 ≠ 4 𝑥 − 3 ]^ } Entonces: M = (A ∩B) - (B ∩ C); es:

A) {1; 2; 4}

B) {1; 2; 3 ;4}

C) {1; 2; 4; 5}

D) {- 1; 2; 4}

E) {0; 1; 2; 4}

1. De un grupo de 100 chicas consta de 70 morenas y 30 rubias, de las

rubias 25 tienen ojos azules y el resto tienen ojos pardos, de las morenas 55 tienen ojos pardos y el resto tiene ojos azules. Se selecciona una chica al azar y se determina que tiene ojos azules.

Entonces la diferencia entre el número de chicas morenas de ojos azules y rubias de ojos pardos es: A) 5

B) 8 C) 6 D) 10

E) 11

1. Dados los conjuntos U = {-1; 0; 1; 2; 3; 4} ; A= {-1; 0; 1} ; B = {2; 3; 4} ,

Si; M = {x ∈ U/ x ∉ A → x ∈ B }, N = {x ∈ U/ x ∈ A ↔ x ∉ B} ,

Entonces (M ∩ N), es:

A) {0}

B) { }

C) A

D) B

E) U

1. Sean los conjuntos: U = {x Z / - 3 < x < 3};

A = {x (^) U / 2 x − 5 = 1}; B {x U/ x^2 - 5 x + 6 = 0}; la suma

de elementos de A B, es:

A) – 4

B) 5

C) 0

D) 2

E) – 3

1. Si: n(AUBUC) = 150; n(B-C) = 40; n (C – A) = 60

n (A – B) =45, Entonces el valor de n (A B C), es:

A) 3

B) 2

C) 5

D) 7

E) 8

1. Se tiene tres conjuntos A, B y C cuyos números cardinales son

consecutivos. Además, se sabe que: n(P(A)) +n(P(B)) +n(P(C)) =896 ,

entonces el número de elementos que puede tener como máximo el

conjunto potencia de: (AUBUC)

A) 86

B) 87

C) 88

D) 89

E) 810

1. Dados los conjuntos A = {(x + 1), x ∈ Z+, x < 30}

B = {x es par / x ∈ A}

C= {x = n^2 / x ∈ B}

Calcular el número de elementos de C

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

1. Dados los siguientes conjuntos:

A = {y N / y= 2x^ ; x = - 2 , - 1 , 0 , 1}

B= {x R / 3x – 5 = 1

1

x −

C {x R / x^2 = 2

x } ; entonces el conjunto solución de:

(AUB) (B-C) es:

A) {2; 2/3}

B) {1 ;2}

C) {1/4 ;1/2}

D) { - 1/2; - 1/4}

E) { }

1. Si: A y B son subconjuntos de U y se cumple que: A ∩ B =∅ ; 𝐵𝑐^ ,

tiene 512 subconjuntos; n(A) =

3 4

n(B), el número de subconjuntos de B

excede al número de subconjuntos propios que tiene A en 193, entonces

el número de subconjuntos que tiene; 𝐴

𝑐 , es:

A) 25

B) 211

C) 210

D) 37

E) 212

1. Dado el conjunto A y B , se sabe que : n ( A - B) = 7

n (A ∩ 𝐵) = n ( B-A ) + 3 y n ( A U B) = 34 , Entonces el cardinal de A.,

es:

A) 20

B) 21

C) 22

D) 23

E) 24

1. Un aula de clases está formada por alumnos de ambos sexos. Sea A el

conjunto de varones del Aula; si se sabe que en el aula hay más mujeres

que varones y que: n(P(A)) + n(P(A’)) = 80, donde n(P(A)) denota el

número de subconjuntos de A, entonces el número de mujeres excede

al número de varones en:

A) 3

B) 1

C) 4

D) 2

E) 5

UNIDAD N°

NUMERACIÓN – CUATRO OPERACIONES

OBJETIVOS:

• Reconoce los principales sistemas de numeración.
• Realiza cambios de bases entre sistemas de numeración.
• Reconoces las cuatro operaciones fundamentales de la aritmética,
• Realiza operaciones aplicando propiedad de las cuatro operaciones.

1. DEFINICIÓN:

Es la parte de la Aritmética que se encarga de estudiar a los números en su

formación, escritura y lectura para ello el hombre ha ideado los sistemas de numeraciones, el cual es un conjunto de reglas, principios y convenios, que sirven para formar a los números y operar con ellos.

1.1. NÚMERO: Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad, su representación gráfica

geométrica es un número. Actualmente se usa el sistema de escritura Indo – Arábico. Ejemplo: 5 = cinco = five =

• PRINCIPALES PRINCIPIOS DEL SISTEMA POSICIONAL DE

NUMERACION ➢ Principio del Orden. Toda cifra de un número posee un orden, el cual se lee de derecha

a izquierda, enumerándoseles empezando del orden uno. No debemos confundir el ORDEN con el LUGAR que ocupa la cifra. Al indicar lugar nos referimos a su ubicación enumerándolas

de izquierda a derecha, empezando del primer lugar. Ejemplo: En el siguiente numeral 5847, se observa:

• La cifra 4 es de orden dos y ocupa el 3er lugar.
• La cifra 8 es de orden tres y ocupa el 2do lugar.

➢ Principio de la Base. Se denomina Base de un Sistema de Numeración, a todo número entero positivo mayor que uno, la cual nos indica la cantidad de

unidades mínimas necesarias de un cierto orden para poder formar una unidad del orden inmediato superior. La base también nos indica el número de símbolos (llamados

cifras), con que cuenta el sistema para poder formar los números en ella. Ejemplo:

Representar 21 unidades simples: Base 10 Base 8

Base 5 Base 3

Luego:

De donde, afirmamos que: “En una igualdad de dos números, a mayor número aparente le corresponde menor base y viceversa”.

1.2. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN. Por convención, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras de un alfabeto griego conocido para su representación o encerrarlas entre

paréntesis.

ORDEN

Cuatro tres dos uno

1 er^2 do^3 er^4 to

LUGAR

PROPIEDADES ADICIONALES :

A. Numero expresado en bases sucesivas

B. Número formado sólo por cifras máximas.

CUATRO OPERACIONES

Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una parte de la Aritmética

que comprende el estudio de las operaciones de adición, sustracción,

multiplicación y división ; en el conjunto de los números naturales y luego

por extensión en el conjunto de números enteros.

➢ Adición (+)

Es una operación directa, en la cual para dos números cualesquiera llamados

sumandos , se obtiene un tercer número llamado suma o suma total.

Sumas Notables

1. Suma de los “n” primeros números naturales.
2. Suma de los cuadrados de los “n” primeros números.
3. Suma de los cubos de los “n” primeros números.
4. Suma de los números pares.
5. Suma de los números impares.
6. Suma de los cuadrados de los n primeros Números pares.
7. Suma de los productos de 2 números consecutivos.
8. S = a + a² + a^3 ... + an^ = an+1^ -
9. Suma de términos en Progresión Aritmética

S = t 1 + t 2 + t 3 +.... + tn

Donde:

n = número de términos t 1 = primer término; tn = último término ➢ Sustracción (-)

Es una operación inversa a la adición en la cual para dos números llamados minuendo y sustraendo se obtiene un tercer número llamado diferencia tal que si:

TEOREMA

Si a > b y

→ m + p = 9 y n = 9

En general:

COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A.)

Se llama así, a lo que le falta a un número para ser igual a la unidad del orden

inmediato superior. Representación:

Sea: un número de “k” cifras, entonces:

Ejemplos:

• C.A (24) = 10^2 ---^ 24=

Método Práctico: A la primera cifra significativa de menor orden, se le resta de la base y a las

demás cifras de la izquierda se le resta de la máxima cifra de la base. Estas diferencias obtenidas serán las cifras correspondientes en el C.A. del número. Si hay ceros después de la última cifra significativa, éstos quedan en el C.A.

Ejemplos:

• = 897654

Excedencia: Es la diferencia entre el número dado y la unidad de sus cifras de mayor orden Ejemplos:

➢ Multiplicación (.) Es una operación directa, en la cual para dos números llamados

multiplicando y multiplicador , se obtiene un tercer número llamado producto , el cual es igual a sumar tantas veces el multiplicando como lo indique el multiplicador.

Observaciones:

Una multiplicación se considera como una adición abreviada, donde los términos: multiplicando y multiplicador, son llamados factores. Cantidad de cifras de un producto.

1 a = a + b + c +..........+ x + n

1 b

1 c



1 x ( n )

a 0 = a. b. c .... k. n

b 0

c 0

k 0 ( n )

k n n n n n n

2

( 1 ) 1 2 3 ...

1

=

n n S i n

n

i

n

n(n 1 )( 2 n 1 )

S i 1 2 3 ... n

2 2 2 2

n

i 1

2 n^2

=

2 3 3 3 3

1

3

=

n n

S i n

n

i

n

S 2 i 2 4 6 .... 2 n n(n 1 )

n

i 1

2 n =^  = + + + + = +

=

2

n

i 1

S 2 n 1 = ( 2 i− 1 )= 1 + 3 + 5 + 1 ...+( 2 n− 1 )=n

=

−

2 2 2 2

1

2 ( 2 )^2

=

nn n

S i n

n

i

n

1

=

nn n

ii nn

n

i

a 1

a

−

abc −cba=mnp

y n

x z n

n

abcn cban xyz

( n )

N

n

N

k

n

n

C A N = −

( 9 ) ( 9 )

3 C. A .( (^132) ( 9 ))= 9 − 132 = 757

C. A ( 999102346 )

(7) (^) (7)

C.A 666145000 = 522000

1

−

n

ncifras

abc xyz abc xyz

P

"b"sumandos

a • b = a + a + a + .... + a =

“k” cifras

a + b = S

M - S = D  S + D = M

Sea:

a 1 cif.

a 2 cif. a 3 cif.ancif.

n° de cifras máximas de

n° de cifras mínimas de

➢ División (  )

Es una operación inversa a la multiplicación, en la cual, para dos números llamados dividendo y divisor (este último diferente de cero), se encuentra un tercer número llamado cociente, de modo que el producto del divisor

y el cociente sea el dividendo.

• D: Dividendo

• d: divisor (d  0)

• q: cociente

DIVISION ENTERA

Es un caso particular de la división, en la que todos los términos son números

enteros. Donde conocido un número ( Dividendo ), al ser dividido por otro

( divisor ) se obtenga un tercer número ( Cociente) tal que su producto con el

divisor sea igual o se acerque lo más posible al dividendo.

I. División Exacta

Se cumple que el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente.

Donde:

D, d, q ℤ y d  0

II. División Inexacta

Es la división entera en la que el producto del divisor por cociente es diferente

al dividendo.

Donde:

D, d, q  Z y d  0; r ≠ 0

División Inexacta por Defecto

Cuando el producto del divisor por el cociente (cociente por defecto: q) es

menor al dividendo. El número de unidades que le falta a dicho producto para

ser igual al dividendo, se le llama residuo por defecto (r).

d • q < D → D = d • q + r

División Inexacta por Exceso

Cuando el producto del divisor por el cociente (cociente por exceso: )

es mayor al dividendo. El número de unidades que excede dicho producto al

dividendo, es llamado residuo por exceso re.

Propiedades de la División Inexacta

1. 0 < Residuo < d

→ Residuo mínimo = 1 Residuo máximo = d – 1

2. d

r + r = d

qe = q + 1

• ALGORITMO DE LA DIVISIÓN.

Llamado Algoritmo de Euclides

Cantidad de cifras de un cociente

Sea

Luego:

n° de cifras máximas de

n° de cifras mínimas de

Preguntas propuestas N°

1. Si: N= 55555! la cantidad de cero en que termina (55555!)^3 expresado en base 6, es: A) 154321

B) 132452 C) 125523 D) 145521 E) 115223

1. Si : 𝑎𝑎𝑎̅̅̅̅̅ (^) (5) =𝑥𝑦 ̅̅̅̅ 30 ̅̅̅ (^) (a), entonces el valor de: a + x + y es;

A) 6 B) 7

C) 9 D) 10 E) 8

1. ¿En qué sistema de numeración se cumple que el mayor número de tres cifras de cierta base es igual a 57 veces la mayor cifra de dicho sistema

de numeración? A) 6 B) 7

C) 8 D) 9 E) 10

1. Determinar la suma de las bases de los sistemas de numeración, en los cuales se representa como 121 a un número que en base 10 se

representa como 4 ̅̅𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅ y en base 5 presenta como cifra de menor

orden a una cifra no significativa. A) 1022 B) 1025

C) 1044 D) 1045 E) 1038

1. Si: 43ab̅̅̅̅̅̅̅( c ) = m9̅̅̅̅ (^) (c^2 ) , donde” c” es impar y b > 2, ademásabc̅̅̅̅̅( 9 )

=p7q̅̅̅̅̅ (^) pr̅̅̅̅pr̅̅̅̅ pp̅̅̅̅n

,donde r ≠ p, entonces el valor de: n + r+ p+a +m`+c +q;

es: A) 22

B) 35 C) 36 D) 37

E) 39

1. Si: (̅̅n̅ ̅−̅̅ ̅ 1 ̅̅)̅ …̅̅̅ …̅̅ ̅. ̅. ̅(̅̅n̅ ̅−̅̅ ̅ 1 ̅̅)n = (̅̅n̅ ̅−̅̅ ̅ 5 ̅̅)̅bc0̅̅̅̅,

k “cifras entonces el valor de:(n + k), es:

A) 3 B) 7

C) 5 D) 11 E) 10

1. Si. ab , b 9 = ba , mnp 7 , entonces el valor de: m + n + p es:

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

1. Escribir “N” en base 5 y dar su 48ava cifra decimal N=

2 10

7 100

2 1000

2 10000

A) 3

B) 1

C) 0

D) 2

E) 4

P = A 1. A 2. A 3 ... An

P = S = a 1 + a 2 + a 3 +...+ an

P = S −( n − 1 )

qe

D

e

d • q  e

r e

D = d • q − .

D d q r r q

D d  = • +

b n decifrasded

a n decifrasdeD

d

D

q

q = a − b + 1

q = a − b

D d = q → D= d x q Donde:

D = d •q

D = d • q + r

UNIDAD N°

DIVISIBILIDAD – NÚMEROS – M.C.M. – M.C.D.

OBJETIVOS:

• Distingue los factores o divisores y los múltiplos de un número.
• Determina y aplica los criterios de divisibilidad.
• Reconoce si un número es primo o compuesto.
• Descompone un número en sus factores primos.
• Determina el MCD y el MCM de dos o más números
• Resuelve problemas aplicando divisibilidad, el MCD y el MCM.

1. PRELIMINARES

• Definición:

Parte de la teoría de los números que tiene por objeto estudiar las condiciones

que debe tener un número para que sea divisible por otro.

• Divisibilidad y multiplicidad.

Ejemplo:

por qué ; porque por

que

En general se tiene: ; donde k∈ℤ ,

Observaciones:

1. Cero es múltiplo de todos los números enteros.
2. Por convención el primer múltiplo de un número es el mismo número.
3. No existen múltiplos de números negativos.
4. Si existen múltiplos negativos

Ejemplo:

• Divisor.

Se dice que un número es divisor del número A, cuando B lo divide en

forma entera y exacta. Esto es:.

1.2. PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD.

Número divisible por diversos módulos con igual residuo.

En toda división entera inexacta el dividendo será múltiplo del

divisor más el residuo por defecto o múltiplo del divisor menos el

residuo por exceso.

Principio de Arquímedes.

“Sean A y B dos números enteros tal que ; además:

A no es múltiplo de “n”; A y n no tienen divisores comunes, excepto 1,

Entonces

Ejemplo: 3

1.3. GENERALIZACIÓN DEL BINOMIO DE NEWTON.

P 13

Números no divisibles.

Problemas con fechas

Año civil (365 D) = ; Año bisiesto (366 D) =

Año comercial (360 D) = (^) ; Todo año bisiesto es

Ejemplo: {1072; 1732; 1892; 2000; 2004}. 1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Son reglas prácticas que nos permiten saber a priori cuando un número es

divisible por otro; en caso contrario nos determina el residuo. Los principales son:

• Divisibilidad por y/o

Todo número entero será divisible entre y/o ; cuando el número

formado por sus “n” últimas cifras sea divisible entre y/o , en caso

contrario nos determina el residuo de dividir dicho número entre y/o

• Divisibilidad por 3 y/o 9

Todo número será divisible por 3 y/o 9 cuando la suma de sus cifras da como resultado un múltiplo de 3 y/o 9, en caso contrario nos determina el residuo de dividir dicho número entre 3 y/o 9.

Dado el número: N =

Ejemplo: Dado el número: 12345674

• Divisibilidad por 11 Un número será divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de sus

cifras de orden impar con la suma de sus cifras de orden par da como

resultado un ; en caso contrario determina el residuo de dividirlo entre 11. Ejemplo:

Sea

A  Z  B  Z → AesdivisibleporB

0

. ,

A B

AesmúltiplodeB

A Bk k Z

 =



 = 

0 39 = 13 39 = 3 13

0 − 54 = 6 − 9  6 = − 54

0 0 = 125

n nk

o

n  Z

abcd n d

o

(n )= +



X

B  0

=n;n Z B

A ∈

1

P

o o o o

n +n+n= n

o o o

2

P .n−n=n

oo o

3

P .nn=n

• =

o

o

o

n z

z z Z

n n Z

P n z

4

=  

P.n n;k Z

o

k o

5

P 6.

0 0 ; ;.

n k k n n k n

P 7.

0 0 0 0 N = a N ; = b N ; = c → N = mcm a b c ( ; , )

P 8.

N a R;N b R;N c R N mcm(a;b;c) R

o o o^ o =  =  =  → = 

P 9.

e

o

d

o D =d+r ; D=d− r

P

o o o N =M y M=A.B→N=AN= B

P

o

A  B = n

o

B = n

 

7 x = 13 →x= 13

  

10 y= 25 → 2 y= 5 → y= 5

P 12.

0 0

m m

n b n b m Z

(n a)(n b) n ab

o o o

• • = + 

P 14.

0

0

0

,

( )

,

m

m

m

n b si m es par

n b

n b si m es impar



  − = 

  −

P 15.

0 0

0

d

e

A B r

A B

A B r

 =^ +

P 16.

7 + 1

 7 + 2



7 + 3

  4

n

n 5

n 2

n 5

n

n 5

n 2

n 5

abcdef

 

 

N 3 a b c d e f 3

N 9 a b c d e f 9

0 11

N a b c d ef N 11 (f d b) (e c a )

0 = → = + + + − + + −+−+− +

 Tiene por residuo 7

• Divisibilidad por 7

Todo número será divisible por 7 cuando al multiplicar sus cifras de derecha

a izquierda por los coeficientes 1, 3, 2, - 1, - 3 y – 2... la suma o diferencia de

ellos dé como resultado un , en caso contrario nos determinará el residuo

de dividir dicho número por 7.

Dado el número:

N =

     

• 2 - 3 - 1 2 3 1

Ejemplo:

Para el número: N = 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8

     

• 2 - 3 - 1 2 3 1

• Divisibilidad por 13

Todo número será divisible por 13 cuando al multiplicar sus cifras de derecha

a izquierda por los coeficientes 1, - 3, - 4, - 1, 3 y 4... la suma o diferencia de

ellas da como resultado un ; en caso contrario nos determinará el residuo

de dividir dicho número por 13.

Dado el número:

Ejemplo:

Para el número: 4 5 6 7 8 9

      4 3 – 1 – 4 - 3 1

r = 8

• Divisibilidad por 33 o 99

Un número será divisible por 33 o 99 cuando al separarles en bloques de 2

cifras de derecha a izquierda y efectuar la suma algebraica de dichas cifras

se obtiene 33 o 99.

Divisibilidad por 33

NÚMEROS PRIMOS

• Número Primo Absoluto

Un número primo es un número entero positivo mayor que uno, que tiene

solamente dos divisores diferentes: el número mismo y uno.

Ejemplo:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17.

Los números primos son números simples.

El 1 no es número primo, pero 1 es número simple. El 1 es número singular.

• Números Primos entre sí (PESI)

Son dos o más números que admiten como único divisor común a uno.

Ejemplo:

(3 y 7); (4; 8 y 3); (12; 13 y 37), etc.

• Números compuestos

Son aquellos números naturales que tienen más de 2 divisores.

Ejemplo: 4; 6; 12; 28; 111 Descomposición Canónica de un Número Natural (Factores primos).

Se llaman factores primos a los números primos que son divisores de un número compuesto Relaciones entre los Divisores de un Número Compuesto Sea N un número compuesto que tenga por descomposición canónica

donde:

. son primos absolutos diferentes

, exponentes de los factores primos.

La cantidad de divisores de N se denota y se determina por:

D(N) = (p+1) (q+1) (r+1) ... La suma de divisores de N, se denota y se determina por:

La suma de las inversas de los divisores de N, está dado por:

S (I N) =

El producto de los divisores de N está dado por

También: D(N) = DP(N) + DNP(N)

D(N) = DP(N) + 1 + DC(N) D(N) = DS(N) + DC(N)

Donde: DP: divisores primos DNP: divisores no primos

DC: divisores compuestos DS: divisores simples INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER

✓ Indicador de un Número. Es la cantidad de números

Primos menores que un número N. Su notación es ( N ).

El indicador de un número primo P es: (P–1). Para hallar el indicador de un número compuesto N:

Sí ; siendo a, b y c primos absolutos diferentes, entonces:

; o también:

1.5. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD).

Es el mayor de los divisores comunes de dos o más números.

Ejemplo : Sean los números 8; 12 y 20, donde: Sus divisores comunes son: 1; 2; 3 y 6. Luego: MCD (12, 18, 24) = 6

El mayor número que divide a 12; 18 y 24 a la vez es 6. ✓ FORMAS PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCD I. Descomposición simultánea

20 - 15 5 4 3

PESi

 MCD (20; 15) = 5

II. Por descomposición canónica

Sean los números: A = 2^6. 3^5. 5^4 B = 2^4. 5^3. 7^2

MCD (A;B) = 2^4. 5^3 “Se toman los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes“ III. Divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides

Para hallar el MCD (A, B) se procede de la siguiente manera: Se divide el número mayor entre el menor obteniéndose un cociente(C) y un residuo (R), se divide el número menor entre R obteniéndose un cociente (C 1 )

y Un residuo (R 1 ) y así sucesivamente se procede hasta encontrar un residuo cero. El ultimo residuo diferente de cero es el MCD (A, B). Esquema.

0

a b c d e f

→^7

0

• 7 + 18

7 + 4 →r= 4

0

N = a b c d e f

N 13 ( 4 a 3 b c 4 d 3 e f)

0 = + + − − − +

0 = + + − − − +

0 0 0 = − = − − = −

0 = +

º

N= 14 + 5 + 9 + 38 = 66 = 33

Sea el número N= 14050938

.. ...

p q r N = a b c

a , b , c

p , q , r ,...

c 1

c 1 . b 1

b 1 . a 1

a 1 S(N)

p 1 q 1 r 1

N

S(N)

D(N) P( N)= N

N a .b.c...

  

(N ) a (a 1 )b (b 1 )c (c 1 )...

1 1 1  = − − −

− − −

c

b

a

(N ) N 1 

N = 7 + {(2d + 3e + f) – (2a + 3b + c)}

0

C) 18

D) 12

E) 18

1. Al calcular el MCD de dos números primos entre si mediante el algoritmo

de Euclides se obtuvo como cocientes sucesivos: 2; 1 ;3; 3 y 2, entonces la diferencia de los números, es: A) 30

B) 53 C) 23 D) 7

E) 83

1. La suma de los dos menores términos consecutivos de la sucesión: 6;

10;14; 18;…, de manera que el mayor sea divisible por 17 y el menor múltiplo de 13, es: A) 470

B) 352 C) 372 D) 452

E) 472

1. Si un numero tiene 60 divisores de los cuales 3 son primos, 40 son

múltiplos de 7 y 30 son múltiplos de 9, tal que la suma de sus cifras es múltiplo de 9, entonces la suma de cifras del menor número que cumple estas condiciones, es:

A) 15 B) 12 C) 18

D) 13 E) 16

1. Si: abc̅̅̅̅̅ 8 ̅ + cba̅̅̅̅̅ 6 =….2 7 entonces el valor de a + c, es:

A) 8 B) 9 C) 3

D) 11 E) 6

1. La cantidad de números capicúas de 4 cifras no divisibles por 7, es:

A) 36 B) 72

C) 56 D) 48 E) 60

1. Si el numeral: E=8n- 8 n-^2 tiene una cantidad de divisores igual a un

número par de 3 cifras múltiplo de 5, entonces el número de valores que

puede asumir “n” es: A) 10 B) 14

C) 8 D) 28 E) 15

1. Si al dividir 347 3n

̅̅̅̅̅̅ entre 7, se obtiene residuo 2, entonces la suma de

todos los valores de” n”, es: A) 17 B) 16

C) 15 D) 12 E) 21

1. Si la suma de 2 números es 126, El MCD de ellos tiene 3 divisores y uno

de los números tiene 5 divisores, entonces la suma de las cifras del

mínimo común múltiplo de los números, es: A) 8 B) 9

C) 4 D) 7 E) 6

1. Sean: A=66666… 667 (182 Cifras)

B=6666… (^667) ( 238 cifras)

La suma de cifras del MCD de A y B expresado en base 49, es: A) 336 B) 316

C) 284 D) 326 E) 347

1. Si: MCD (ab̅̅̅ ; cd̅̅̅ ) = d; MCM (ab̅̅̅ ; cd̅̅̅ ) = d. ab̅̅̅ ; entonces el mayor valor

que asume: ab + cd̅̅̅ , es:

A) 75 B) 95

C) 120 D) 150 E) 160

1. El resto que se obtiene al dividir la expresión: M= 23K + 1^ +26K +4^ + 2^3 entre 7, es:

A) 1 B) 3 C) 5

D) 7 E) 9

1. Se divide un ( 13 5 )

0

• entre un ( 13 8 )

0

• se obtiene como resto un (

13 5 ),

0

• si el cociente es el menor valor posible de dos cifras,

entonces la suma de las cifras del cociente es:

A) 8 B) 4 C) 10 D) 11

E) 12

1. Si:

n 16 tiene P divisores. ¿Cuántos divisores tendrá 256

n ?

A) 2 P

B) 3 P C) 2 P + 1 D) 2 P – 1

E) 3 P + 1

1. Si el producto de los divisores de un número es 64 x 10

12 , determinar

la suma de las cifras de dicho número. A) No existe

B) 2 C) 3 D) 9

E) 10

1. Se sabe que los libros de la biblioteca de la facultad de Ciencias no

pasan de 2000 y que, si se agrupan de 5 en 5 o de 6 en 6 o de 7 en 7 o de 8 en 8 sobran la misma cantidad de libros, entonces el máximo número de libros que puede tener la biblioteca, es:

A) 1922 B) 1684 C) 1925

D) 1926 E) 1928

1. Si el MCD de ab̅̅̅ y (̅̅a̅ ̅+̅̅ ̅b̅̅)̅c̅ , es 9 y el MCM de ab̅̅̅ y (̅̅a̅ ̅+̅̅ ̅b̅̅)̅c̅ es 270, entonces el valor de a + b +c, es: A) 9

B) 10 C) 89 D) 9

E) 6

UNIDAD N°

FRACCIONES

OBJETIVOS:

• Reconoce el conjunto Q de los números racionales como una extensión

del conjunto Z de los números enteros.

• Distingue un número racional de una fracción.
• Clasifica las fracciones, escribe fracciones equivalentes y establece sus

propiedades.

• Establece relaciones entre números naturales.
• Simplifica fracciones y opera con números racionales.
• Define número decimal. Expresa números racionales como decimales y

viceversa. Aplica la fracción generatriz.

• Resuelve problemas aplicando fracciones decimales. 1. FRACCIÓN

Es todo número de la forma ; donde n  0 y , m y n términos de la

fracción,

1.1. FRACCIÓN IRREDUCTIBLE

Son aquellas fracciones cuyos términos son primos entre sí (PESI):

1.2. FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos o más fracciones son equivalentes si tienen igual valor y se obtienen de

una fracción irreductible.

Ejemplo :

1.3. CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES

A. Por comparación respecto a uno Pueden ser:

• Propia: Cuando su valor es menor que uno, es decir mn. B. Por su denominador Pueden ser:

✓ Ordinaria o comunes: Cuando el denominador no es potencia de diez.

Ejemplo:

✓ Decimales: Cuando el denominador es una potencia de diez.

Ejemplo:

C. Por comparación de los denominadores. ✓ Homogéneas : Cuando tienen igual denominador. ✓ Heterogéneas : Cuando tienen diferente denominador.

1.4. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.

Simplificar una fracción reductible es transformada a una fracción irreductible

equivalente, eliminando el MCD de sus términos.

1.5. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE

FRACCIONES.

Sean las fracciones irreductibles:

Ejemplo :

Hallar el MCD y el MCM de:.

1.6. NÚMEROS DECIMALES.

Es la expresión en forma lineal de un valor determinado en el sistema de base 10 que posee parte entera y otra parte no entera, separados por una coma”. Pueden obtenerse dividiendo el numerador por el denominador de una

fracción. Según se generen por fracciones puede ser: ✓ Decimal Exacto :

Una fracción irreductible dará origen a un decimal exacto cuando en su denominador se observan sólo potencias de 2, potencias de 5 o en todo caso potencia de 2x5.

; Donde (n, m y p) Z+

Ejemplo: 3/4 = 0,75; 2/5 = 0, Regla :

La cantidad de cifras decimales exacta que origina una fracción irreductible viene dada por la mayor potencia de 2 o 5 contenida en el denominador.

Fracción Generatriz

Ejemplo:

✓ Decimal Inexacto o Decimal Periódico Puro :

Una fracción irreductible dará origen a un decimal periódico puro cuando en su denominador se observan factores diferentes de potencias de 2; 5 o en todo caso de 10.

donde (n, m y p) Z+

Ejemplo:

Regla : Para hallar la cantidad de cifras decimales que hay en el período, basta saber en cuantos nueves como mínimo está contenido el denominador.

TABLA DE LOS NUEVES.

N° De cifras 9

9 32 3 ; 9 1

99 32. 11 11 2 999 33. 37 27 ; 37 3

9999 32. 11.101 101 4

99999 32. 41.271 10141 ; 271 5

999999 33. 7.11.13.37 7 ; 13 6

n

m m n

n

m

k k k

b

a

MCD.b

MCD.a

B

A

3

. 3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

MCM(b;b b )

MCD(a;a;a )

b

a

b

a

b

a

MCD

1 2; 3

1 2 3

3

3

2

2

1

1

MCD(b;bb)

MCM(a;a;a)

b

a

b

a

b

a

MCM

1 2; 3

1 2 3

3

3

2

2

1

1

p

m

n

b b

a f

10

abc

x

4 4

x

mnpq

abcd

x

4 3

abc abc =

( 9 )

( 9 ) ( 9 )

( 8 )

( 8 ) ( 8 )

p

m

n

b b

a f

10