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Modulo: curos de lógica matemática y funciones primer ciclo
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Lógica Proposicional
Introducción Bosquejamos y desarrollamos a lo largo de esta unidad la llamada “lógica de primer orden ” que es un campo en general, no polémico de la misma y aceptado universalmente como los cimientos o, por lo menos, los cimientos para adentrarse en otros. Trelles, O. (2000). Desarrollo del tema 1.1. Competencias a desarrollar: Identifica y aplica las propiedades del lenguaje lógico, elaborando un esquema básico de demostración que facilite la expresión del propio pensamiento para justificar y presentar resultados y conclusiones de forma clara y coherente, mostrando tolerancia y respeto a los demás. a. Contenido del tema: La Lógica Proposicional Es una parte de la Lógica que estudia las forman es que se relacionan unas proposiciones con otras y, sobretodo la relación que se da entre las proposiciones que comparten un razonamiento. Arnaz (2007) Enunciado Se llama enunciado a toda oración que no expresa un pensamiento completo. Arnaz (2007) Ejemplos :
No son proposiciones Refranes y proverbios Creencias religiosas Supersticiones Dudas, súplicas, deseos y órdenes Enunciados interrogativos Apreciaciones personales Conectivos lógicos Se llaman también operadores lógicos, a las palabras que enlazan dos o más proposiciones, o cambian el valor de verdad de una proposición. (A. Bustamante, 2009) Los conectivos lógicos de mayor uso son:
Una proposición compuesta o molecular es aquella que presenta uno o más conectivos lógicos.
Ejemplos:
Si existen 4 proposiciones simples entonces el número de arreglos posibles es: 24 = ….. Agrupamiento de Proposiciones Para obtener la tabla de verdad, se inicia con el conectivo lógico de menor jerarquía y se concluye con el de mayor jerarquía. La jerarquía de los conectivos lógicos cuando no hay signos de colección, de mayor a menor es: ; ; ( ; ; ) y ~ Nota. Toda proposición simple se escribe en forma afirmativa, nunca en forma negativa. Tautología, Contradicción y Contingencia Para obtener la tabla de verdad, se inicia con el conectivo lógico de menor jerarquía y se concluye con el de mayor jerarquía. La jerarquía de los conectivos lógicos cuando no hay signos de colección, de mayor a menor es: ; ; ( ; ; ) y ~ Nota. Toda proposición simple se escribe en forma afirmativa, nunca en forma negativa. Tautología, Contradicción y Contingencia Una proposición compuesta se dice que es una tautología si el valor de verdad o resultado global de la tabla es verdadero. A las tautologías se les llama también leyes o principios lógicos. Una proposición compuesta se dice que es una contradicción , si el valor de verdad o resultado global de la tabla es falso. Una proposición compuesta se dice que es una contingencia si en el resultado final hay valores verdaderos y falsos. Ejemplos:
La proposición [ ( p q ) p ] q es una tautología porque el valor de verdad es V
p q (^) [ ( p q ) p ] q V V V V V V V V F F F V V F F V V F F V V F F V F F V F
q ( p t ) ( r t ) . Solución q ( p t ) ( r t ) [ ( F ) ( V v t ) ( V t ) } { [ V V ( F t ) } { V V } V La proposición q ( p t ) ( r t ) es verdadera. Note que el valor de verdad de t podría ser V o F.
La proposición [ ~ ( p q ) p ] q es una ……………………….. porque el valor de verdad es …………..……..
1.3 Preguntas de aplicación:
p q (^) [ ~ ( p q ) p ] q V V F V V V V F V F V F F F V F V V F F V F F
Esquema lógico (^02) Fernando no trabaja en el sector público, por ello no puede hacer uso de lasProposición instalaciones del tren eléctrico. Formalización
Esquema^. lógico (^03) El fiscal dictó prisión preventiva para el ex alcalde de Kimbiri de ser acusado deProposición violación por eso la familia está más tranquila Formalización
Esquema lógico^. 04 Proposición En el segundo ciclo llevaré el curso de Estadística a menos que lleve Deporte. Formalización
Esquema lógico^. (^05) Defensa Civil gastará en la reconstrucción la suma de 4 millones de soles tras la trageProposición dia de los huaycos en Chosica, s economía este desembolso.in embargo, esto se dará luego de recibir del Ministerio de Formalización
Esquema lógico^.
d. Francisco terminará satisfactoriamente sus estudios de medicina …………………. logra obtener muy buena calificación en su examen de graduación. e. La contadora Ordoñez …….. el administrador Cárdenas son esposos. ……… no trabajan juntos f. ……….yo trabajo, gano dinero. ……………..…….... no trabajo , no me puedo divertir. ………….……..…si trabajo gano dinero ……… me divierto.
Equivalencias e Implicaciones Lógicas. Cuantificadores. Leyes de inferencia Introducción Para la lógica son de suma importancia las tautologías y las contradicciones. Por medio de la equivalencia lógica se establecen proposiciones que son lógicamente equivalentes y que permiten reemplazar ciertas proposiciones por otras.
I. Desarrollo del tema 1.1. Competencias a desarrollar Determinar si dos proposiciones son equivalentes y cuándo una proposición implica a otra, reforzando sus conocimientos de simbolización y de tablas de verdad. 1.2. Contenido del tema Una proposición compuesta es una Equivalencia Lógica cuando es tautología y su conectivo principal es una bicondicional. Arnaz (2007) Una proposición compuesta es una Implicación Lógica cuando es tautología y su conectivo principal es una condicional. Arnaz (2007) Principales Equivalencias Lógicas
La Función Proposicional También es conocida como enunciado abierto o proposición abierta.
Ley de Involución ~ (~p)^ ^ p Ley de Idempotencia p^ ^ p^ ^ p^ p^ ^ p^ ^ p Ley Conmutativa p^ ^ q^ ^ q^ ^ p^ p^ ^ q^ ^ q^ ^ p Ley Asociativa^ (p (p^ ^ q)q)^ ^ rr^ ^ pp^ ^ (q(q^ ^ r)r) Ley Condicional^ p ~ ( p^ ^ q^ q )^ ~ p ^ p^ q ~ q Ley Bicondicional^ p ~ ( p^ ^ q^ q )^ ( p ^ ( p^ q ) ^ ~ q )^ ( ~ p ^ ( ~ p^ ~ q ) q ) Ley Contrarrecíproca p p^ ^ qq^ ^ (~ q ) (~ q )^ ^ (~ p ) (~ p )
Una función proposicional, es una generalización de una proposición simple que contiene una o más variables y que toma los valores de V o F. Arnaz (2007) Las funciones proposicionales se representan por letras mayúsculas y con minúsculas a las variables x, y, z,..., los objetos o entes desconocidos.
Si una función proposicional contiene la variable x se denota por P(x). Si contiene variables x e y se denota por P(x;y). Ejemplos:
Cuantificadores
Son operadores lógicos que transforman proposiciones abiertas en concretas. Son de dos formas:
1. Cuantificador Universal “Para Todo” ,“ ” xDP / P(x) equivale también xDp : P(x) Se lee: “Para todo elemento x del dominio de la proposición, se verifica P(x)”. Una función proposicional cuantificada universalmente es verdadera si y solo si son verdaderas todas las proposiciones particulares. 2. Cuantificador Existencial “Existe”, “ ” xDp / P(x) equivale también xDp : P(x) Se lee: “Existen elementos x del dominio D, tales que se verifica P(x)”.
Una función proposicional cuantificada existencialmente es verdadera si y solo si al menos una de las proposiciones particulares es verdadera. Ejemplos:
Ejemplo:
Si Luis gana el concurso, entonces viajar a España. Luis no viajó a España. Por lo tanto, no ganó el concurso Solución: P1: Luis gana el concurso, entonces viajara a España P2: Luis no viajo a España. C: Luis no ganó el concurso.
Esquema
C: p
P: q
P:p q
21
C. SILOGISMO HIPOTETICO Esquema lineal:
Esquema vertical:
C:A C
C: p r
P:q r
:P: p q 2
1
Ejemplo :
Si no estudias, entonces desaprobarás el curso. Si desapruebas el curso entonces no podrás graduarte. Por lo tanto Solución: P1: No estudias, entonces desaprobarás el curso P2: desapruebas el curso entonces no podrás graduarte C: no estudias entonces no podrás graduarte.
D. SILOGISMO DISYUNTIVO
Esquema vertical:
C:r s
P:q s
P:p r
P:p q 2
2
1
Ejemplo: Apruebas el curso o dejas la Universidad. Si apruebas el curso entonces disfrutas de tus vacaciones Si dejas la Universidad, tendrás que conseguir trabajos con mala paga Por lo tanto, disfrutas de tus vacaciones o tendrás que conseguir trabajos con mala paga
1.3 Preguntas de aplicación
03 Ya que expresarse con la verdad.^ la honestidad constituye una cualidad humana que consiste en comportarse y Al no ser el caso que una persona muestre la práctica de la justicia y la verdad. sinceridad, entonces se pone de manifiesto a través de la justicia y Entonces… Formalización Ley aplicada
Conclusión: 04 La planeación estratégica se opta por una planeación de mediano plazo, de una mediana empresa puede ser a la cantidad de actividades que deberán corto o mediano plazo. Si realizar las diversas partes de la empresa ha de permitir las metas propuestas. Luego… Formalización Ley aplicada
Conclusión: 05
Ya que la migraña es un tipo imposibilita a quien la padece. Si imposibilita a quien la padece entonces es una de dolor de cabeza usualmente muy intenso es evidente que enfermedad de tipo neurológico. En consecuencia Formalización Ley aplicada
Conclusión:
a. r ( r q )
b.
r ( r q )
Entonces el valor de r hay contradicción
F
V (^) F
P= q = r =
{ [ p → ( q r ) ] p } ( q r )
F
V^ F
Inferencias Lógicas - Validación I. Introducción El emplear métodos matemáticos en física no convierte a la física en un capítulo de la matemática. Del mismo modo, la lógica no puede renunciar a su tema: la exploración formal de la verdad, investigación que se enriquece con los horizontes que le permite abordar el empleo de nuevos métodos. Trelles, O. (2000).
II. Desarrollo del tema 1.1. Competencias a desarrollar Analiza problemas deduciendo lógicamente su validez, utilizando las equivalencias e implicaciones lógicas, mostrando tolerancia y respeto a los demás. 1.2. Contenido del tema Rosales, D (2009), define la Inferencia lógica ó Argumento lógico a toda condicional de la forma: (p1 p2 …pk) q Donde las proposiciones p1, p2,…,pk son llamadas Premisas, y originan como consecuencia otra proposición denotada “q” y llamada Conclusión, la cual está después de las expresiones luego, por consiguiente, por tanto, de modo que, en consecuencia, en tanto, en suma, se infiere que, se deduce que; y antes de: ya que, dado que, puesto que, pues, si recordamos que, etc. Formalmente podemos expresar de dos formas: Esquema Lineal y Vertical. a. Esquema Lineal:
P= q= F^ r= V
F
{ [ p → ( q t ) ] p } ( t q )
