Modulo de elasticidad, Diapositivas de Elasticidad y Resistencia de materiales

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COMPORTAMIENTO DE

SUELOS

BAJAS Y ELEVADAS

DEFORMACIONES

Dr. Víctor Rinaldi

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CORDOBA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CORDOBA

Es

Emax

σy

εy

E 50

σy

σymax/

εy

Et

DEFINICIÓN DE MÓDULOS DEFINICIÓN DE MÓDULOS

Ondas Elásticas Ondas Elásticas

PROPAGACIÓN DE ONDASPROPAGACIÓN DE ONDAS

x

x

x

 ^  x x

 x

x

COMPRESIÓN EN BARRAS COMPRESIÓN EN BARRAS

x A m a

x

A

x

x x

x x

x A

x

x A

g

u

t

2

2







x E^

u

x





 





2

2

2

2

u

t

E u

x



v

E

E





Equilibrio de Fuerzas

O También

Ley de Hooke

Reemplazando (2) en (1)

Ondas Elásticas Ondas Elásticas

PROPAGACIÓN DE ONDASPROPAGACIÓN DE ONDAS

CORTE EN BARRAS CORTE EN BARRAS

Equilibrio de Fuerzas

O También

Ley de Hooke

Reemplazando (2) en (1)

T

T

x

x





T

 x

x

  











T T  

T

x

x I x

t

p

 

2

2

T

x

I

t

p

2

2

T G I x

 p





2

2

2

2

x

G

t 

 

^ 

  

v

G

S





Ondas Elásticas Ondas Elásticas

PROPAGACIÓN DE ONDASPROPAGACIÓN DE ONDAS

MEDIOS INFINITOS MEDIOS INFINITOS

2

2

2

v

v t

G

D

E

 





2

2

x 2

x

t

 G  (^) v

G

S





Derivando todas respecto a x, y, z, y sumando

De donde

Siendo

Diferenciando la segunda respecto a z, la tercera respecto a y,

y substrayendo ambas

De donde

 

 G M

v p







2

Ondas Elásticas Ondas Elásticas

PROPAGACIÓN DE ONDASPROPAGACIÓN DE ONDAS

MEDIOS SEMINFINITOS MEDIOS SEMINFINITOS

Achenbach (1975)

Onda Rayleigh o de Superficie

Richart et al., (1970)

2 41 1 0

2

1 2 2

1

2 2 2

































 

































 































 

s

R

p

R

s

R

v

v

v

v

v

v

V R

 0.9 V S

Ondas Elásticas Ondas Elásticas

 

E

E

V

M

P

V  ; 



G

S

V 

S

V

R

V  0 , 9

PROPAGACIÓN DE ONDAS PROPAGACIÓN DE ONDAS

Richart et al., (1970)

Ondas Elásticas Ondas Elásticas

( ) z j ( t z )

o

j t z

z o

u u e u e e

       

 

ECUACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA

PROPAGACIÓN PROPAGACIÓN

CONSTANTE DE CONSTANTE DE

PROPAGACIÓN PROPAGACIÓN

    j 

V

 f D



2



V



 

CONSTANTE DE CONSTANTE DE

ATENUACIÓN ATENUACIÓN

NUMERO DE ONDA NUMERO DE ONDA

AMORTIGUAMIENTO AMORTIGUAMIENTO

MATERIAL MATERIAL

cc

c

D 



1

 d

S

PROFUNDIDAD DE PROFUNDIDAD DE

PIEL PIEL

Ondas ElásticasOndas Elásticas

ATENUACIÓN MATERIAL ATENUACIÓN MATERIAL

PROPAGACIÓN DE ONDAS PROPAGACIÓN DE ONDAS

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

D S D S

V

Seno f

V

Seno e

V

Seno b

V

Seno a

  

a a

b

P P S v

S P v

e

f

1

2

b b

a

P

e

f

1

2

S v

S v

P

S v

b b

f

1

2

S h

S h

S h

Ondas Elásticas Ondas Elásticas

Coeficiente de Reflexión:

Coeficiente de Transmisión:

Impedancia Del Material :

INCIDENCIA NORMAL

z 2

z 1

A i

A r

R

A

A

Z Z

Z Z

R

I

2 1

2 1

T  1  R

Z V A A E c

   

Ondas Elásticas Ondas Elásticas

Es

Emax

σy

εy

E 50

σy

σymax/

εy

Et

Ondas Elásticas Ondas Elásticas

MEDICIÓN DEL MÓDULO MEDICIÓN DEL MÓDULO

EN LABORATORIO EN LABORATORIO

MEDICIÓN DEL MÓDULOMEDICIÓN DEL MÓDULO

EN LABORATORIO EN LABORATORIO

Kim (1991)

COLUMNA RESONANTE-TORSIONAL

RESULTADOS EN RESONANCIA

I

I

L

V

tan

L

V o

t

s

t

s



 

Kim (1990)

COLUMNA RESONANTE-TORSIONAL

AMORTIGUACIÓN LIBRE