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Momento Lineal, Momento Angular
& Momento Radial
Antonio A. Blatter
Licencia Creative Commons Atribuci´on 3. (2015) Buenos Aires Argentina
Este trabajo presenta el momento lineal, el momento angular y el momento radial de un sistema de N part´ıculas, que dan origen a las leyes de conservaci´on del momento lineal, del momento angular y de la energ´ıa.
Momento Lineal
El momento lineal P de un sistema de N part´ıculas con respecto a un punto O (con posici´on Ro, velocidad Vo y aceleraci´on Ao) est´a dado por:
P =
i mi^ (vi^ −^ Vo)
d(P)/dt =
i mi^ (ai^ −^ Ao)
F =
i (Fi^ −^ miAo)
La ecuaci´on (F) s´olo puede ser v´alida si el punto O logra que Ao sea igual a cero. Por lo general, en el momento lineal el punto O es el origen O del sistema de referencia, logrando que Ro, Vo y Ao sean siempre iguales a cero. Sin embargo, el punto O no necesariamente tiene que ser el origen O del sistema de referencia. La ´unica condici´on aqu´ı es que la aceleraci´on Ao del punto O debe ser igual a cero.
Ahora, relacionando P y F con las magnitudes lineales v y a, se obtiene:
P = M v
d(P)/dt = F = M a
donde M ( =
P i mi)^ es la masa del sistema de part´ıculas,^ v^ y^ a^ son la velocidad y la aceleraci´on (lineales) del sistema de part´ıculas (con respecto al punto O)
Por lo tanto, se deduce que el momento lineal P de un sistema aislado de N part´ıculas permanece constante si las fuerzas internas F(int) logran anularse.
Momento Angular
El momento angular L de un sistema de N part´ıculas con respecto a un punto O (con posici´on Ro, velocidad Vo y aceleraci´on Ao) est´a dado por:
L =
i mi^ [ (ri^ −^ Ro)^ ×^ (vi^ −^ Vo) ]
d(L)/dt =
i mi^ [ (ri^ −^ Ro)^ ×^ (ai^ −^ Ao) ]
M =
i [ (ri^ −^ Ro)^ ×^ (Fi^ −^ miAo) ]
La ecuaci´on (M) s´olo puede ser v´alida si el punto O logra que Ao sea igual a cero o si el punto O es el centro de masa del sistema de part´ıculas, puesto que:
∑ i [ (ri^ −^ Rcm)^ ×^ (Fi^ −^ miAcm) ] =^
i [ (ri^ −^ Rcm)^ ×^ Fi^ ]
Ahora, relacionando L y M con las magnitudes angulares ω y α, se obtiene:
L = I · ω
d(L)/dt = M = I · α + ˙I · ω
donde I es el tensor de inercia del sistema de part´ıculas, ω y α son la velocidad y la aceleraci´on (angulares) del sistema de part´ıculas (con respecto al punto O)
I =
i mi^ [^ |(ri^ −^ Ro)|
(^2 1) − (ri − Ro) ⊗ (ri − Ro) ]
˙I · ω = − ( M 1 + M 2 )
M 1 = −
i mi^ (ri^ −^ Ro)^ × {^2 ω^ ×^ (vi^ −^ Vo)^ }
M 2 = +
i mi^ (ri^ −^ Ro)^ × {^ ω^ ×^ [^ ω^ ×^ (ri^ −^ Ro) ]^ }
Si M 1 y M 2 son considerados como momentos ((ficticios)) de manera tal que resulte la igualdad ( M∗^ = M + M 1 + M 2 ) entonces se logra:
L = I · ω
M∗^ = I · α
Por lo tanto, se deduce que el momento angular L de un sistema aislado de N part´ıculas permanece constante si los momentos internos M (^) (int) logran anularse.
Ahora, si ∆T es considerado como el trabajo W realizado por las fuerzas que act´uan sobre un sistema de part´ıculas, entonces:
W =
i [^
1 Fi^ ·^ d(ri^ −^ Ro) + ∆^1 /^2 Fi^ ·^ (ri^ −^ Ro) ]
Por lo tanto, siempre resulta la siguiente igualdad:
W =
i ∆^ (^1) / 2 mi [ (vi − Vo) · (vi − Vo) + (ai − Ao) · (ri − Ro) ]
Si la expresi´on del lado derecho de la igualdad anterior es considerada como la variaci´on en la energ´ıa cin´etica K de un sistema de part´ıculas, entonces:
∆ K =
i ∆^1 /^2 mi^ [ (vi^ −^ Vo)^ ·^ (vi^ −^ Vo) + (ai^ −^ Ao)^ ·^ (ri^ −^ Ro) ]
Por lo tanto, siempre resulta tambi´en la siguiente igualdad: W = ∆ K
Ahora, dado que el trabajo W realizado por las fuerzas conservativas que act´uan sobre un sistema de part´ıculas es igual y de signo opuesto a la variaci´on en la energ´ıa potencial U del sistema de part´ıculas, entonces:
∆ U = −
i [^
1 Fi^ ·^ d(ri^ −^ Ro) + ∆^ (^1) / 2 Fi · (ri − Ro) ]
Por lo tanto, se deduce que la energ´ıa mec´anica E de un sistema de N part´ıculas permanece constante si el sistema est´a sujeto s´olo a fuerzas conservativas.
∆ E = ∆ K + ∆ U = 0 → E = K + U = constante
Las magnitudes E , K y U est´an relacionadas con las magnitudes convencionales E ′, K ′^ y U ′. De hecho, la energ´ıa mec´anica E de un sistema de part´ıculas es igual a la energ´ıa mec´anica convencional E ′^ del sistema de part´ıculas (E = E ′) puesto que:
∑ i (^1) / 2 mi (ai − Ao) · (ri − Ro) − ∑ i (^1) / 2 Fi · (ri − Ro) = 0
Sin embargo, si todos los sistemas de referencia inerciales y no inerciales eligen el mismo punto O (el centro de masa del sistema de part´ıculas) entonces las magnitudes E , K y U son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia y los sistemas de referencia no inerciales no deben introducir las fuerzas ficticias sobre Fi.
En esta secci´on, por lo tanto, se obtienen las siguientes relaciones:
G = 1 / 2 M ( ˙r r )
d(G)/dt = 1 / 2 M ( ˙r r˙ + ¨r r ) = K
d(∆G)/dt = ∆T = ∆ 1 / 2 M ( ˙r r˙ + ¨r r ) = W = ∆ K
Observaciones
Todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial.
Los sistemas de referencia no inerciales en la secci´on Momento Lineal y en la secci´on Momento Angular s´ı deben introducir las fuerzas ficticias sobre Fi.
Los sistemas de referencia no inerciales en la secci´on Momento Radial no deben introducir las fuerzas ficticias sobre Fi (en T , en W y en U ) si el punto O es el centro de masa del sistema de part´ıculas.
El momento lineal de un sistema de part´ıculas est´a relacionado con las magnitudes lineales y especialmente con la velocidad lineal (m/s) del sistema de part´ıculas.
El momento angular de un sistema de part´ıculas est´a relacionado con las magnitudes angulares y especialmente con la velocidad angular (rad/s) del sistema de part´ıculas.
El momento radial de un sistema de part´ıculas est´a relacionado con las magnitudes radiales y especialmente con la velocidad escalar (m^2 /s) del sistema de part´ıculas.
La energ´ıa mec´anica E , la energ´ıa cin´etica K y la energ´ıa potencial U de un sistema de part´ıculas est´an relacionadas con las magnitudes radiales y especialmente con la aceleraci´on escalar (m^2 /s^2 ) del sistema de part´ıculas.
Si el punto O es el centro de masa de un sistema de part´ıculas entonces la energ´ıa mec´anica E , la energ´ıa cin´etica K y la energ´ıa potencial U del sistema de part´ıculas son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia.
La energ´ıa mec´anica E de un sistema de part´ıculas es igual a la energ´ıa mec´anica convencional E ′^ del sistema de part´ıculas (E = E ′)
Bibliograf´ıa
A. Einstein, Sobre la Teor´ıa de la Relatividad Especial y General.
G · Gamow, Uno, Dos, Tres, ... Infinito.
E. Mach, La Ciencia de la Mec´anica.
H. Goldstein, Mec´anica Cl´asica.
