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Movimiento ondulatorio
Tipos, según su propagación
ONDA LONGITUDINAL ONDA TRANSVERSAL
ONDA : Es la propagación de una perturbación a través de un medio material
Tipos, según su naturaleza:
Ondas mecánicas : Se propaga a
través de un medio material, ejemplo,
el sonido, los sismos.
Ondas electromagnéticas : Su
propagación no requiere de un medio material,
puede propagarse por el vacío, ejemplo, la luz.
IMPORTANTE
¡En el movimiento
ondulatorio se transmite
energía, pero no materia!
¡Las ondas mecánicas
necesitan de un medio para
propagarse, tal como
ocurre con el sonido!, pero
no así la luz
ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
La solución más simple con la que podemos modelar matemáticamente una onda es
representarla por una función seno o coseno
Cuando se propaga un movimiento ondulatorio armónico, un punto x del medio
describe un Movimiento Armónico Simple de amplitud A y frecuencia angular w
w = k v****.
y (x,t) = A·sen (kx - w t + φ )
El periodo de la oscilación es T = 2 /w , y la frecuencia
f = 1 /T.
V es la velocidad de propagación de la
onda
Onda que se propaga
en el eje X, también se
la llama función de
onda
Φ es la fase inicial de la función de
onda, se obtiene cuando tenemos
información de y en t=0.
2
2
2
2
2
x
y
v
t
y
LONGITUD DE ONDA ( λ)
Es la distancia que hay entre dos puntos consecutivos de la perturbación que oscilan
en la misma fase. Su unidad es el metro
ELEMENTOS DE UNA ONDA
AMPLITUD (A)
Es la altura de un antinodo (cresta) o la profundidad de un nodo (valle) con respecto a la
posición de equilibrio de la onda.
La amplitud es usada para medir la energía transferida por la onda. Cuando mayor es la
amplitud, mayor es la energía transferida (la energía transportada por una onda es proporcional
al cuadrado de su amplitud).
Cresta o antinodo
valle
Período (T)
Es el tiempo que la perturbación invierte en recorrer una distancia igual a
una longitud de onda. Su unidad de medida es el segundo (s)
Frecuencia (f)
Es el número de longitudes de ondas que avanza la onda en cada
segundo. Su unidad de medida es el hertz (Hz) que es igual a una
vibración por segundo. El periodo y la frecuencia son inversos entre sí.
T
f
f
T
Como podemos apreciar, la velocidad de propagación de una onda transversal
en una cuerda tensa no depende ni de su frecuencia, ni de su longitud de onda
ni de su amplitud.
Velocidad de propagación en una cuerda tensa
T = fuerza o tensión en la cuerda (Newton)
μ = m / L densidad lineal de masa (kg /m)
v = velocidad (m /s)
m = masa (kg)
L = longitud de la cuerda (m)
𝑣=
𝑇
𝜇
Ejemplo 1
- ¿Cual es la velocidad de las ondas transversales en una cuerda de 2m
de longitud y 100g de masa, sometido a una tensión o fuerza de 80 N?
Solución
DATOS
m = 0.1 kg
L = 2 m
T = 80 N
Como: 𝑣=
√
𝑇
𝜇
𝑣=
√
80
𝜇
Y como:
𝜇=
𝑚
𝐿
𝜇=
0.1 𝑘𝑔
2 𝑚
Por tanto,
𝑣=
√
80
𝜇
𝑣=
√
80
Ejemplo 2.
La elongación de una onda en función de la posición y el tiempo está dada por:
a) La dirección de propagación de la onda.
b) La amplitud de la onda, el valor del número de onda, el valor de la frecuencia
angular, su periodo , frecuencia y longitud de onda (λ).
c) La velocidad de propagación de la onda en m/s
d) La velocidad de las partículas del medio en la posición 2 m.
con x en metros y t en segundos. Hallar:
y 8 sen ( 3 x 1 020 t )
Solución
DATO:
a) La dirección de propagación de la onda.
Se dirige hacia el eje X+
b) La amplitud de la onda, el valor del número de onda, el valor de la frecuencia
angular, su periodo, frecuencia y longitud de onda (λ).
Para responder a estas preguntas, lo compararemos con:
De donde se observa que:
Amplitud de la onda = A = 8 m
El número de onda= k= 3 m
La frecuencia angular= w= 1020 rad/s
Para obtener el periodo y la frecuencia, podemos usar: 𝑤= 2 𝜋 𝑓
𝑤=
2 𝜋
𝑇
o
Hallando la
frecuencia:
𝑤= 2 𝜋 𝑓
𝑓 =
𝑤
2 𝜋
𝑓 =
1020
2 𝜋
=162.3380 𝐻𝑧
𝑇 =6.16 𝑥 10
− 3
𝑠
y 8 sen ( 3 x 1020 t )
PROBLEMA
La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda viene
dada por
escrita en el SI.
Hallar:
La velocidad de propagación de la onda.
La velocidad y aceleración máxima de las partículas de la cuerda
SOLUCIÓN
DATOS:
A=10 m
w=2π rad/s
ESTRATEGIA
Para la pregunta a) usaremos la fórmula v= λf, la
longitud de onda λ lo obtenemos del número de onda k.
Para la pregunta b) para hallar la velocidad y la
aceleración derivamos la función de onda y luego vemos
la parte máxima
)
0 , 10
( , ) 10 ( 2
x
x t Sen t
DATOS:
A=10 m
w=2π rad/s
a) Hallando la velocidad de propagación
𝑣=
2 𝜋
𝑘
𝑤
2 𝜋
𝑣=
𝑤
𝑘
¿
2 𝜋
𝜋
b) Hallando la velocidad máx. y aceleración máx.
Como:
𝜓= 10 𝑠𝑒𝑛( 2 𝜋 𝑡 −
𝜋
𝑥 )
𝑣=
𝑑 𝜓
𝑑𝑡
¿ 10 (^2 𝜋)^ cos ( 2 𝜋 𝑡 −
𝜋
𝑥) (^) De donde:
𝒗 𝒎𝒂𝒙
= 𝑨𝒘
𝑣 𝑚𝑎𝑥
𝑎=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
¿ 10 ( 2 𝜋 )
2
sen ( 2 𝜋 𝑡 −
𝜋
𝑥 ) De donde: (^) 𝒂 𝒎𝒂𝒙
= 𝑨 𝒘
𝟐
¿ 10 ( 2 𝜋 )
2
¿ 𝟑𝟗𝟒. 𝟖 𝒎 / 𝒔
𝟐
DATOS: Como:
T= 40 N
L1=6m
m1= 0.150 kg
L2= 4 m
m2 =0.400 kg
𝜇 1
=
𝑚 1
𝐿 1
¿
0.150 𝑘𝑔
6 𝑚
¿ 0.025 𝐾𝑔 /𝑚
𝜇 2
=
𝑚 2
𝐿 2
¿
0.400 𝑘𝑔
4 𝑚
¿ 0.100 𝐾𝑔 /𝑚
Por lo que:
𝑣 1
=
√
𝑇
𝜇 1
¿
√
40
𝑣 2
=
√
𝑇
𝜇 2
¿
√
40
Por tanto:
𝑡 =𝑡 1
+𝑡 2
¿
𝑒 1
𝑣 1
𝑒 2
𝑣 2
¿
6
40
4
20
Ejercicio
Una persona está jugando con la cuerda para tender: desata un extremo, tensa la cuerda y
mueve el extremo hacia arriba y hacia abajo senoidalmente, con una frecuencia de 2.00 Hz y
una amplitud de 0.075 m. La rapidez de onda es 12 m/s. En t = 0, el extremo tiene
desplazamiento positivo máximo y está en reposo instantáneamente. Suponga que ninguna
onda rebota del extremo lejano para complicar el patrón. a ) Calcule la amplitud, la
frecuencia angular, el periodo, la longitud de onda y el número de onda. b ) Obtenga una
función de onda que la describa.
Solución
DATOS
f= 2 Hz
A= 0.075 m
v= 12 m/s
Condición inicial: En t=0, x=0, y= A= 0.075 m
a ) Calcule la amplitud, la frecuencia angular, el periodo, la longitud de
onda y el número de onda
A=0.075 m
La frecuencia angular=
El periodo=
Para la longitud de onda, usamos
𝑘=
2 𝜋
𝜆
=
2 𝜋
6
=
𝜋
3
𝑚
− 1
