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MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Y UNIFORMEMENTE ACELERADO
I.E.S La Magdalena.
Avilés. Asturias
Vamos a considerar ahora movimientos en los que su velocidad varíe. Lo primero que necesitamos cono- cer es cómo varía la velocidad con el tiempo. De todos los movimientos variados hay uno, singularmente importante, en el que la velocidad varía de forma uniforme con el tiempo. Esto es, la velocidad varía (aumentando o disminuyendo) siempre lo mismo en un segundo. Este tipo de movimiento se denomi- na movimiento uniformemente acelerado.
Tiempo (s) Velocidad (m/s)
0,00 0,
1,00 10,
2,00 20,
3,00 30,
4,00 40,
5,00 50,
6,00 60,
7,00 70,
8,00 80,
9,00 90,
10,00 100,
Para el ejemplo anterior se puede calcular la aceleración de la siguiente manera:
Para t = 0,00 (momento en el que se empieza a contar el tiempo) la velocidad es nula, y en el instante t = 1,00 s la velocidad vale 10,00 m/s, luego:
Podemos hacer el cálculo entre los instantes t = 2,00 s y t = 8,00 s. En este caso:
Si repetimos el cálculo para dos instantes cualesquiera nos saldría lo mismo. La aceleración es constante y vale 10 m/s^2 , lo que significa que la velocidad aumenta diez unidades (10 m/s) cada segundo.
La aceleración es un vector, que puede apuntar en la misma dirección que la velocidad, o en sentido con- trario.
Cuando usemos ecuaciones indicaremos el sentido del vector mediante el signo + ó - (ver ejemplos en las
páginas siguientes)
Fíjate en la tabla de la derecha, en ella se puede observar que la velocidad varía de manera uniforme: aumenta diez unidades ca- da segundo. La aceleración mide, precisamente, la tasa de variación de la velocidad, o lo que es lo mismo, la rapidez con que varía la velocidad. En el ejemplo propuesto la velocidad aumenta 10 m/s cada segun- do. El valor de la aceleración para este caso será de 10 m/s^2 Podemos calcular la aceleración de la forma siguiente:
El numerador de la expresión anterior calcula lo que varía la velo- cidad (se le llama "incremento" de v). El denominador calcula el tiempo transcurrido (se le denomina "incremento" de t).
v v v
a
t t t
2 1 2 1
Incremento de v
Incremento de t
m
v v s m
a
t t s s
2 1 2 2 1
m
v v s m
a
t t s s
2 1 2 2 1
> La trayectoria es una recta
> La aceleración es constante
MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA)
Observa que en el mismo intervalo de tiempo (1 s) cada vez recorre más espacio, ya que la velocidad va aumentando.
1 m 4 m 9 m 16 m 25 m
1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s
36 m 2 m/s 4 m/s 6 m/s 8 m/s (^) 10 m/s 12 m/s
La velocidad aumenta siempre lo mismo en 1 s. La aceleración es constante. La velocidad aumenta linealmente con el tiempo.
La aceleración mide la rapidez con la que varía la velocidad. Se mide en m/s^2. Así una acelera- ción de 5 m/s^2 indica que la veloci- dad aumenta a razón de 5 m/s cada segundo.
La gráfica v - t es una recta. La inclinación de la recta depende de la aceleración. Para calcular v 0 determinar el punto de corte de la recta con el eje “v”
Para calcular la aceleración del movimiento, calcular la pendiente de la recta
La gráfica s/t es una parábola. La aceleración es positiva si la parábola se abre hacia arriba y negativa si lo hace hacia abajo. Cuanto más cerrada sea la parábola, mayor aceleración El desplazamiento inicial s 0 se determina viendo el pun- to de corte con el eje “s”
s
t
a 2 a 1
a 2 > a 1
s 0 = 0
v 2
v 1
t
t
v a
∆ v= v 2 – v 1
∆ t= t 2 – t 1
v
t 1 t 2
Ecuaciones:
v = v 0 + a t
s = s 0 + v 0 t + ½ a t 2
Donde:
v 0 = velocidad cuando t =
s 0 = distancia al origen cuando t =
s = distancia al origen (puede que no coincida con el
espacio recorrido) t = 0, significa cuando empieza a contarse el tiempo o cuando se aprieta el cronómetro
Ejemplo 2
Un cuerpo parte del reposo y comienza a moverse. Los datos tomados se recogen en la tabla adjunta. Indicar qué tipo de movimiento tiene y de- terminar las ecuaciones para el mismo. Solución: Como se observa en la tabla adjunta el espacio recorrido no varía lineal- mente con el tiempo. Esto es: en el intervalo de un segundo recorre cada vez más espacio. Esto indica que su velocidad va aumentando. Si se tra- ta de un movimiento uniformemente acelerado el aumento de velocidad, o lo que es lo mismo, su aceleración, será constante.
t( s) s ( m) 0 10 1 13 2 22 3 37 4 58 5 85
Si el movimiento es uniformemente acelerado deberá cumplir la ecuación: s = s 0 + v 0 t + ½ a t^2. Como en este caso v 0 = 0, la ecuación quedará: s = s 0 + ½ a t^2.
Despejando a : (^20)
a t s s 2
0 2
2 s s a t
Usando la ecuación anterior vamos probando con datos correspondientes de t y s comprobamos si el valor de a es constante:
Por tanto estamos ante un movimiento uniformemente acelerado con (^2)
m a 6 s
Para obtener las ecuaciones determinamos el valor de v 0 y s 0 : v 0 = 0 , ya que nos lo dicen en el enunciado s 0 = 10 m, ya que es el valor de s cuando t = 0 (ver tabla). Ecuaciones:
Los cuerpos cuando son lanzados al aire o caen libremente, están sometidos a una aceleración constante de 9,8 m/s^2 (que por simplicidad aproximaremos a 10,0 m/s^2 ), y que apunta hacia abajo (aceleración de la gravedad), y llevan un movimiento uniformemente acelerado.
Ejemplo 3
Una piedra es lanzada verticalmente y hacia arriba con una velocidad de 15 m/s. Determinar: a) Ecuaciones del movimiento. b) Altura máxima alcanzada. c) Valor de la velocidad cuando t = 0,8 s y t = 2,3 s. Comentar Solución: Esquema: Origen : el suelo (punto de lanzamiento) Sentido positivo : hacia arriba Determinación de v 0 : ¿Cuál es la velocidad cuando t = 0? El tiempo empieza a contar cuando la piedra sale de la mano. Luego v 0 = 15 m/s Determinación de s 0 : ¿A qué distancia del origen está la piedra cuando t =0? Cuando se lanza la piedra está en el punto de lanzamiento (origen). Luego s 0 = 0
Determinación del valor de a : a = g = - 10 m /s2.^. El signo menos se debe a que la
aceleración apunta hacia abajo y hemos considerado sentido positivo hacia arriba. a ) Ecuaciones:
v = 6 t s = 10 + 3 t^2
2
m g 10 s
m v 15 s
v = 15 – 10 t s = 15 t – 5 t 2
2 2 2
2 13 10 m (^) m a 6 1 s s
2 2 2
2 22 10 m (^) m a 6 2 s s
2 2 2
2 37 10 m (^) m a 6 3 s s
b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? Traducción al lenguaje ecuación: ¿Para qué valor de t, v = 0? (ya que en el punto de altura máxi- ma la piedra se detiene durante un instante)
Si v = 0 ; 0 = 15 – 10 t ;
t 1,5 s 10
. Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima
Para calcular la altura máxima alcanzada calculamos la distancia a la que se encuentra del origen cuando t = 1,5 s: s = hmax = 15. 1,5 – 5. 1,5 2 = 11,25 m. c) Valores de la velocidad: v (^) (t = 0,8) = 15 – 10. 0,8 = 7 m/s v (^) (t = 2,3) = 15 – 10. 2,3 = - 8 m/s Como se puede observar al cabo de 0,8 s del lanzamiento la piedra aún está en la fase ascenden- te, ya que el signo de la velocidad es positivo (sentido positivo: hacia arriba). Como se ve su velo- cidad va disminuyendo, debido a que durante el tramo de ascenso la aceleración lleva sentido contrario a la velocidad (movimiento decelerado) Al cabo de 2,3 s la piedra se mueve hacia abajo. El signo es negativo: sentido hacia abajo. Efecti- vamente, a los 1,5 s alcanza la altura máxima y como la aceleración continúa actuando, comienza su carrera de descenso, pero esta vez al tener el mismo sentido aceleración y velocidad, ésta au- menta.
Ejemplo 4.
La gráfica de la izquierda se ha obtenido tras estudiar el movimiento de un cuerpo. a) ¿Qué tipo de movimiento tiene? b) ¿Cuáles son sus ecuaciones? c) ¿Qué sucede para t = 5 s?
a) La gráfica v – t es una recta con pendiente negativa. Esto nos indica que la velocidad disminu- ye con el tiempo pero de forma lineal (la misma cantidad en 1 s). Luego el movimiento es uni- formemente acelerado (con aceleración negativa. También se llama decelerado). Para calcular la aceleración (deceleración) calculamos la pendiente de la recta v – t: .
Observa los valores tomados: t 1 = 0 v 1 = 40 ; t 2 = 5 v 2 = 0 b) Como no nos dan datos, podemos tomar para s 0 cualquier valor. Tomaremos s 0 = 0 v 0 = 40 m/s (leído en la gráfica) a = - 8 m/s^2 (calculado) Ecuaciones:
c) En la gráfica se puede leer que cuando t = 5 s, v = 0. Luego al cabo de 5 s se detiene (es un movimiento decelerado). Si t es mayor de 5 s, observa que la línea en la gráfica v – t rebasa el eje horizontal empezando la velocidad (valores del eje Y) a tomar valores negativos ¿cómo in- terpretas esto?
v (m/s)
5 t (s)
v = 40 – 8 t ; s = 40 t – 4 t^2
^
2 1 2 2 1
m v v 0 40 m Pendiente a s 8 t t 5 0 s s
