¡Descarga muestreo y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!
Muestreo y estimación: problemas resueltos
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de La Laguna
Índice
- Problemas resueltos 1 6.1. Distribuciones muestrales..................................... 1 6.2. Intervalos de confianza...................................... 3 6.3. Contraste de hipótesis....................................... 6
MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013
2/8 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA
Ejercicio 6.3. Un ascensor limita el peso de sus 4 ocupantes a 300 kilogramos. Si el peso de un individuo sigue una distribución normal N( 71 , 7 ), calcular la probabilidad de que el peso de 4 individuos supere los 300 kilogramos.
RESOLUCIÓN. Considerando que el peso de cada persona presenta una distribución normal con μ = 71 y σ = 7, al seleccionar una muestra de 4 personas tenemos que:
P(X 1 + X 2 + X 3 + X 4 > 300 ) = P
( X 1 + X 2 + X 3 + X 4
4 >^
= P(X > 75 ) = P
Z > 75 √− 7 71
4
= P(Z > 1. 143 ) = 1 − P(Z < 1. 143 ) = 1 − 0. 8735 = 0. 1265.
Ejercicio 6.4. Se prueba el rendimiento, en kilómetros por litro, de dos tipos de gasolina, encontrándose una desviación estándar de 1. 23 kilómetros por litro para la primera gasolina y una desviación estándar de
- 37 kilómetros por litro para la segunda. Se prueba la primera gasolina en 35 vehículos, y la segunda en
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina dé un rendimiento promedio mayor de 0. 45 kilómetros por litro que la segunda gasolina? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0. 65 y 0. 83 kilómetros por litro a favor de la primera gasolina?
RESOLUCIÓN. Tenemos que σ 1 = 1 .23 km/L y σ 2 = 1 .37 km/L, con n 1 = 35 y n 2 = 42. a) En este caso:
P(X 1 − X 2 > 0. 45 ) = P
Z > √ 0.^45 −^0
= P(Z > 1. 52 )
= 1 − P(Z < 1. 52 ) = 1 − 0. 9358 = 0. 0642.
OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA
MUESTREO Y ESTIMACIÓN: PROBLEMAS RESUELTOS 3/
b) Ahora:
P( 0. 65 < X 1 − X 2 < 0. 83 ) = P
√ 0.^65 −^0
1. 3523 2 + 1. 42372 <^ Z^ <^
√ 0.^83 −^0
= P( 2. 19 < Z < 2. 80 )
= P(Z < 2. 80 ) − P(Z < 2. 19 ) = 0. 9974 − 0. 9857 = 0. 0117.
6.2. Intervalos de confianza
Ejercicio 6.5. Se ha comprobado que la concentración promedio de zinc que se saca del agua de un río a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2. 6 gramos por mililitro. Encontrar los intervalos de confianza del 95 % y 99 % para la concentración media de zinc en el río, suponiendo que la desviación típica de la población es 0. 3.
RESOLUCIÓN. En el primer caso 1 − α = 0 .95, es decir, α = 0 .05, de donde Zα/ 2 = 1 .96. Como σ = 0 .3, n = 36 y X = 2 .6, podemos afirmar que
IC = 2. 6 ± 1.^96 √^36 ·^0.^3 = ( 2. 50 , 2. 70 ),
y μ ∈ IC al 95 %.
En el segundo caso 1 − α = 0 .99, es decir, α = 0 .01, de donde Zα/ 2 = 2 .575. Con el resto de los datos igual que en el caso anterior, sigue que
IC = 2. 6 ± 2.^575 √ 36 ·^0.^3 = ( 2. 47 , 2. 73 ),
de donde se concluye que μ ∈ IC al 99 %.
Ejercicio 6.6. Determinar un intervalo de confianza al nivel α = 0. 05 para la probabilidad de que un recién nacido sea niño, si en una muestra de tamaño 123 se han contabilizado 67 niños.
MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013
MUESTREO Y ESTIMACIÓN: PROBLEMAS RESUELTOS 5/
en el fabricante y aceptar el lote.
Ejercicio 6.8. El peso de los terneros de una granja se distribuye normalmente, con desviación típica de 10 kilogramos. Se toma al azar una muestra de 35 de ellos para transportarlos en un camión. Sabiendo que el peso medio resulta ser de 140 kilogramos, determinar un intervalo de confianza al 8 % de nivel de significación en el que oscilará el peso de los 35 terneros.
RESOLUCIÓN. La variable X =‘peso de los terneros’ sigue una distribución normal N(μ, 10 ), con μ desco- nocida. Al ser el tamaño de la muestra mayor que 30 podemos considerar que la suma de los pesos, esto es, 35 X, sigue una distribución normal N( 35 · 140 , 10 √ 35 ), con lo que, al nivel de confianza del 92 %, tendríamos el intervalo:
IC = n X ± Zα/ 2 σ √n = 35 · 140 ± 1. 75 · 10 √ 35 = 4900 ± 103. 53 = ( 4796. 5 , 50053. 53 ).
Ejercicio 6.9. Dos compañías A y B fabrican el mismo tipo de cable. Un distribuidor desea conocer la diferencia promedio de la resistencia a la rotura de los mismos, para lo cual toma muestras de 100 cables de A y 50 cables de B. La muestra de los cables de la compañía A arroja una resistencia promedio a la rotura de 4500 kilogramos, mientras que los cables de la compañía B arrojan una resistencia promedio a la rotura de 4000 kilogramos. Se sabe, por experiencia, que la desviación típica de la resistencia a la rotura es de 300 kilogramos para la compañía A y de 200 kilogramos para la compañía B. Se pide estimar, con un nivel de confianza del 95 %, el intervalo de confianza de la diferencia de medias de la resistencia a la rotura entre los dos cables, si la resistencia a la rotura se distribuye normalmente para ambas compañías.
RESOLUCIÓN. Por los datos aportados sabemos que n 1 = 100, n 2 = 50, μ 1 = 4500, μ 2 = 4000, σ 1 = 300, σ 2 = 200, α = 0 .05 y Zα/ 2 = 1 .96. De aquí sigue que:
IC = ( 4500 − 4000 ) ± 1. 96
100 +^
50 = (^419.^19 ,^580.^81 ).
Es decir, P( 419. 12 < μ 1 − μ 2 < 580. 81 ) = 0. 95. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013
6/8 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA
Podemos interpretar la expresión anterior diciendo que, con un nivel de confianza del 95 %, la diferencia de los promedios a la rotura de ambos cables fluctúa entre 419.19 y 580.81 kg.
6.3. Contraste de hipótesis
Ejercicio 6.10. Se quiere comprobar si una máquina destinada al llenado de envases de agua mineral ha sufrido un desajuste. Una muestra aleatoria de 10 envases de esta máquina ha proporcionado los siguientes resultados:
- 49 0. 52 0. 51 0. 48 0. 53 0. 55 0. 49 0. 50 0. 52 0. 49. Suponiendo que la cantidad de agua mineral que este tipo de máquinas deposita en cada envase sigue una distribución normal de media 0. 5 litros y desviación típica 0. 02 litros, se desea contrastar si el contenido medio de los envases de esta máquina es de 0. 5 litros, con un nivel de significación del 5 %. a) Plantear las hipótesis nula y alternativa del contraste. b) Determinar la región crítica del contraste. c) Realizar el contraste.
RESOLUCIÓN. a) Hipótesis nula H 0 : μ = 0 .5; hipótesis alternativa H 1 : μ 6 = 0 .5. b) En nuestro caso: μ = 0 .5, σ = 0 .02, α = 0 .05 y Zα/ 2 = 1 .96. Por tanto, la región de aceptación será ( μ 0 − Zα/ 2 √^ σn , μ 0 + Zα/ 2 √^ σn
y la región crítica, R( 0. 4876 , 0. 5124 ). c) Se tiene:
X = 1 n ∑Xi = 510.^08 = 0. 508.
Como 0. 508 ∈ ( 0. 4876 , 0. 5124 ), aceptamos la hipótesis nula μ = 0 .5 litros a un nivel de significación del 5 %, pudiendo concluir que la máquina no ha sufrido desajustes.
Ejercicio 6.11. Un laboratorio farmacéutico sostiene que uno de sus productos es efectivo en un 90 % para reducir una alergia en 8 horas. El medicamento dio buen resultado en 160 personas de una muestra de 200.
OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA
8/8 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA
de aceptación será:
( −∞, μ 0 + Zα √^ σn
−∞, 18 + 1. 645 √^620
Por consiguiente, si X < 20 .2 aceptamos remolacha de regadío con una confianza del 95 %.
OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA
