Notes D'Algebra Lineal, Apuntes de Álgebra Lineal

¡Descarga Notes D'Algebra Lineal y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!

Enrie Nart

Notes d' álgebra lineal

Departament de Matematiques

Universitat Autónoma de Barcelona Servei de Publicacions Bellaterra, 2003

Aquest Ilibre s'ha publicat amb la col-laboraeió de la Generalitat de Caralunya,

Primera edició: setembre de 2003 Edició i impressió: Servei de Publicacions Universitat Autónoma de Barcelona Edifici A. 08193 Bellaterra (Barcelona). Spain [email protected] Irnpres a Catalunya

Diposit legal: B. 34.863- ISBN 84-490-2325-

_-ot,es d 'álgebra lineal Materials 5

Presentació

L'algebra lineal és la disciplina matemática que estudia els fenomens lineals, en qualsevol ámbit on es produeixen. La linealitat és la capacitat que tenen alguns objectes de ser sumats i/ o magnificats per nombres. Moltes entitats, procedents de diverses arees científiques, gaudeixen d'aquesta capacitat i les in- teraccions mútues que experimenten s'acostumen a reflectir en equacions lineals, com ara: 1 2 x - 11 y + J5 z = O.

Al batxillerat s'estudien equacions lineals com aquesta, on les lletres x, y, z

representen nombres-incógnita que es volen determinar. En aquest curs, aspirem a controlar els fenomens lineals en tota la seva extensió, de manera que estu-

diarem equacions lineals on els símbols x, y, z podran designar objectes molt

diversos: nombres, matrius, polinomis, funcions, les cel-les de memoria d'un or- dinador, etc. Aquesta aspiració ens fa distingir dos nivells ben diferenciats en el contingut del curso En una primera part, d'unes quatre setmanes de durada, revisem a fons la problemática que envolta la resolució de sistemes d'equacions lineals classics. En tota aquesta part es treballa a un nivell de máxima con- creció i en són protagonistes exclusives les matrius i diferents tecniques per manipular-les: operacions amb matrius, inversió, esglaonament, calcul de rangs i determinants, etc. Aquestes técniques s'utilitzen constantment al llarg de tot el curs i en constitueixen el fonament basic. En una segona part, d'unes sis setmanes de durada, es fa un salt considerable d'abstracció i es passen a estudiar els espais vectorials i les aplicacions lineals, que són els conceptes que millor modelitzen els fenomens lineals. Aquestes sis setmanes constitueixen la part essencial del curso Un dels objectius prioritaris d'aquesta part és fer adquirir a l'alumne la capacitat de viatjar, en les dues direc- cions, entre els nivells concret-abstracte que s'hauran treballat. D'una banda, 1elecció d'una base d'un espai vectorial permet assignar coordenades als seus vectors i amb aixo es pot traduir qualsevol problema lineal, plantejat en el nivell abstracte, a un problema numeric sobre matrius i sistemes d'equadons lineals. Un cop feta aquesta traducció, el problema es pot resoldre amb les tecniques estudiades a la primera part del curs, i la solució obtinguda es pot reinterpretar en el món abstracte per obtenir una solució del problema original.

a + b = b + a, ab^ =^ ba,^ Va,^ s^ «^ K.

Matrius i

sisternes d'equacions lineals

1 Matrius

1.1 Escalars i matrius. .Operacions amb matrius

A la natura tenen lloc fenomens lineals de molt diversa índole, en ambits molt diferents. Per exemple, sempre que dos objectes són sumats o bé un objecte és magnificat per un nombre. Tot fenomen lineal pressuposa la intervenció d'uns nombres o escalars, que poden variar segons el contexto Si volem aprendre a controlar fenornens lineals de tota mena, hem de desenvolupar tecniques que funcionin independentment del sistema de nombres emprat. Treballarem, dones, amb un sistema de nombres K generic, sense especificar. Tecnicament, perque K estigui capacitat .per suportar fenomens lineals cal imposar que tingui les propietats d'un cos commutatiu. Sota aquest nom s'agrupen una serie de propie- tats que podem resumir grosso modo dient que els elements de K es poden sumar) restar, multiplicar i dividir) excepte dividir per zero, i les operacions de suma i multiplicació són commutatives:

A la practica, en aquest curs només utilitzarem els següents cossos commu- tatius: K=Q,

K =]R.,

K=C,

K=Z2,

cos dels nombres racionals, cos dels nombres reals, cos dels nombres complexos, cos de la informática. EIs tres primers són ben coneguts. Hi ha una relació natural entre ells, donada pel fet que cada cos és una ampliació de l'anterior:

En canvi, Z2 és un món aparto És un sistema que conté només dos nombres:

Z2 = {a, 1},

que se sumen i multipliquen segons s'indica a les taules següents:

• a 1 o a 1 1 1 Q/ #m=

a o o 101

8 Materials Enric Nart

La:relació que pot resultar més estranya és:

de la qual es dedueix una altra relació ben singular:

1 = -1, a Z2.

En la transmissió digital d'informació, com per exemple la que es produeix quan escoltem música en un CD, la informació es codifica en forma d'una suc- cessió de zeros i uns. Sovint es produeixen errors en la transmissió d'aquests dígits i es fa necessari incorporar mecanismes de correcció d'errors. La majoria d'aquests mecanismes correctors estan basats en sofisticats processos lineals, i el

sistema numeric que els dóna suport és, essencialment, el cos K = Z2.

Matrius

Fixem un cos commutatiu K, els elements del qual seran els nostres nombres o

escalars. Una matriu m x n amb entrades de K és una taula rectangular d'elements

de K, amb m files i n columnes. Denotarem per Mmxn(K) el conjunt de totes

les matrius m x n amb entrades de K. Per exemple,

S'acostuma a representar abreujadament una matriu m x n per:

A = (aij) , 1::; i ::;m, 1 ::; j ::; n,

entenent que el terme aij s'ubica a la fila i i la columna j.

La matriu transposada d'una matriu A E Mmxn(K) és la matriu At^ E

Mnxm(K) que s'obté escrivint ordenadament les files de A en columna. Així, la

matriu transposada de A = (aij) és la matriu At^ = (bij) que té per entrades:

Per exemple, les matrius transposades de les matrius A, B anteriors són:

Clarament, (At)t = A, per a tota matriu A.

(A, B) f-+ AB.

10 Materials Enrie Nart

Exemple

(

2 1 O) A = -1 O ~ , (

-2 O O)

B = _~ 5 6 E 111 2x3(Q),

(

O 1 O)

A + B = _~ 5 1

2

12 6 O)

6A = -6 O 9 E M2x3(Q).

Podem manipular aquestes dues operacions de suma de matrius i producte de matrius per escalars de manera completament análoga a com manipulem la suma i el producte de nombres. Per exemple, si ens demanen trobar totes les

matrius X E M2x3(Q) que satisfan:

5X + 2A = 3B,

amb A, B les matrius de l'exemple anterior, podem resoldre aquesta equació

exactament com resoldríem una equació lineal amb una incógnita. 1

5X + 2A = 3B ~ 5X = 3B - 2A ~ X = 5(3B - 2A) =

= ~ 5 [(-6-2 25 28) - (!2 ~ ~)]= (~2 3;

Producte de matrius

El producte AB de dues matrius A i B només té sentit si el nombre de columnes

de la matriu situada a l'esquerra, A, coincideix amb el nombre de files de la

matriu situada a la dreta, B. En aquest cas, la matriu producte AB té el

mateix nombre de files que A i el mateix nombre de columnes que B.

L'operació de multiplicar matrius es pot pensar, dones, com una aplicació:

¿Com es fabrica la matriu producte AB?

Si A = (aij), B = (bij), aleshores AB = (Cij), amb:

En altres paraules, l'entrada (i, j) de la matriu producte AB és l'escalar que

s'obté multiplicant cadascun dels ti elements de la fila i de la matriu A amb

el corresponent element de la columna j de la matriu B, i sumant aquests ti

productes.

Exemple 1

G

,-..,

D

~"

(~i::n)

1-11 O

(^1 1) = (11 ~i: - 1~)

~º~

2

A B AB

_-otes d'algebra lineal Materials 11

Insistim en el fet que no sempre té sentit multiplicar dues matrius; depen de la seva mida i de l'ordre en que les vulguem multiplicar. A més a més, es tracta d'una operació altament no commutativa,

Remarques (1) Pot ser que el producte AE tingui sentit pero que el producte EA no estigui definit. Aixo passa amb les matrius de l'exemple 1: no té sentit fer BA, ja que no coincideixen el nombre de columnes de E (quatre) amb el nombre de fi.les de A (dues). (2) Pot ser que tinguin sentit els dos productes AE i EA, pero que no es puguin comparar porque siguin matrius de diferent mida. Per exemple:

A = (O 2 -3) E M'X3(Q), E = (~~) E M3x1(Q).

EA = G ~l T) E M3(Q)·

(3) Si A, B E Mn(K), aleshores els dos productes AE i EA tenen sentit i ón també matrius quadrades de mida n. No obstant aixo, si n > 1, tindrem

ovint AE i- BA. Per exemple:

Propietats del producte de matrius

1. Propietat associativa:

A(BC) = (AB)C, VA E Mmxn(K), VB E Mnxr(K), VC E Mrxs(K).

2. Propietat distributiva respecte de la suma, per la dreta i per l'esquerra:

A(B + C) = AB + AC,

(A + B)C = AC + BC,

VA E Mmxn(K), VE, C E Mnxr(K).

VA, E E Mmxn(K), VC E Mnxr(K).

3. Compatibilitat amb el producte per escalars:

(AA)B = A(AE) = A(AB), VA E Mmxn(K), VB E Mnxr(K), VA E K.

4. Anticommutativitat respecte de la transposició:

_-mes d'(ligebra lineal (^) Materials 13

Definició. Una matriu quadrada A E 'Mn(K) , diem que és inverlible siexisteix

alguna matriu quadrada B E Mn(K) que satisfa:

AB = BA = 1. (1.2)

Observació. Una matriu invertible no té cap fila. identicasnent tiul-la.

En efecte, si una matriu A té una fila nul-la, aleshores qualsevol producte

AB tindrá també una fila nulla i cap d'aquests productes no podrá coincidir mai amb la matriu identitat.

Propietat fonamental de les matrius invertibles

La propietat que caracteritza les matrius invertibles és que es poden cancel-lar en els dos membres d 'una igualtat quan es traben a la mateixa banda, dreta

o esquerra, d'un producte. En altres paraules, si A E Mn(K) és una matriu

invertible, aleshores:

eA = DA ===} e = D, ve, D E Mmxn(K),

Ae = AD ===} e = D, ve, DE Mnxr(K).

Raonem-ho. Imaginem que per a certes matrius e, D E Mmxn(K) es té

eA = DA. En aquest cas, si multipliquem els dos membres d'aquesta igualtat

per la dreta per una matriu B que satisfaci (1.2), tindrem:

(eA)B.= (DA)B ===} e(AB) = D(AB) ===} el = DI ===} e = D.

El raonament de la cancellacio de A per l'esquerra és analeg i el deixem com a exercici. Estem acostumats que en el món dels nombres tothom, excepte el zero.. cancel-la multiplicativament:

a =1= 0, ae = ad =====? e = d, Ve, d E K.

Aixo es deu al fet que tots els nombres, excepte el zero, són invertibles. En el món de les matrius tenim la mateixa situació: només les matrius invertibles cancel-Ien multiplicativament (quan multipliquen per la mateixa banda). La gran diferencia amb el món dels nombres rau en el fet que no tota matriu no tiulla és inverlible. Per exemple, per a les matrius:

A = (~1 ~2), e = (~ ~ :), D = (~ ~ ~),

enim: Ae = (2 - -1 6 i. com que e =1= D, A no pot ser invertible.

°0) =AD,

/

14 Materials Enrie Nart

Una tasca pendent, dones, és caracteritzar les matrius invertibles. Aixó es fara a la secció 2.3. La propietat de cancel-lacio permet deduir la unicitat de la matriu inversa

d'una matriu invertible. En efecte, si A E Mn(K) és invertible i hi ha dues

matrius B, B' E Mn(K) que satisfan (1.2), aleshores la relació AB = 1 = AB'

implica que B = B' perque podem cancel- lar A per l'esquerra.

Observació. Si A E Mn(K) és una matriu invertible, aleshores hi ha una

única matriu B E Mn(K) satisfent (1.2). Aquesta matriu s'anomena la matriu

inversa de A i es denota per B = A -1.

Denotarem per GLn(K) el conjunt de totes les matrius quadrades i invertibles

de mida n. Amb l'operació de multiplicar matrius, el conjunt GLn(K) té una

estructura de grup, no commutatiu si ti > 1, que s'anomena grup lineal d'ordre

n de K. Aquesta estructura de grup de GLn(K) es resumeix tecnicament en les

propietats següents, ben evidents: (1) La matriu identitat 1 és invertible i coincideix amb la seva propia inversa:

1 = 1-^1.

(2) Si A és invertible, la matriu inversa A -1 també és invertible i (A -1 )-1 = A és la seva inversa.

(3) Si A, B E Mn(K) són invertibles, aleshores el seu producte AB també

és invertible i (AB)-l = E-lA-l.

Aquesta darrera propietat és típica dels processos no commutatius. Si per calcar-nos ens posem primer els mitjons i després les sabates, per descalcar-nos ho hem de fer en l'ordre invers: primer treure'ns les sabates i després els mitjons.

O , '/,.^ --1.. I^ J.^ {^ O,^ i.^ <^ j^. -^^1 {^ O^ ,'/, ..< J

aij =.. =. , bij = 1, Z = J - 1 , Cij = _(l)i+j. >. '/" 't J (^) '/,-. (^) J,. (^) i. > J-. 1 ' '/,- J.

Exercicis

1. Siguin A = (aij) , B = (bij) , C = (Cij) les matrius 4 x 4 definid es per:

Escriviu explícitament A, B i C. Calculeu C^2 , C3 i An per a tot ti E N.

2. Es diu que dues matrius A, B E Mn(K) commuten si AB = BA. Trobeu totes

les matrius de NI 2 (Q) que commuten respectivament amb:

(

3 0), 03' ( (),^ ().

2 0)" 03'

16 Materials Enric Nart

Trobeu l'única matriu X E M3x2(Q!) que satisfa:

(

-1 2 3)-4' 1 1 X - 5 (2 -1) (-3 4! 1 -2 -2 O 12

) (^) (

20 -7) ~ = i~~ ,

9. Siguin A, B E Mn(K) amb B invertible i A no invertible. Proveu que l'equació AX = B no té solució a Mn(K). 8. Siguin A, B E Mn(K) invertibles. Trobeu totes les X E Mn(K) que satisfan:

AB-^1 AXA-^1 B + 9AB = O.

10. Proveu que hi ha infinites matrius X E M 2 (lR) que satisfan respectivament:

Proveu que, si X^2 = I i X i=- L, aleshores I + X no és invertible.

Proveu que, si X^2 = O aleshores I + X és invertible.

lndieaeió: calculeu (I + X) (I - X).

11. Comproveu que qualsevol matriu A = (~ ~) satisfá l'equació de segon grau:

A^2 - (a + d) A + (ad - be) I = O.