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N´umeros Complejos
1. Numeros Complejos. Forma bin´omica
Estudiamos la estructura algebraica y geom´etrica de los n´umeros complejos. Suponemos conocidas
varias propiedades correspondientes en los n´umeros reales.
Definici´on 1.1 los n´umeros complejos z se pueden definir como pares ordenados z = (x, y) de
n´umeros reales x e y, con las operaciones suma y producto que definiremos m´as adelante
Se suelen identificar los pares (x, 0) con los n´umeros reales x. Por lo tanto, el conjunto de los n´umeros
complejos C contiene al los n´umeros reales R como subconjunto R ⊂ C
Los pares (0, y) se llaman n´umeros imaginarios puros.
Los n´umeros reales x e y de z = (x, y) se conocen como parte real y parte imaginiria de z y se escribe
Rez = x Imz = y
Definici´on 1.2 Dos n´umeros complejos (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) se dicen iguales si tienen iguales sus partes
reales e imaginarias.
(x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 ) ⇔ x 1 = x 2 e y 1 = y 2
Definici´on 1.3 Suma y producto para z 1 = (x 1 , y 1 ) y z 2 = (x 2 , y 2 ):
(x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 )
(x 1 , y 1 ) · (x 2 , y 2 ) = (x 1 · x 2 − y 1 · y 2 , y 1 · x 2 + x 1 · y 2 )
En particular (x, 0) + (0, y) = (x, y) y (0, 1) · (y, 0) = (0, y) por lo que (x, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0)
Pensando en un n´umero real x como (x, 0) y denotando por j el n´umero imaginario puro (0, 1) se
puede escribir
(x, y) = x + jy
Con el convenio z^2 = z · z, z^3 = z · z^2 , ect., hallamos que
j^2 = (0, 1) · (0, 1) = (− 1 , 0) es decir j^2 = − 1
Es f´acil ver ahora que:
(x 1 + jy 1 ) + (x 2 + jy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + j(y 1 + y 2 )
(x 1 + jy 1 ) · (x 2 + jy 2 ) = (x 1 · x 2 − y 1 · y 2 ) − j(y 1 · x 2 + x 1 · y 2 )
1.1. Propiedades algebraicas
Conmutativa z 1 + z 2 = z 2 + z 1 z 1 · z 2 = z 1 · z 2 Asociativa (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) (z 1 · z 2 ) · z 3 = z 1 · (z 2 · z 3 )
Elementos neutros
z + 0 = z ∀z
z · 1 = z ∀z
Elementos sim´etricos
−z = (−x, −y) z + (−z) = 0 ∀z
z
x x^2 + y^2
−y x^2 + y^2
z ·
z
= 1 ∀z Distributivas z(z 1 + z 2 ) = z · z 1 + z · z 2
Observaciones:
- Por la ley conmutativa del producto jy = yj por lo que se puede escribir z = x+jy ´o z = x+yj
- Por la existencia de elementos sim´etricos podemos definir z 1 − z 2 = z 1 + (−z 2 ) y z 1 z 2 = z 1 · (z 2 )−^1 con (z 6 = 0)
- Interpretaci´on geom´etrica.
Se asocia el n´umero complejo z = x + jy con el punto del plano de coordenadas rectangulares x e
y. De este modo, cada n´umero complejo correspondiente a un punto exactamente y rec´ıprocamente.
Todo z ∈ C puede pensarse como vector de origen (0, 0) y extremo (x, y), por lo que a menudo nos
referimos al n´umero complejo z como el punto z o el vector z.
El eje X se llama eje real y el eje Y eje imaginario.
Definici´on 2.1 El m´odulo o valor absoluto de z = x + jy se define como:
|z| =
x^2 + y^2
Observaci´on
Si z ∈ R, el m´odulo coincide con el valor absoluto usual en R
Salvo z 1 , z 2 ∈ R, no tiene sentido z 1 < z 2
Definici´on 2.2 El complejo conjugado de z = x + jy se define como:
z = x − jy
Observaciones:
- Rez = z + z 2
- Imz = z − z 2 j
- Forma Polar
Sean r y θ coordenadas polares de (x, y) que corresponden a z ∈ C − { 0 } con z = x + jy. Como
x = r cos θ, y = r sen θ se tiene que
z = r(cos θ + j sen θ)
siendo r = |z| y θ un argumento de z (θ = arg z)
- Forma Exponecial
La ecuaci´on ejθ^ = cos θ + j sen θ se llama F ORMULA DE EULER´
Si z = r(cos θ + j sen θ), podemos escribir z = rejθ
Observaciones
- ejθ^1 · ejθ^2 = ej(θ^1 +θ^2 )
- z−^1 =
r e−jθ
z 1 · z 2 = r 1 r 2 ej(θ^1 +θ^2 )
z 1 z 2
r 1 r 2 ej(θ^1 −θ^2 )
- Sean z 1 = ejθ^1 ,z 2 = ejθ^2. Entonces z 1 = z 2 ⇔ r 1 = r 2 y θ 1 = θ2 + 2kπ con k ∈ Z
- Potencias y ra´ıces
i Potencias: Sea z = ejθ, entonces zn^ = rnejnθ^ ∀n ∈ Z
ii Ra´ıces: Sea z 0 = r 0 ejθ^0 , entonces
√ nz 0 = z 01 n = √nr 0 e
j(θ 0 + 2kπ) n (^) k = 0, 1 , 2 ,... , n − 1
Ejemplo
Calcula las ra´ıces sextas de la unidad.
√ (^6) 1 = 1 (^16) = √ (^61) e j(0 + 2kπ) (^6) k = 0, 1 , 2 ,... , 5
Por tanto las seis ra´ıces de la unidad ser´an:
para k=0 z 0 = 1
para k=1 z 1 = ejπ/^3 = cos π 3 + j sen π 3 =
para k=2 z 2 = ej^2 π/^3 = cos 23 π + j sen 23 π =
− j
para k=3 z 3 = ejπ^ = cos π + j sen π = − 1
para k=4 z 4 = ej^4 π/^3 = cos 43 π + j sen 43 π = −
− j
para k=5 z 5 = ej^5 π/^3 = cos 53 π + j sen 53 π = −
Y forman los vertices de un hexagono regular
−1 0 1
−0.
Figura 2: ra´ıces sextas de la unidad
