numeros cmplexos, Apuntes de Álgebra Lineal

¡Descarga numeros cmplexos y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!

Descargado en:

patatabrava .com

CALCUL II (UAB)

NOMBRES COMPLEXOS

BAFALUY, XAVI 15-

A Ap`endix: N ´UMEROS COMPLEXOS

A.1 El cos C dels n´umeros complexos

R ´es un (l’´unic) cos ordenat arquimedi`a complet (N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ) i t´e un problema de l’arrel residual: no existeixen les arrels quadrades (en general, les arrels d’´ındex parell) dels n´umeros reals negatius. La soluci´o d’aquesta limitaci´o requereix una ampliaci´o R ⊂ C (cos dels n´umeros complexos).

Cos dels n´umeros complexos Considerem el conjunt C = R × R = {(x, y)|x, y ∈ R}. Denotarem els seus elements per z = (x, y). Definim les operacions

Suma: z + z′^ ≡ (x, y) + (x′, y′) def = (x + x′, y + y′) Producte: z · z′^ ≡ (x, y) · (x′, y′) def = (xx′^ − yy′, xy′^ + x′y)

Amb aquestes operacions (C, +, ·) ´es un cos (el Cos dels n´umeros complexos) ja que

• (C, +) ´es grup abeli`a:
  • • ´es associativa
  • • ´es conmutativa
  • hi ha un element neutre: 0 = (0, 0)
  • cada element z = (x, y) t´e sim`etric: −z = (−x, −y)
• (C − { 0 }, ·) ´es grup abeli`a:
  • · ´es associativa
  • · ´es conmutativa
  • hi ha un element neutre: 1 = (1, 0)
  • cada element z = (x, y) 6 = 0 t´e sim`etric: z−^1 = ( (^) x (^2) +xy 2 , (^) x 2 −+yy 2 )
• · ´es distributiu respecte +

Sovint escriurem 0, 1 , z′^ − z, zz′, 1 /z i z′/z en lloc de 0 , 1 , z′^ + (−z), z · z′, z−^1 i z′z−^1.

C cont´e a R Podem identificar els n´umeros complexos de la forma (x, 0) amb els n´umeros reals ja que (x, 0) + (x′, 0) = (x + x′, 0) i (x, 0) · (x′, 0) = (xx′, 0), ´es a dir, l’aplicaci´o R → C que transforma x → (x, 0) ´es un homomorfisme injectiu: R ´es subc`os de C.

Parts real i imaginaria d’un n´umero complex Si z = (x, y), anomenem part real de z a la seva primera component x i part imaginaria de z a la seva segona component y. Escriurem

x = Re(z) , y = Im(z)

Tant Re z com Im z s´on n´umeros reals. Els n´umeros reals s´on els complexos que tenen la part imaginaria nul·la. D’altra banda, els n´umeros complexos que tenen la part real nul·la s’anomenen n´umeros com- plexos imaginaris. S´on els de la forma (0, y) i s’escriuen tamb´e iy ja que (0, y) = y(0, 1). A diferencia del que passa amb els n´umeros reals, els imaginaris no tenen estructura de cos ja que el producte no ´es intern (el producte de dos imaginaris ´es real). Els n´umeros imaginaris es situen a l’eix vertical (“eix imaginari”) del pla complex.

Conjugat d’un n´umero complex Si z = (x, y) , el seu conjugat ´es z∗^ = (x, −y). Es compleix

(z∗)∗^ = z , (z ± z′)∗^ = z∗^ ± z′∗^ , (zz′)∗^ = z∗z′∗^ , (z/z′)∗^ = z∗/z′∗ z + z∗^ = 2Re(z) , z − z∗^ = i2Im(z) , zz∗^ = x^2 + y^2 = Re(z)^2 + Im(z)^2 ∈ R z = z∗^ ⇐⇒ z ∈ R , z = −z∗^ ⇐⇒ z ´es imaginari

Modul d’un n´umero complex El modul d’un n´umero complex z = (x, y) ´es el n´umero real

r ≡ |z| def = +

zz∗^ = +

√ x^2 + y^2 = +

√ Re(z)^2 + Im(z)^2

Quan z ´es real, el seu modul ´es el seu valor absolut. Per tant, el modul est´en a tot C el concepte de valor absolut definit a R. Geometricament, el modul ´es la “llargada” del “vector” z.

Propietats del m`odul:

1. |z| > 0 si z 6 = 0 :

2. | 0 | = 0

3. |zz′| = |z| · |z′| =⇒ | 1 /z| = 1/|z′|

4. |z + z′| ≤ |z| + |z′|

Tenim tamb´e

|Re(z)|, |Im(z)| ≤ |z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)| ja que |x|, |y| ≤

√ x^2 + y^2 ≤ |x| + |y|

Argument d’un n´umero complex L’argument d’un n´umero complex z = (x, y) ´es l’angle ϕ que forma el “vector” z amb l’eix real positiu, mesurat en el sentit trigonometric positiu (“anti-horari”). Un n´umero complex t´e, de fet, una infinitat d’arguments que difereixen entre ells en m´ultiples enters de 2π, pero ´unicament un d’ells, l’argument principal, ´es a l’interval [0, 2 π) (de vegades ´es m´es convenient definir l’argument principal a l’interval (−π, π]). Tenim

arg(z) = ϕ = arctan y x

on l’ambig¨uitat entre els dos angles que tenen la mateixa tangent es resol amb els signes de x i de y. Tenim tamb´e: arg(z∗) = −arg(z).

Dist`ancia entre n´umeros complexos

d(z, z′) def = |z − z′| =

√ (x − x′)^2 + (y − y′)^2 =

√ d(x, x′)^2 + d(y, y′)^2

Quan z i z′^ s´on reals la distancia coincideix amb la distancia entre n´umeros reals (´es a dir, el valor absolut de la diferencia). Propietats de la distancia:

1. d(z, z′) > 0 si z 6 = z′

2. d(z, z) = 0

3. d(z, z′) = d(z′, z)

4. d(z, z′) ≤ d(z, z′′) + d(z′′, z′)

Tenim tamb´e d(x, x′), d(y, y′) ≤ d(z, z′) ≤ d(x, x′) + d(y, y′)

i, per tant,

d(z, z′) → 0 ⇐⇒

{ d(x, x′) → 0 d(y, y′) → 0

A.2 Expressi´o dels n´umeros complexos

Forma bin`omica d’un n´umero complex Qualsevol n´umero complex z = (x, y) es pot expressar (x, y) = x(1, 0)+y(0, 1) = x1+yi, ´es a dir,

z = x + iy (forma bin`omica de z)

Forma polar d’un n´umero complex L’exponencial imaginaria: Comencem definint eiϕ, on ϕ ∈ R. Per fer-ho, apliquem la “recepta” (manipular i com si fos real pero tenint en compte que i^2 = −1) a la serie de potencies de eiϕ

eiϕ^ = 1+ iϕ 1!

(iϕ)^2 2!

(iϕ)^3 3!

( 1 − ϕ^2 2!

ϕ^4 4!

) +i

( ϕ− ϕ^3 3!

ϕ^5 5!

) = cos ϕ+i sin ϕ

Llavors definim

eiϕ^ def = cos ϕ + i sin ϕ

Una curiositat d’aquesta f´ormula ´es que eiπ^ + 1 = 0 que relaciona e, i, π, 1 i 0.

La forma polar: Amb la definici´o anterior, la forma trigonom`etrica del n´umero complex z = r(cos ϕ + i sin ϕ) es pot expressar

z = reiϕ^ (forma polar de z)

La forma polar ´es perfectament compatible amb la “recepta”. Si z = reiϕ^ i z′^ = r′eiϕ ′

zz′^ = reiϕr′eiϕ ′ = rr′ei(ϕ+ϕ ′) , zn^ = (reiϕ)n^ = rneinϕ

Les arrels n-`esimes d’un n´umero complex: D’acord amb la ´ultima igualtat, donat un n´umero complex z = reiϕ, sempre en podem trobar un altre w = ρeiα^ tal que wn^ = z. Nom´es cal prendre ρ = n

r i α = ϕ/n. El n´umero complex w = n

rei(ϕ/n)^ ´es l’arrel n-esima de z. Pero, de fet, n’hi ha m´es d’arrels n-esimes degut a que z t´e infinits arguments ϕ+2πk, k ∈ Z. Cada cop que augmentem (o disminu¨ım) ϕ en 2π, l’argument de w augmenta (o disminueix) en 2π/n. Hi ha, doncs, n arrels n-esimes de z

√ nz = √nrei(ϕ+2πk)/n (^) , k = 0, 1 , 2 ,... , n − 1

F´ormules d’E¨uler: De les igualtats eiϕ^ = cos ϕ + i sin ϕ i e−iϕ^ = cos ϕ − i sin ϕ podem a¨ıllar cos ϕ i sin ϕ

cos ϕ =

eiϕ^ + e−iϕ 2 , sin ϕ =

eiϕ^ − e−iϕ 2 i (F´ormules d’E¨uler)

F´ormula de Moivre: Elevant a n (n ∈ N ) la igualtat eiϕ^ = cos ϕ + i sin ϕ tenim

(cos ϕ + i sin ϕ)n^ = (eiϕ)n^ = einϕ^ = cos nϕ + i sin nϕ (F´ormula de Moivre)

Aquesta f´ormula ens d´ona una expressi´o de cos nϕ i de sin nϕ en termes de cos ϕ i sin ϕ:

cos nϕ = Re[(cos ϕ + i sin ϕ)n] , sin nϕ = Im[(cos ϕ + i sin ϕ)n]

A.3 Successions de n´umeros complexos

Una successi´o de n´umeros complexos ´es una aplicaci´o de N sobre C

N → C n → zn = xn + iyn

que denotem {zn} = {z 1 , z 2 , z 3 ,.. .} = {x 1 + iy 1 , x 2 + iy 2 , x 3 + iy 3 ,.. .}.

Successi´o convergent {zn} ´es convergent i escriurem lim{zn} = w o, tamb´e, {zn} → w si

∀ε > 0 (ε ∈ R) , ∃n 0 ∈ N tal que d(zn, w) < ε , ∀n > n 0

o, equivalentment, si lim{d(zn, w)} = 0. Notem que

{zn} → w ⇐⇒

{ {xn} → Re(w) {yn} → Im(w)

´es a dir, una successi´o de n´umeros complexos ´es convergent si i nom´es si les successions de les seves parts reals i la de les seves parts imagin`aries s´on convergents.

Successi´o de Cauchy {zn} ´es de Cauchy si

∀ε > 0 (ε ∈ R) , ∃n 0 ∈ N tal que d(zn, zm) < ε , ∀n, m > n 0

Notem que

{zn} de Cauchy ⇐⇒

{ {xn} de Cauchy {yn} de Cauchy

´es a dir, una successi´o de n´umeros complexos ´es de Cauchy si i nom´es si les successions de les seves parts reals i la de les seves parts imaginaries tamb´e ho s´on. Pero aquestes s´on successions de Cauchy de n´umeros reals i s´on, per tant, convergents (R ´es complet). Aix`o fa que la successi´o de Cauchy de n´umeros complexos sigui tamb´e convergent. Tenim, doncs, que totes les successions de Cauchy de C s´on convergents:

C ´es complet

A.4 Topologia de C

Les definicions i propietats s´on id`entiques que en el cas de R

• Entorn de centre z 0 i radi r: E(z 0 , r) = {z | d(z, z 0 ) < r}
• Entorn perforat: E(z 0 , r) − {z 0 }

(ϕ + 2πk), amb k ∈ Z. Es un exemple de funci´´ o multivaluada. S’anomena logaritme principal el que t´e com part imaginaria l’argument principal de z. D’altra banda, el fet que tots els n´umeros complexos (llevat del 0 ) tinguin logaritme fa que tamb´e sigui aix´ı per als n´umeros reals negatius. Aix´ı, tenim que ln(−2) = ln 2 + iπ (+i 2 πk). Es f´ acil comprovar que eln^ z^ = z, i tamb´e que ln(ez^ ) = z (+i 2 πk).

Pot`encia d’exponent complex i exponencial de base complexa Si a i b s´on n´umeros reals (amb a > 0), tenim ab^ = eb^ ln^ a. Mantenint aquesta igualtat quan a i b s´on n´umeros complexos, arribem a les definicions seg¨uents:

Potencia d’exponent complex: si a ∈ C, definim za^ def = ea^ ln^ z^. Es, en general, multival-´ uada (ja que ho ´es ln z). Si a ∈ Z, ´es univaluada. Si a = 1/n, amb n ∈ N , ´es n-valuada (les n arrels n-esimes de z).

Exponencial de base complexa: si a ∈ C, definim az^ def = ez^ ln^ a^. Es univaluada un cop´ es fixa la determinaci´o de l’argument de a (i, per tant, del seu logaritme).

Funcions trigonom`etriques La substituci´o, a les f´ormules d’E¨uler sin ϕ = (eiϕ^ − ie−iϕ)/ 2 i i cos ϕ = (eiϕ^ + ie−iϕ)/2, del n´umero real ϕ pel complex z, ens porta a les definicions seg¨uents:

sin z def = eiz^ − e−iz 2 i

, cos z def = eiz^ + e−iz 2

i, tamb´e,

tan z def =

sin z cos z

eiz^ − e−iz i(eiz^ + e−iz^ ) , cot z def =

tan z , sec z def =

cos z , csc z def =

sin z

S´on funcions univaluades ja que l’exponencial tamb´e ho ´es. Totes tenen periodicitat 2 π en la direcci´o paral·lela a l’eix real, ´es a dir

sin z = sin(z + 2π) , cos z = cos(z + 2π) , etc.

Compleixen les mateixes relacions que les corresponents funcions de variable real

(cos z)^2 + (sin z)^2 = 1 , cos(−z) = cos z , sin(−z) = − sin z

sin(z + z′) = sin z cos z′^ + cos z sin z′^ , cos(z + z′) = cos z cos z′^ − sin z sin z′^ , etc.

Les funcions sin z i cos z ´unicament s’anul·len, respectivament, als punts kπ i

( k + (^12)

) π de l’eix real.

Funcions hiperb`oliques La substituci´o, a les definicions sinh x = (ex^ −e−x)/2 i cosh x = (ex^ +e−x)/2, del n´umero real x pel complex z, ens porta a les definicions seg¨uents:

sinh z def = ez^ − e−z 2 , cosh z def = ez^ + e−z 2

i, tamb´e,

tanh z def = sinh z cosh z

ez^ − e−z ez^ + e−z^

, coth z def =

tanh z

S´on, tamb´e, funcions univaluades ja que l’exponencial tamb´e ho ´es. Totes tenen periodicitat 2πi en la direcci´o paral·lela a l’eix imaginari, ´es a dir

sinh z = sinh(z + 2πi) , cosh z = cosh(z + 2πi) , etc.

Compleixen les mateixes relacions que les corresponents funcions de variable real

(cosh z)^2 − (sinh z)^2 = 1 , cosh(−z) = cosh z , sinh(−z) = − sinh z

sinh(z+z′) = sinh z cosh z′+cosh z sinh z′^ , cosh(z+z′) = cosh z cosh z′+sinh z sinh z′^ , etc.

Les funcions sinh z i cosh z ´unicament s’anul·len, respectivament, als punts kπi i

( k+ (^12)

) πi de l’eix imaginari. Les funcions trigonometriques i les hiperboliques es relacionen entre elles de la seg¨uent forma: cos z = cosh(iz) , sin z = −i sinh(iz) o, tamb´e, i sin z = sinh(iz) cosh z = cos(iz) , sinh z = −i sin(iz) o, tamb´e, i sinh z = sin(iz)

relacions que, `obviament, tamb´e es compleixen quan z ´es real.

Funcions trigonom`etriques inverses No les hem de definir sin´o calcular-les ja que s´on les inverses de funcions definides m´es amunt. Si w = arcsin z ⇐⇒ z = sin w = (eiw^ − e−iw)/ 2 i ⇐⇒ eiw^ − 2 iz − e−iw^ = 0 ⇐⇒ (eiw)^2 − 2 iz(eiw) − 1 = 0. Podem a¨ıllar eiw^ (´es una equaci´o de segon grau): eiw^ = iz ±

1 − z^2 i, per tant, w = −i ln (iz ±

1 − z^2 ). Un c`alcul similar ens porta a arccos z i a arctan z:

arcsin z = −i ln

( iz ±

√ 1 − z^2

) , arccos z = −i ln

( z ±

√ z^2 − 1

) , arctan z = i 2 ln

( (^) i + z i − z

)

S´on multivaluades a causa del logaritme (multivaluat) i de l’arrel quadrada (bivaluada).

Funcions hiperb`oliques inverses Procedint com en el cas anterior trobem:

sinh−^1 z = ln

( z ±

√ z^2 + 1

) , cosh−^1 z = ln

( z ±

√ z^2 − 1

) , tanh−^1 z =

ln

( (^) 1 + z 1 − z

)

A.7 S`eries de n´umeros complexos

Si {zn} = {xn + iyn} ´es una successi´o de n´umeros complexos, direm que la s`erie ∑∞ k=1 zk ´es convergent i que la seva suma ´es Z = X + iY si {Zn} → Z, on Zn ≡

∑n k=1 zk^ ´es la suma parcial n-esima. Si denotem per Xn ≡ ∑n k=1 xk^ la suma parcial^ n-esima de les parts reals de zn i per Yn ≡

∑n k=1 yk^ la suma parcial^ n-esima de les parts imaginaries, tenim que

∑^ ∞

k=

zk = Z ⇐⇒ {Zn} → Z ⇐⇒

{ {Xn} → X {Yn} → Y

} ⇐⇒

{ ∑∞ ∑^ k∞=1^ xk^ =^ X k=1 yk^ =^ Y

}

Es a dir,^ ´

una serie de n´umeros complexos ´es convergent si, i nom´es si, les serie de les parts reals i la de les parts imagin`aries (ambdues de n´umeros reals) s´on convergents

Per tant, tindrem tamb´e ∑∞

k=

zk conv. =⇒ {zn} → 0

Direm que la s`erie de n´umeros complexos

∑∞ k=1 zk^ ´es^ absolutament convergent^ si la s`erie de n´umeros reals

∑∞ k=1 |zk|^ ´es convergent. Es f`´ acil veure que ∑^ ∞

k=

zk absolutament convergent ⇐⇒

∑^ ∞

k=

xk i

∑^ ∞

k=

yk absolutament convergents

En efecte, nom´es cal notar que |xk|, |yk| ≤ |zk| ≤ |xk| + |yk| i aplicar el criteri de comparaci´o per a series reals de termes no negatius. ♦ Com en el cas de les series reals, tamb´e es compleix que ∑∞ k=1 zk^ absolutament convergent =⇒^

∑∞ k=1 zk^ convergent

En efecte,

∑^ ∞

k=

|zk| conv. ⇐⇒

{ ∑∞ ∑^ k∞=1^ |xk|^ conv. k=1 |yk|^ conv.

} =⇒

{ ∑∞ ∑^ k∞=1^ xk^ conv. k=1 yk^ conv.

} ⇐⇒

∑^ ∞

k=

zk conv. ♦

Els criteris de convergencia absoluta per a series de n´umeros reals s´on, obviament, aplicables a la serie

∑∞ k=1 |zk|^ i, en particular, podem utilitzar els criteris de l’arrel i del quocient:

Si lim{ n

√ |zn|} = α o Si lim

{ (^) |z n+1| |zn|

} = α

  

  

Si α < 1 :

∑∞ k=1 zk^ ´es absolutament convergent Si α > 1 : ∑∞ k=1 zk^ no ´es convergent, ja que^ {|zn|} 6 →^0 Si α = 1 : no ´es conclou res