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Apuntes sobre los números racionales, irracionales, negativos, fracciones, potencias...
Tipo: Apuntes
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Metodología Docente
2.1. De los naturales a los enteros.
Cuando estudiamos los números naturales vimos que dados dos números naturales a y b, si b < a existía otro número natural d tal que b + d = a ⇔ d = a − b (a > b).
Surge la necesidad de ampliar el campo numérico de los números naturales para hacer posible esta operación siendo a y b dos números naturales cualesquiera, es decir que no tenga que existir entre ellos la condición b < a. Partiendo del conjunto ℕvamos a definir el conjunto ℤde los números enteros en el que siempre será posible la operación b + d = a.
Definición de número entero. Consideremos el conjunto ℕ x^ ℕformado por pares de números naturales
ℕ^ x^ ℕ = {(a 1 , a 2 ), (b 1 , b 2 ), (c 1 , c 2 ),....}
( a 1 , a 2 )ℜ( b 1 , b 2 ) ↔ a 1 + b 2 = a 2 + b 1
Como la relación ℜdefinida en ℕx ℕcumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva se trata de una relación de equivalencia o de igualdad dando lugar a una clasificación de los elementos de ℕx ℕ en clases de equivalencia, estando en cada clase todos los pares relacionados entre sí.
Cada clase de equivalencia recibe el nombre de número entero y el conjunto cociente ℕ x ℕ/ ℜel de conjunto ℤde los números enteros
ℕ x ℕ/ ℜ= ℤ
Para nombrar una clase de equivalencia lo hacemos mediante un representante y una clase puede estar representada por distintos pares, por cualquier par que pertenezca a la clase de equivalencia. Por ejemplo, los pares (5 ,3) y (6, 4) representan el mismo número entero ya que 5 + 4 = 3 + 6 según hemos definido la relación ℜ.
∀ a ,b ∈ℤ —→ a x b ∈ℤ
a x 1 = 1 x a = a.
4. Conmutativa. Dados a, b enteros se verifica que a x b = b x a.
El conjunto ℤ de los números enteros con la operación de multiplicar ( ℤ, x) tiene estructura de semigrupo unitario conmutativo. Si consideramos la suma y el producto
( ℤ,+, x ) tiene estructura de anillo unitario conmutativo.
RESTA DE NUMEROS ENTEROS. Dados dos números enteros a = (a 1 , a 2 ) y b = (b 1 , b 2 ), siempre existe otro número entero d = (d 1 , d 2 ) llamado diferencia de a y b que verifica que b + d = a.
Podemos determinar las componentes de d = (d 1 , d 2 ) en función de a = (a 1 , a 2 ) y b = (b 1 , b 2 ) aplicando las propiedades y operaciones estudiadas. Así podemos llegar a que d = a – b = (a 1 , a 2 ) - (b 1 , b 2 ) = ( a 1 - b 2 , a 2 - b 1 ).
La diferencia de números enteros es una operación interna, ya que siempre la diferencia de dos números enteros es otro número entero.
ℤ x ℤ—→ ℤ ( a, b ) —→ a - b
∀ a ,b ∈ℤ —→ a − b ∈ℤ
Definición. Dado un número entero a = (a 1 , a 2 ) se pueden considerar tres casos:
1/ a 1 > a 2 2/ a 1 = a 2 3/ a 1 < a 2
En el primer caso a se llama entero positivo y existe un número natural p tal que a 1 = a 2 + p y se simboliza poniendo a = +p. El conjunto de los números enteros
positivos lo simbolizamos mediante ℤ +
Si a 1 < a 2 el entero a se llama negativo y existe otro número natural n tal que a 2 = a 1 + n y se simboliza poniendo a = - n, siendo n la diferencia entre la primera y segunda componente del entero a.
Podemos escribir por tanto que ℤ = ℤ + U
operación de multiplicar se pueden establecer los siguientes casos:
(1) (+p) x (+q) = +(p x q) (2) (-p) x (+q) = -(p x q) (3) (+p) x (-q) = -(p x q) (4) (-p) x (-q) = +(p x q)
es un número entero. El cociente no es una operación interna en ℤ. Solo cuando el dividendo es múltiplo del divisor el cociente es número entero.
Si a^ ,b ∈ℤ y a = b ˙ entonces el cociente a: b = c , c^ ∈ℤ
Si a^ ,b ∈ℤ y a ≠^ b ˙ entonces el cociente a: b = c , c^ ∉ℤ
inversa de la potenciación y tiene por objeto dada una potencia llamada radicando y un exponente llamado índice, hallar la base uqe toma el nombre de raiz
= b
n = índice, a = radicando, b = raiz
Raiz de índice n de un número entero es otro número b, si existe que elevado al exponente n da como resultado el primero a
n
Cuando el índice es 2 la raiz se llama cuadrada y cuando el índice es 3 la raiz se llama cúbica.
según que a 1 > a 2 , a 1 < a 2 ó a 1 = a 2 ; también expresado a > 0, a < 0 ó a = 0.
El módulo o valor absoluto de un número entero a representado por | a | se define así: a si a > 0 | a | = 0 si a = 0 -a si a < 0
1) |a.^ b | = | a |.^ **| b |
2.2. De los enteros a los racionales. Números Decimales.
Números Racionales.
Introducción. Estudiando el conjunto ℤde los números enteros se decía que ( ℤ, x) es semigrupo unitario conmutativo no cumpliendo la propiedad de existencia de elemento simétrico o inverso que le hiciera alcanzar la estructura de grupo, es decir
∀ a ∈ℤ , no existe a-1^ de ℤ/ a a-1^ = a-1a = 1
Al no existir este elemento inverso de a, la ecuación ay = b (a ≠ 0) no siempre tiene solución y de ahí la necesidad de ampliar el campo numérico.
Definición de Número Racional. Para la ampliación del conjunto ℤde los números enteros, designamos por ℤ*^ el conjunto de ℤde los enteros menos el cero, es decir
ℤ^ *^ = ℤ- {0}.
Definimos en ℤ x (^) ℤ la relación de igualdad de la siguiente forma:
Si (a 1 , a 2 ) y (b 1 , b 2 ) ϵ ℤ x (^) ℤ* decimos que
( a 1 , a 2 )ℜ( b 1 , b 2 ) ↔ a 1.^ b 2 = a 2.^ b 1
Esta relación ℜcumple las propiedades
Esta relación de equivalencia da lugar a una clasificación de los elementos de ℤ^ x^ ℤ* en clases de equivalencia formando cada clase todos los pares relacionados
entre sí.
Aplicando la definición de suma a cada miembro y la definición de igualdad ℜ establecida entre los números racionales se comprueba la asociatividad.
3. Elemento neutro: ∀a = (a 1 , a 2 ) =
a 1 (^) a 2 ϵ ℚ, ∃ 0 = ( 0, 1 ) =
1 tal que
a + 0 = 0 + a = a
En efecto a + 0 =
a 1 (^) a 2 +
Así el elemento neutro de la suma es el par (0, 1) y todos los de la misma clase que son de la forma (0, m). El elemento neutro 0 es la clase
0 = { (0,1), (0, 2), (0, 3),..., (0, m),...}.
4. Elemento simétrico: ∀ a = (a 1 , a 2 ) =
ℚ, ∃ a' = ( x 1 , x 2 ) =
a + a' = a' + a = 0.
Se puede comprobar que cada número racional tiene su simétrico respecto de la operación suma y además es único.
5. Conmutativa: ∀a = (a 1 , a 2 ) =
ℚ se verifica que
a + b = b + a
de grupo conmutativo o grupo abeliano.
Producto de números racionales. Dados dos números racionales a = (a 1 , a 2 ) =
b = (b 1 , b 2 ) =
ℚ se define el producto así
a x b = (a 1 , a 2 ) x (b 1 , b 2 ) =
a 1 b 1 (^) a 2 b 2 = ( a 1
. (^) b1 , a 2. (^) b 2 )
Propiedades.
1. Ley de composición interna u operación interna. El producto de dos números racionales es otro número racional. ℚ X ℚ—→ ℚ
(a, b) —→ a x b
a ,b ϵ ℤ⇒ a x b ϵ ℚ
2. Asociativa: ∀a = (a 1 , a 2 ) =
ℚ
( a x b ) x c = a x (b x c)
3. Elemento unidad: ∀a =
a 1 (^) a 2 ϵ ℚ, ∃ 1 = ( 1, 1 ) =
1 1 ϵ ℚ tal que
a x 1 = 1 x a = a
El elemento unidad o neutro respecto al producto es la base formadad por los pares de números iguales
1 = { (1,1), (2, 2), (3, 3),..., (m, m),...} = {
1 1 ,
m (^) m ,...}.
En el primer caso el racional a se llama positivo y se escribe a > 0. En el segundo caso, si a 1 = 0 el racional es 0, siendo el elemento neutro de ℚ y se escribe a = 0.
Y en el tercer caso, el racional a se dice que es negativo y se escribe a < 0.
Al conjunto de los racionales positivos lo simbolizamos por ℚ+^ ; al conjunto de los
racionales negativos lo simbolizamos por ℚ-. De forma que al conjunto de los racionales ℚ lo podemos escribir como
Propiedades Generales.
forma
es un conjunto totalmente ordenado.
2. La ecuación a x + b = 0 tiene solución única dentro del cuerpo ℚ de los números racionales x = a-1^ x (-b) 3. Dado un número racional a = (a 1 , a 2 ) se define el módulo o valor absoluto de a
a si a > 0 | a | = 0 si a = 0 -a si a < 0
Esquema de ampliación del Campo Numérico:
Números fraccionarios --|
Resta y cociente de números racionales.
Resta de números racionales. Dados dos números racionales a = (a 1 , a 2 ) y b = (b 1 , b 2 ) ϵ ℚ, la diferencia entre estos dos números a - b vendrá dada por la solución de la ecuación b + d = a. Se puede comprobar que la diferencia de estos dos números racionales a y b es de la forma
d (^) 1 d (^) 2 = a^ –^ b =^ (a^1 , a^2 ) - (b^1 , b^2 ) =
a 1 (^) a 2
= ( a 1.^ b 2 - a 2.^ b 1 , a 2.^ b 2 )
La diferencia de números racionales es operación interna.
Cociente de números racionales. Dados dos números racionales a = (a 1 , a 2 ) y b = (b 1 , b 2 ) se define el cociente a : b como la solución de la ecuación a = b x c donde se puede comprobar que c es de la forma
a 1 b 2 a 2 b 1
El cociente de dos números racionales es otro número racional pero siempre que el divisor sea distinto de cero
a : b =
a 1 (^) a 2
:
Cuando a = b = 0 el cociente está indeterminado.
Potencia y raiz.
1. Potencia de exponente natural de un número racional. Es el resultado de multiplicar tantas veces la base como indica el exponente.
an^ = [
n (^) =
x a 1 a 2
x....x
a 1^ n a 2^ n
No es distributiva respecto a la resta
a, b ϵ ℚ y n ϵ ℕ
Es distributiva respecto al producto
.
a, b ϵ ℚ y n ϵ ℕ
Es distributiva respecto al producto
a, b ϵ ℚ y n ϵ ℕ
5. Potencia de exponente racional de un número racional. Es una raiz cuyo radicando es la base elevada al numerador del exponente y de índice el denominador del exponente.
a
m n = n √ am siendo a ϵ ℚ y n, m ϵ ℤ
6. Operaciones de las potencias de exponente racional de un número racional.
El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de igual base y de exponente la suma de los exponentes. El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de igual base y de exponente la diferencia de los exponentes. La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y de exponente el producto de los exponentes.
7. Operaciones con raices.
La raiz de una raiz se obtiene escribiendo en forma de potencia de potencia, expresando el resultado en forma de raiz. La potencia de una raiz se obtiene escribiendo la raiz en forma de potencia expresando el resultado en forma de raiz. Para simplificar una raiz se escribe en forma de potencia, se simplifica el exponente que resulta y se vuelve a escribir el resultado en forma de raiz. La reducción de varias raices a índice común se escribe como potencias reduciendo a común denominador los exponentes y expresando el resultado en forma de raiz. Las operaciones con raices se resuelven escribiendo las raices como potencias realizando las operaciones de esta manera y expresando el resultado en forma de raiz.
Números Decimales.
Los números decimales constituyen un subconjunto del conjunto de los números racionales, aquello cuya segunda componente es una potencia de 10
D = {(a, 10n) siendo a ϵ ℤ y n ϵ ℕ}
Fracción Decimal. Es una fracción cuyo denominador es la unidad seguida de ceros.
Cuando el denominador es 10, la fracción decimal se lee nombrando el numerador seguido de la palabra décimas.
Cuando el denominador es 100, la fracción decimal se lee nombrando el numerador seguido de la palabra centésimas.
Cuando el denominador es 1000, la fracción decimal se lee nombrando el numerador seguido de la palabra milésimas. Y así sucesivamente.
Número Decimal. Toda fracción decimaal se puede expresar como número decimal, basta con escribir el numerador separando con una coma a partir de su derecha tantas cifras decimales como ceros tenga el denominador.
Todo número decimal consta de dos partes, la parte entera situada a la izquierda de la coma y la parte decimal situada a la derecha de la coma.
Para leer un número decimal se lee en primer lugar la parte entera y a continuación se lee la parte decimal dándole el nombre de la última cifra decimal.
Así 3,625 se lee: tres enteros y seiscientas veinticinco milésimas.
Aproximación decimal de un número racional. Muchas veces podemos expresar un número decimal como un número decimal aproximándolo hasta un orden dado. Así, por ejemplo, el número racional 7/6 se puede aproximar mediante un número decimal. Basta para ello dividir el numerador por el denominador y aproximar el cociente hasta la cifra que queramos
7 | 6 (^7) = 1,1 (aproximando hasta las décimas) 10 1,166 6 40 (^40 7) = 1,16 (aproximando hasta las centésimas) 4 6
(^7) = 1,166 (aproximando hasta las milésimas) 6
Fracciones generatrices de un número decimal periódico mixto son aquellas fracciones irreducibles en las que al dividir el numerador por el denominador resulta un número decimal periódico mixto.
En el denominador existen los factores primos 2 ó 5 junto con otros factores primos distintos de 2 y 5.
Facilmente se puede conocer si un número es decimal exacto, periódico puro o periódico mixto, basta con obtener la fracción generatriz y ver si el denominador contiene solamente los factores 2 ó 5 en cuyo caso es exacto; si no los contien es periódico puro; y por último, si contiene otros factores primos distintos de 2 y de 5 junto con alguno de estos, es periódico mixto.
Paso de un número decimal a fracción.
A/ Número Decimal Exacto. Para expresar un número decimal exacto como fracción ponemos como numerador el número decimal sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número dado.
B/ Número decimal Periódico Puro. Para expresar un número decimal periódico puro como fracción se pone como numerador el número decimal sin la coma menos la parte entera, si hay, y como denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo.
C/ Número decimal Periódico Mixto. Para expresar un número decimal periódico mixto como fracción, se pone como numerador el número decimal sin la coma menos la parte entera, si la hay, seguida de la parte no periódica, poniendo de denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.
Operaciones con números decimales exactos.
A/ Suma. Para sumar números decimales exactos se colocan unos debajo de otros haciendo coincidir las comas en columna, sumando como si fueran números enteros y poniendo la coma en el resultado final debajo de las comas.
B/ Resta. Para restar números decimales exactos se coloca el minuendo y debajo el sustraendo haciendo coincidir las comas en columna. Se restan como si fueran números enteros y se coloca la coma en el resultado debajo de las comas.
C/ Producto. Para multiplicar dos números decimales exactos se coloca uno del debajo del otro y se multiplican. Del producto se separa con una coma (contando de derecha a izquierda) tantas cifras decimales como haya entre los dos factores juntos.
D/ División. Para dividir dos números decimales exactos previamente se multiplican dividiendo y divisor por unaunidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el divisor. Después se realiza la división aproximando el cociente hasta la cifra decimal pedida o dada.
Operaciones con números decimales periódicos.
A/ Suma. Para sumar números decimales periódicos se procede así:
Se expresa cada número en forma de fracción Se suman las fracciones obtenidas Se expresa la fracción resultante en forma decimal.
B/ Restar. Para restar dos números decimales periódicos se produce así:
Se expresa cada número en forma de fracción Se restan las fracciones obtenidas Se expresa la fracción resultante en forma decimal.
C/ Producto. Para multiplicar dos números decimales periódicos se procede siguiendo los mismos pasos que en la suma y resta de números periódicos.
D/ División. Para dividir dos números decimales periódicos se procede siguiendo los mismos pasos que en la suma , resta y multiplicación. El cociente puede ser un número exacto o periódico.
2.3. Didáctica de los números enteros y racionales.
En la Educación Primaria la enseñanza-aprendizaje de las operaciones aritméticas, una primera fase es la de comprensión para lo que se utilizará toda clase de material manipulativo, teoría de conjuntos, etc. después pasará por una fase de memorización de algunos datos y algoritmos en la que aprenderá las tablas, tanto de sumar como de multiplicar y los algoritmos que conducen a la obtención de resultados. Por último habrá de poner en práctica lo que se ha aprendido y para eso habrá de ejercitarlo con ejercicios y situaciones tomadas de la vida ordinaria con planteamiento y resolución de los problemas por los propios niños.
La introducción de las operaciones aritméticas se puede hacer o bien utilizando conjuntos o bien materiales didácticos manipulativos o ambas cosas, con la finalidad de obtener el concepto y aprender algoritmos.
El proceso de aprendizaje de las operaciones aritméticas, se atraviesan las tres etapas mencionadas por Bruner: Etapa activa, Etapa representativa o figurativa y Etapa simbólica.
