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Capítulo 1
Números naturales y números enteros
Empezamos aquí a estudiar los números naturales. Todos sabemos que al hablar de los números naturales nos estamos refiriendo a los números 0 , 1 , 2 , · · ·. Sin embargo, para un estudio de algunas propiedades de los números naturales esta definición de números naturales es totalmente insuficiente. Necesitamos fijar una base como punto de arranque, a partir de la cual iremos desarrollando la teoría. La primera cuestión que nos planteamos es donde situar el punto de partida. Las posibilidades son varias. Por ejemplo, podemos empezar postulando la existencia de un conjunto (los números naturales) que satisface una serie de axiomas (los axiomas de Peano). A partir de estos axiomas podemos definir las operaciones básicas que todos conocemos (suma y producto) y el orden. También es posible situar el punto de arranque en la teoría de conjuntos, y en el marco de esta teoría construir un conjunto (N) del cual se demuestra que satisface los axiomas de Peano. En este caso, los axiomas de Peano son una consecuencia de la construcción hecha de N, mientras que en el caso anterior estos axiomas constituyen el principio de la teoría. Una vez demostrados los axioms de Peano, se enlazacon el caso anterior. Estos planteamientos, sin embargo, no nos interesan en este momento. Nosotros supondremos que tenemos un conjunto, representado por N, cuyos elementos son los números naturales, y que en este conjunto tenemos definidas dos operaciones (suma y producto), de las que conocemos sus propiedades básicas. Tenemos definido también un orden de los números naturales, y sabemos que los números natu- rales satisfacen el axioma de inducción. En la sección siguiente recordaremos todas estas propiedades y axiomas. También supondremos la existencia de los números enteros (Z), los números racionales (Q), los números reales (R) y los números complejos (C) con su estructura algebraica y de orden (salvo en C).
1.1. Principio de inducción y recurrencia
Como hemos dicho, comenzamos suponiendo que tenemos un conjunto N. Los elementos de este conjunto se llaman números naturales. Dados dos números naturales, m y n, hay definidos dos nuevos números naturales, llamados respecti- vamente suma y producto de m y n, y representados mediante m + n y m · n (o simplemente mn). Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades:
i) Para cualesquiera m, n, p ∈ N, (m + n) + p = m + (n + p) (es decir, la suma es asociativa).
ii) Para cualesquiera m, n ∈ N, m + n = n + m (es decir, la suma es conmutativa).
iii) Existe en N un elemento, representado por 0 tal que para cada m ∈ N se tiene que m + 0 = m (existencia de elemento neutro para la suma).
iv) Si m + n = m + p entonces n = p (Propiedad cancelativa).
v) Para cualesquiera m, n, p ∈ N, (m · n) · p = m · (n · p) (es decir, el producto es asociativo).
vi) Para cualesquiera m, n ∈ N, m · n = n · m (es decir, el producto es conmutativo).
2 NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
vii) Existe en N un elemento, representado por 1 tal que para cada m ∈ N se tiene que m · 1 = m (existencia de elemento neutro para el producto).
viii) Si m · n = m · p y m 6 = 0 entonces n = p.
ix) Para cualesquiera m, n, p ∈ N, m · (n + p) = m · n + m · p (la suma es distributiva respecto al producto).
También en N hay definida una relación como sigue:
m ≤ n si existe p ∈ N tal que m + p = n
que satisface las siguientes propiedades:
x) m ≤ m para todo m ∈ N.
xi) Si m ≤ n y n ≤ m entonces m = n.
xii) Si m ≤ n y n ≤ p entonces m ≤ p,
xiii) Para cualesquiera m, n ∈ N, m ≤ n ó n ≤ m.
xiv) m ≤ n implica que m + p ≤ n + p para todo p ∈ N.
xv) m + p ≤ n + p implica que m ≤ n.
xvi) m ≤ n implica que m · p ≤ n · p.
xvii) Si m · p ≤ n · p y p 6 = 0 entonces m ≤ n.
Todo lo dicho anteriormente es igualmente válido para otros conjuntos, como Q+, R+, los múltiplos positivos de 12 , etc. Lo que distingue a N de estos conjuntos es el Principio de inducción.
Principio de inducción:
Si A es un subconjunto de N tal que: 0 ∈ A Si n ∈ A entonces n + 1 ∈ A Entonces A = N.
Este principio es la base de muchas demostraciones en las que intervienen los números naturales. Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1.1.1. Vamos a demostrar que para todo n ∈ N se verifica que
20 + 2^1 + · · · + 2n^ = 2n+1^ − 1
Para esto, consideramos el conjunto A cuyos elementos son los números naturales para los que se verifica la propiedad anterior, es decir,
A = {n ∈ N : 2^0 + · · · + 2n^ = 2n+1^ − 1 }
Claramente se tiene que 0 ∈ A, pues 20 = 20+1^ − 1. Supongamos ahora que n ∈ A, y veamos que n + 1 ∈ A, es decir, supongamos que 20 + 2^1 + · · · + 2n^ = 2 n+1^ − 1 y comprobemos que 20 + 2^1 + · · · + 2n^ + 2n+1^ = 2n+2^ − 1.
20 + 2^1 + · · · + 2n^ + 2n+1^ = (2^0 + 2^1 + · · · + 2n) + 2n+1^ = 2n+1^ − 1 + 2n+1^ = 2 · 2 n+1^ − 1 = 2n+2^ − 1
Por el principio de inducción se tiene que A = N, es decir, la propiedad es cierta para todo n ∈ N.
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4 NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
Definición 1. Sea X un conjunto. Una sucesión en X es una aplicación x : N → X.
Si x : N → X es una sucesión, denotaremos normalmente al elemento x(n) como xn. A la hora de definir una sucesión en X, podemos optar, bien por definir explícitamente el valor de xn para todo n ∈ N, o bien, definir el valor de x 0 , y a partir de xn definir lo que vale xn+1. El principio de inducción nos asegura que de esta forma se define una función x : N → X (aunque formalizar esto es bastante engorroso, la idea consiste en considerar A el subconjunto de los números naturales n para los que xn está definido. Claramente, 0 ∈ A y si n ∈ A entonces n + 1 ∈ A, luego A = N). Esta forma de definir sucesiones se llama recursiva, pues para obtener el valor de xn necesitamos el valor de xn− 1 , que a su vez necesita el valor de xn− 2 , y así, hasta x 0. Es decir, la sucesión recurre a la propia sucesión para obtener un valor determinado.
Ejemplo 1.1.3.
- Dado a ∈ R∗, definimos la sucesión xn como sigue:
x 0 = 1 xn+1 = a · xn
Es fácil comprobar que xn = an.
- Definimos la sucesión xn = 2n+1^ − 1. En este caso hemos dado explícitamente xn para cada n ∈ N. Definimos ahora yn como sigue:
y 0 = 1 yn+1 = yn + 2n+
Que ha sido definida de forma recursiva. En el ejemplo 1.1.1 se ha comprobado que xn = yn para todo n ∈ N.
- La sucesión xn = 1 + 2 + · · · + n puede ser definida recursivamente como:
x 1 = 1 xn+1 = xn + n + 1
También se podría comenzar con x 0 = 0. En el ejemplo 1.1.2 se comprueba que xn = n(n 2 +1).
- Podemos definir n! de forma recursiva:
a) 0! = 1 b) (n + 1)! = (n + 1) · n!
- Sea m ∈ N. Definimos la sucesión:
x 0 = 0 xn+1 = xn + m
Es fácil comprobar que xn = m · n (hágase). Vemos entonces como definir el producto de números naturales a partir de las suma.
Consideremos ahora la sucesión dada por
f 0 = 1 f 1 = 1 fn = fn− 1 + fn− 2
Es fácil calcular los primeros términos de esta sucesión: f 2 = 1 + 1 = 2; f 3 = 1 + 2 = 3; f 4 = 2 + 3 = 5; f 5 = 3 + 5 = 8 y así sucesivamente. Parece claro que está bien definido el valor de fn para cualquier n ∈ N. Sin embargo, esta definición no se ajusta al método de recurrencia dado anteriormente (pues en este caso, para calcular un término es necesario recurrir a los dos términos anteriores, mientras que en el método dado anteri- ormente, únicamente necesitamos conocer el término anterior). Para subsanar este problema, veamos un nuevo principio de inducción.
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1.1. Principio de inducción y recurrencia 5 Teorema 1.1.2. [Segundo principio de inducción] Sea A un subconjunto de N. Supongamos que se verifica:
- 0 ∈ A.
- Para cualquier n, { 0 , 1 · · · n − 1 } ⊆ A =⇒ n ∈ A
Entonces A = N.
Formalmente, la primera condición no es necesaria, pues para n = 0 la segunda condición afirma ∅ ⊆ A =⇒ 0 ∈ A, y puesto que la primera parte es siempre cierta (∅ ⊆ A), la condición 2 implica que 0 ∈ A. Sin embargo, en la práctica suele ser necesario comprobar que 0 ∈ A. Notemos también que si la condición 1 se cambia por una de la forma 0 , 1 , · · · , k ∈ A, la tesis del teorema sigue siendo cierta.
Demostración: Supongamos que A 6 = N. Entonces el conjunto B = N \ A es distinto del conjunto vacío. Por tanto, por el principio de buena ordenación tenemos que B tiene un mínimo. Sea este n 0. Esto implica que { 0 , 1 , · · · , n 0 − 1 } ⊆ A (pues ninguno de sus elementos pertenece a B), luego por la condición 2 tenemos que n 0 ∈ A, lo que es imposible, pues n 0 ∈ B. Deducimos entonces que A = N •
Este segundo principio puede usarse, tanto para definir sucesiones como para probar propiedades de los números naturales.
Ejemplo 1.1.4. Sea xn la sucesión definida mediante
x 0 = 1 xn+1 =
∑^ n
k=
xk
Calculemos una fórmula general para xn. Para esto, hallemos los primeros términos: x 0 = 1; x 1 = x 0 = 1; x 2 = x 0 + x 1 = 1 + 1 = 2; x 3 = 1 + 1 + 2; x 4 = 1 + 1 + 2 + 4 = 8; x 5 = 1 + 1 + 2 + 4 + 8 = 16. Parece ser que xn responde a la expresión
xn =
1 si n = 0 2 n−^1 si n ≥ 1
Comprobémosla por inducción, utilizando el segundo principio
Paso 1: El resultado es cierto para n = 0 y n = 1.
Paso 2: La hipótesis de inducción es
x 0 = 1; x 1 = 1; · · · xn = 2n−^1 A partir de esto tenemos que xn+1 = 1 + 1 + 2 + · · · + 2n−^1 = 1 + (1 + 2 + · · · + 2n−^1 ) = 1 + 2n^ − 1 = 2n, como queríamos. En esta demostración se ha sustituido (1 + 2 + · · · + 2n−^1 ) por 2 n^ − 1 , algo que podemos hacer como vimos en el ejemplo 1.1. Podemos comprobar que realizar esta demostración usando el primer principio de inducción no es posible. Nuestra hipótesis de inducción sería que xn = 2n−^1 , y a partir de ella, tendríamos que demostrar que xn+1 = 2n. Sin embargo, lo único que podemos hacer es
xn+1 = x 0 + x 1 + · · · + xn− 1 + xn = x 0 + x 1 + · · · + xn− 1 + 2n−^1
y puesto que nuestra hipótesis no nos dice nada del valor de xn− 1 , xn− 2 , etc., no podemos demostrar concluir que xn+1 = 2n.
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1.2. Representación de números naturales. Sistemas de numeración 7 am 6 = 0.
a =
∑m k=
akbk^ = ambm^ + · · · + a 1 b + a 0
ai < b.
Demostración: Haremos la demostración de existencia por inducción en a, usando el segundo principio de inducción. La unicidad se deja como ejercicio. El paso inicial consiste en este caso en probarlo para a = 1, 2 , · · · , b − 1. En estos casos basta tomar m = 0 y a 0 = a. Sea ahora a ∈ N, con a ≥ b. La hipótesis de inducción nos garantiza, para cualquier c < a, c 6 = 0, que se satisface la tesis del teorema. Por el teorema 1.2.1 existen c, r tales que a = bc + r y r < b. Además, por ser a ≥ b tenemos que c 6 = 0, y al ser b ≥ 2 se tiene que c < a. Le aplicamos a este número c la hipótesis de inducción y obtenemos la existencia de un número k ∈ N y números c 0 , · · · , ck tales que ck 6 = 0, c = ckbk^ + · · · + c 1 b + c 0 y ci < b. Tomamos ahora m = k + 1, a 0 = r y ai = ci− 1 para 1 ≤ i ≤ m y se tiene que:
a = bc + r = b(ckbk^ + · · · c 1 b + c 0 ) + r = ckbk+1^ + · · · + c 1 b^2 + c 0 b + r = ambm^ + · · · + a 1 b + a 0
Además, am = ck 6 = 0, a 0 = r < b y ai+1 = ci < b. •
Ejemplo 1.2.2. Tomemos, por ejemplo, b = 5 y hallemos los distintos números que nos aparecen en el teorema para diferentes valores de a.
a = 3. En este caso, al ser a < b tomamos m = 0 y a 0 = a.
a = 17. Dividimos 17 entre 5 ; 17 = 5 · 3 + 2, luego a 0 = r = 2 y el resto de los números los hallamos de los obtenidos para c = 3. Aquí m = 0 + 1 y a 1 = 3. Fácilmente se comprueba que 17 = 3 · 5 + 2.
a = 89. Dividimos nuevamente entre 5 , y obtenemos 89 = 17 · 5 + 4. Por tanto a 0 = 4 y el resto lo obtenemos a partir de lo hallado para 17. Por tanto, k = 1 + 1 = 2, a 1 = c 0 = 2 y a 2 = c 1 = 3. Se observa como 89 = 3 · 52 + 2 · 5 + 4.
a = 441. Se tiene que 446 = 5 · 89 + 1, luego a 0 = 1, m = 2 + 1 = 3, a 1 = c 0 = 4, a 2 = c 1 = 2 y a 3 = c 2 = 3. Ahora se ve como 446 = 3 · 53 + 2 · 52 + 4 · 5 + 1.
Definición 3. Sean a, b ∈ N con b ≥ 2. Elegimos b símbolos que se corresponden con los números desde 0 hasta b − 1 , e identificamos estos números con sus símbolos. Supongamos que a = ambm^ + · · · + a 1 b + a 0 con ai < b. Diremos entonces que amam− 1 · · · a 1 a 0 es una representación del número a en base b, y escribiremos a = (amam− 1 · · · a 1 a 0 )b
Observaciones:
- Cada uno de los símbolos que aparecen en la representación de un número se denomina cifra.
- Si a = (am · · · a 1 a 0 )b, podemos añadir ceros a la izquierda y obtenemos también una representación de a. Normalmente, elegiremos como representación de a aquella para la que la cifra de la izquierda sea distinta de cero (si esto es posible).
- Si a = (am · · · a 1 a 0 )b y am 6 = 0, diremos que el número a tiene m + 1 cifras en base b.
- A la hora de especificar la base lo haremos en base decimal. Si la expresáramos en base b nos quedaría siempre 10.
- Cuando no se especifique la base en que está expresado un número supondremos que está en base decimal, salvo que el contexto deje suficientemente claro la base en que estamos trabajando.
Ejemplo 1.2.3.
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8 NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
- Si queremos expresar el número 446 en base 5 , necesitamos una expresión de este número en función de potencias de 5. Sabemos que 446 = 3 · 53 + 2 · 52 + 4 · 5 + 1, luego
446 = (3241) 5
Si analizamos como se obtuvo esta expresión podemos notar que la cifra de la derecha es el resto de dividir 446 entre 5 , mientras que el resto de las cifras resultan de la expresión de 89 = 446 div 5 en base 5 , por tanto la segunda cifra por la derecha es el resto de dividir 89 entre 5 , y así sucesivamente. Por tanto, para expresar un número en base b, lo dividimos entre b y tomamos el resto. El cociente de la división lo dividimos entre b y volvemos a tomar el resto, y así, hasta que el cociente sea menor que b. En el ejemplo anterior se procedería como sigue: 446 = 5 · 89 + 1 89 = 5 · 17 + 4 17 = 5 · 3 + 2 Tomando los restos y el último cociente tenemos las cifras que forman el número 446 en base 5.
- Vamos a expresar el número (23143) 6 en base 8. Para esto, podemos pasarlo a base decimal y después pasarlo a base 8.
(23143) 6 = 2 · 64 + 3 · 63 + 6^2 + 4 · 6 + 3 = 2 · 1296 + 3 · 216 + 36 + 4 · 6 + 3 = 3303
Por tanto tenemos que (23143) 6 = 3303 = (6347) 8
- Vamos ahora a expresar el número (10101111011000001010100) 2 en base 8 y en base 16. En primer lugar lo pasamos a base decimal.
(10101111011000001010100) 2 = 2^22 + 2^20 + 2^18 + 2^17 + 2^16 + 2^15 + 2^13 + 2^12 + 2^6 + 2^4 + 2^2 = 5746772
Realizamos las divisiones por 8 hasta obtener un cociente menor que 8
5746772 = 8 · 718346 + 4 718346 = 8 · 89793 + 2 89703 = 8 · 11224 + 1 11224 = 8 · 1403 + 0 1403 = 8 · 175 + 3 175 = 8 · 21 + 7 21 = 8 · 2 + 5
y de aquí deducimos que (10101111011000001010100) 2 = (25730124) 8 Para expresar un número en base 16 necesitamos 16 símbolos. Emplearemos los números 0 , 1 , · · · , 9 junto con las letras A, B, C, D, E, F. Estas últimas representan los números 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 respectivamente. Realizamos a continuación las divisiones por 16.
5746772 = 16 · 359173 + 4 359173 = 16 · 22448 + 5 22448 = 16 · 1403 + 0 1403 = 16 · 87 + 11 87 = 16 · 5 + 7
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10 NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
viii) Si a · b = a · c y a 6 = 0 entonces b = c.
ix) Para cualesquiera a, b, c ∈ Z, a · (b + c) = a · b + a · c.
Nótese que la propiedad iv) implica que la suma es cancelativa. También esta propiedad permite definir la resta o diferencia de dos números enteros. Dados a, b ∈ Z se define a − b como el número a + (−b). También en Z hay definida una relación como sigue:
a ≤ b si b − a ∈ N
que satisface las siguientes propiedades:
x) a ≤ a para todo a ∈ Z.
xi) Si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b.
xii) Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c.
xiii) Para cualesquiera a, b ∈ Z, a ≤ b o b ≤ a.
xiv) a ≤ b implica que a + c ≤ b + c para todo c ∈ Z.
xv) a ≤ b y c ≥ 0 implica que a · c ≤ b · c.
xvi) a ≤ b y c ≤ 0 implica b · c ≤ a · c.
xvii) a · c ≤ b · c y c > 0 entonces a ≤ b.
xviii) a · c ≤ b · c y c < 0 implica que b ≤ a.
Por último, tenemos definida la aplicación valor absoluto | | : Z → N como sigue:
|a| =
a si a ≥ 0 −a si a < 0
y que satisface las propiedades:
xix) |a| = 0 si, y sólo si, a = 0.
xx) |a · b| = |a| · |b|.
xxi) |a + b| ≤ |a| + |b|.
xxii) |a| ≤ b si, y sólo si, −b ≤ a ≤ b.
El teorema 1.2.1 tiene ahora una versión para los números enteros.
Teorema 1.3.1. Sean a, b ∈ Z con b 6 = 0. Entonces existen únicos números enteros c, r tales que a = bc+r y 0 ≤ r < |b|.
A los números c y r que nos da el teorema se les llama respectivamente cociente y resto de la división de a entre b. Para demostrar el teorema, lo que hay que hacer es distinguir casos según sean a y b mayores o menores que 0 y referirse al caso conocido (a, b ∈ N). El siguiente ejemplo puede ayudar a analizar los diferentes casos.
Ejemplo 1.3.1.
a = 86 , b = 15. 86 = 15 · 5 + 11 a = 86 , b = − 15. 86 = (−15) · (−5) + 11 a = − 86 , b = 15. −86 = 15 · (−6) + 4 a = − 86 , b = − 15. −86 = (−15) · (−6) + 4
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1.3. Números enteros. Divisibilidad 11 Al igual que se hizo con los números naturales, podemos ahora, dados a, b ∈ Z, con b 6 = 0 definir los números a div b y a mód b como el cociente y el resto de la división de a entre b respectivamente. Nótese que a mód b = a mód − b para cualquier b ∈ Z∗. Pasamos ya a definir la relación de divisibilidad en Z.
Definición 4. Dados a, b ∈ Z, se dice que a divide a b, o que b es un múltiplo de a, y escribiremos a|b, si existe c ∈ Z tal que b = a · c.
Hagamos un repaso de las propiedades más importantes, y cuya demostración es casi inmediata. Propiedades:
- Para cualquier a ∈ Z se verifica que 1 |a y a| 0.
- Para cualquier a ∈ Z, a|a.
- Si a|b y b|a entonces a = ±b.
- Si a|b y b|c entonces a|c.
- Si a|b y a|c entonces a|(b + c).
- Si a|b entonces a|bc para cualquier c ∈ Z.
- a|b si, y sólo si, b mód a = 0.
Según la definición que acabamos de dar, si a|b existe un elemento c tal que b = a · c. Este elemento, salvo cuando a = 0 está totalmente determinado por a y b. Lo denotaremos entonces como (^) ab. Aunque estamos usando una notación de fracción, en este contexto (^) ab sólo tiene sentido cuando a|b, en cuyo caso es un elemento de Z.
Definición 5. Sean a, b dos números enteros. Se dice que d es un máximo común divisor de a y b si se satisfacen las dos siguientes condiciones:
d|a y d|b.
Si c|a y c|b entonces c|d.
Nótese que la primera condición nos dice que d debe ser un divisor común de a y b. La segunda condición nos dice que de todos los divisores comunes es el "más grande". Nótese también que si d es un máximo común divisor de a y b, también lo es −d, de ahí que hayamos hablado de un máximo común divisor y no de el máximo común divisor. Además, si d es un máximo común divisor, no hay otro máximo común divisor aparte de −d. Dados a, b ∈ Z, denotaremos por mcd(a, b) al único máximo común divisor de a y b que pertenece a N. De la misma forma que se ha definido el máximo común divisor de dos números podría hacerse para tres o más. La definición del mínimo común múltiplo es semejante a la que acabamos de dar.
Definición 6. Sean a, b dos números enteros. Se dice que m es un máximo común divisor de a y b si se satisfacen las dos siguientes condiciones:
a|m y b|m.
Si a|n y b|n entonces m|n.
Las mismas observaciones que se han hecho para el máximo común divisor valen ahora para el mínimo común múltiplo. Algunas propiedades referentes al máximo común divisor son: Propiedades:
- mcd(a, b) = mcd(a, −b) = mcd(−a, b) = mcd(−a, −b) = mcd(|a|, |b|).
- mcd(a, 0) = |a| y mcd(a, 1) = 1
Jesús García Miranda
1.3. Números enteros. Divisibilidad 13 Devuelve a
Ejemplo 1.3.2. Vamos a calcular el máximo común divisor de 48 y 30. Al ser a y b positivos, no es necesario ejecutar la primera sentencia.
(a, b) = (48, 30) Al ser b = 30 6 = 0 hacemos (a, b) = (30, 18) Como b = 18 6 = 0 hacemos (a, b) = (18, 12) Dado que b = 12 6 = 0 hacemos (a, b) = (12, 6) Puesto que b = 6 6 = 0 hacemos (a, b) = (6, 0) Y ahora b = 0 Por tanto, el máximo común divisor de 48 y 30 es a = 6.
Teorema 1.3.2. [Identidad de Bezout] Sean a, b ∈ Z y d = mcd(a, b). Entonces existen u, v ∈ Z tales que d = au + bv.
Demostración: Sabemos que para el cálculo del máximo común divisor de a y b podemos realizar una serie de divisiones r− 1 = r 0 · c 1 + r 1 r 0 = r 1 · c 2 + r 2 r 1 = r 2 · c 3 + r 3
..................... ri− 2 = ri− 1 · ci + ri ........................ rk− 2 = rk− 1 · ck + rk rk− 1 = rk · ck+1 + 0
donde r− 1 = a y r 0 = b. Vamos a demostrar que para cada i tal que − 1 ≤ i ≤ k existen ui, vi ∈ Z tales que ri = a · ui + b · vi. Claramente, para i = − 1 e i = 0 el resultado es cierto, pues r− 1 = a · 1 + b · 0 y r 0 = a · 0 + b · 1 (es decir, (u− 1 , v− 1 ) = (1, 0) y (u 0 , v 0 ) = (0, 1)). Supongamos que para todo j < i existen uj y vj tales que rj = a · uj + b · vj. Entonces: ri = ri− 2 − ri− 1 · ci = (a · ui− 2 + b · vi− 2 ) − (a · ui− 1 + b · vi− 1 ) · ci = a · (ui− 2 − ui− 1 · ci) + b · (vi− 2 − vi− 1 · ci) Basta entonces tomar ui = ui− 2 − ui− 1 · ci y vi = vi− 2 − vi− 1 · ci • Esta demostración además nos dice como encontrar los coeficientes u y v.
Ejemplo 1.3.3. Vamos a hallar el máximo común divisor de 1005 y 450 , y a expresarlo en función de estos dos números. Realizamos las divisiones, y a la vez vamos expresando los restos en funciónde 1005 y 450. 1005 = 450 · 2 + 105 105 = 1005 · 1 + 450 · (−2)
450 = 105 · 4 + 30 30 = 450 − 105 · 4 = 450 − (1005 · 1 + 450 · (−2)) · 4 = 1005 · (−4) + 450 · (1 − (−2) · 4) = 1005 · (−4) + 450 · 9
105 = 30 · 3 + 15 15 = 105 − 30 · 3 = (1005 · 1 + 450 · (−2)) − (1005 · (−4) + 450 · 9) · 3 = 1005 · (1 − (−4) · 3) + 450 · (− 2 − 9 · 3) = 1005 · (13) + 450 · (−29)
30 = 15 · 2 + 0 De donde deducimos que mcd(1005, 450) = 15, y 15 = 1005 · 13 + 450 · (−29). Estos datos pueden ser ordenados como sigue:
Jesús García Miranda
14 NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
a b r c u v 1 0 0 1 1005 450 105 2 1 - 450 105 30 4 -4 9 105 30 15 3 13 - 30 15 0 Donde los valores iniciales son las dos primeras filas, así como los dos primeros elementos de la tercera fila. Es claro como se obtiene la tercera y cuarta columnas a partir de las dos primeras. También es claro como un elemento de la primera columna coincide con el elemento de la segunda columna de la fila superior. De la misma forma se obtiene la segunda columna. Por último, para obtener un elemento de la columna quinta, se toma el que está en su misma fila y en la columna cuarta, se multiplica por el que está inmediatamente encima de él y el resultado se le resta al que está dos posiciones encima suya. De forma análoga se completa la sexta columna. Veamos un algoritmo que recoge todos estos cálculos. Este algoritmo calcula, dados a, b ∈ Z su máximo común divisor d y los coeficientes u y v tales que d = au + bv. Puesto que en el cálculo de ui es necesario tener presente los valores de ui− 1 y ui− 2 necesitaremos de una variable x donde almacenar ui− 2. De la misma forma necesitaremos una variable y para almacenar vi− 2.
Algoritmo BEZOUT(a, b) Entrada: a, b ∈ Z Salida: (d, u, v): d = mcd(a, b); d = au + bv Si b = 0 Devuelve (a, 1 , 0); Fin (x, u) := (1, 0) (y, v) := (0, 1) r := a mód b Mientras r 6 = 0 c := a div b (x, u) := (u, x − u · c) (y, v) := (v, y − v · c) (a, b) := (b, r) r := a mód b Devuelve (b, u, v) Fin
En el caso de que a ó b valieran cero, en el resultado final podría devolver un valor para d negativo. Bastaría entonces multiplicar d, u y v por − 1. Una consecuencia inmediata del teorema 1.3.2 es el siguiente corolario:
Corolario 1.3.2. Sean a, b ∈ Z. Entonces existen u, v ∈ Z tales que 1 = au + bv si, y sólo si, mcd(a, b) =
Demostración: El teorema de Bezout nos dice que si mcd(a, b) = 1 entonces existen u, v ∈ Z satisfa- ciendo la igualdad deseada. Recíprocamente, supongamos que tenemos u, v ∈ Z tales que 1 = au + bv. Sea ahora d un divisor común de a y b. Entonces:
d|a =⇒ d|au d|b =⇒ d|bv
=⇒ d|(au + bv) =⇒ d| 1
De donde se deduce que mcd(a, b) = 1. • Dos números cuyo máximo común divisor vale 1 se dice que son primos relativos.
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16 NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
podemos razonar como en el ejemplo anterior (el miembro de la izquierda es múltiplo de 3 y no así el miembro de la derecha). Repetir este razonamiento a una ecuación general de la forma ax + by = c nos lleva a probar con todos los divisores comunes de a y b, pero dado que en el máximo común divisor de a y b están recogidos todos los divisores comunes de a y b, nos quedamos únicamente con éste. Dada la ecuación ax + by = c, sea d = mcd(a, b). Hemos razonado que una condición necesaria para que tenga solución es que d divida a c. La siguiente proposición nos asegura que esta condición es también suficiente.
Proposición 1.4.1. Sean a, b, c ∈ Z y d = mcd(a, b). Entonces la ecuación
ax + by = c
tiene solución entera si, y sólo si, d|c
Demostración: La condición necesaria (ax + by = c tiene solución =⇒ d|c) es fácil de probar. Veamos la condición suficiente (nos garantiza la existencia de solución). Supongamos que d|c. Sea z = (^) dc Por el teorema de Bezout, existen u y v tales que d = au + bv. Multiplicamos ambos miembros por z, y obtenemos que c = dz = (au + bv)z = a(uz) + b(vz)
luego x = uz e y = vz es una solución de la ecuación. • La demostración anterior no sólo nos dice cuando una ecuación de la forma ax + by = c tiene solución sino que nos proporciona una forma de encontrar una.
Ejemplo 1.4.1. Vamos a encontrar, si es posible, una solución a la ecuación 105 x + 465y = 195. Calculamos el máximo común divisor de 105 y 465.
a b r c u v 1 0 0 1 105 465 105 0 465 105 45 4 105 45 15 2 30 15 0 Vemos que mcd(105, 465) = 15, que divide a 195 (pues 195 = 15 · 13 ). Completamos entonces la tabla
a b r c u v 1 0 0 1 105 465 105 0 1 0 465 105 45 4 -4 1 105 45 15 2 9 - 30 15 0 luego 15 = 105 · 9 − 465 · 2. Multiplicamos por 13 y nos queda
195 = 105 · 117 − 465 · 26
Por tanto una solución es x = 117, y = − 26.
Sabemos ya, dada una ecuación de la forma ax + by = c decidir si tiene o no solución, y en caso afirmativo, encontrar una. Sin embargo, cuando existe una solución a esta ecuación pueden encontrarse otras más. Así, por ejemplo, tenemos que
195 = 105 · 117 − 465 · 26 195 = 105 · 86 − 465 · 19 195 = 105 · 55 − 465 · 12 195 = 105 · 24 − 465 · 5 195 = 105 · (−7) + 465 · 2 195 = 105 · 148 − 465 · 33
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1.5. Números primos. Teorema fundamental de la aritmética 17 Proposición 1.4.2. Sean a, b, c ∈ Z y d = mcd(a, b). Supongamos que x 0 , y 0 es una solución de la ecuación ax + by = c. Entonces todas las soluciones de esta ecuación son:
x = x 0 + k bd y = y 0 − k ad k ∈ Z
Demostración: Se tiene que a
x 0 + k bd
+b
y 0 − k ad
= ax 0 +ak (^) db +by 0 −bk ad = ax 0 +by 0 +ak bd −bk ad = c, luego todas las parejas (x, y) de la forma dada en el enunciado son soluciones. Veamos que toda solución adopta esa forma. Sean a′^ = ad y b′^ = bd. Si x, y es una solución de la ecuación, entonces ax 0 + by 0 = ax + by, de donde a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) = 0, es decir, a(x − x 0 ) = b(y 0 − y), lo que implica que a′(x − x 0 ) = b′(y 0 − y). Se tiene entonces que b′|a′(x − x 0 ), y como mcd(a′, b′) = 1 (¿por qué?) deducimos que b′|(x − x 0 ), o sea, existe k ∈ Z tal que x − x 0 = kb′, de donde
x = x 0 + kb′^ = x 0 + k
b d
b′(y 0 − y) = a′(x − x 0 ) = a′kb′, luego y 0 − y = ka′, o, lo que es lo mismo, y = y 0 − ka′^ •
Ejemplo 1.4.2. Una solución de la ecuación 105 x + 465y = 195 es x 0 = 117 e y 0 = − 26. Todas las soluciones de esta ecuación son entonces
x = 117 + 31k y = − 26 − 7 k k ∈ Z
Si la damos distintos valores a k obtenemos distintas soluciones: k = 1: x = 148, y = − 33. k = 2: x = 179, y = − 40. k = − 1 : x = 86, y = − 19. k = − 4 : x = − 7 , y = 2.
1.5. Números primos. Teorema fundamental de la aritmética
En esta sección vamos a demostrar el conocido teorema fundamental de la aritmética, que afirma que todo número natural mayor o igual que 2 se expresa de forma única como producto de números primos. Comenzamos definiendo los números irreducibles.
Definición 7. Sea p un número entero distinto de 0 , 1 y − 1. Se dice que p es irreducible si sus únicos divisores son ± 1 y ±p.
Ejemplo 1.5.1. Son irreducibles 2 , 3 , 5. No es irreducible 4 , pues 2 es un divisor suyo.
Claramente, si p es irreducible también lo es −p. Veamos a continuación una caracterización de los números irreducibles.
Proposición 1.5.1. Sea p un número entero distinto de 0 , 1 y − 1. Entonces:
p es irreducible ⇐⇒ (p|ab =⇒ p|a ó p|b)
Antes de hacer la demostración veamos algún ejemplo.
Ejemplo 1.5.2. Sabemos que si el producto de dos números es par, al menos uno de ellos debe ser par. Puesto que ser par es equivalente a ser múltiplo de 2 , lo que estamos diciendo es que
2 |ab implica 2 |a ó 2 |b
lo que de acuerdo con la proposición es decir que 2 es irreducible (algo que ya sabíamos). De la misma forma, si el producto de dos números es múltiplo de 3 , uno de los factores debe serlo.
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1.6. Clases residuales módulo m 19
La factorización de un número como producto de primos permite de forma fácil determinar los divisores de un número. Así, si a = pe 11 pe 22 · · · pe rr y b = pf 11 pf 22 · · · pf r rentonces b|a si, y sólo si, fi ≤ ei. De esta forma es fácil comprobar que el conjunto
D(a) = {pf 11 pf 22 · · · pf rr : 0 ≤ fi ≤ ei}
es el conjunto de todos los divisores positivos de a.
Ejemplo 1.5.3. Sea a = 180. Entonces a = 2^2325. Los divisores de a son entonces:
Es decir, D(180) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 12 , 15 , 18 , 20 , 30 , 45 , 60 , 90 , 180 }
También podemos calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números.
Proposición 1.5.2. Sean a, b ∈ N∗. Supongamos que a = pe 11 pe 22 · · · pe rr y b = pf 11 pf 22 · · · pf rr son las factorizaciones de a y b como producto de irreducibles. Entonces:
mcd(a, b) = pmín 1 {e^1 ,f^1 }pmín 2 {e^2 ,f^2 }· · · pmín r {er^ ,fr^ }
mcm(a, b) = p máx{e 1 ,f 1 } 1 p
máx{e 2 ,f 2 } 2 · · ·^ p
máx{er ,fr } r Esta proposición puede generalizarse fácilmente para el cálculo del máximo común divisor y/o el mínimo común múltiplo de 3 ó más números.
Ejemplo 1.5.4. Sean a = 350 y b = 1155. Entonces se tiene que a = 2 · 52 · 7 y b = 3 · 5 · 7 · 11. Por tanto
mcd(350, 1155) = 2^0305171110 = 5 · 7 = 35 mcm(350, 1155) = 2^1315271111 = 11550
1.6. Clases residuales módulo m
En esta sección vamos a construir, para cada m ≥ 2 los conjuntos Zm, de los que estudiaremos su aritmética.
Definición 8. Sean a, b, m ∈ Z. Se dice que a es congruente con b módulo m, y se escribe a ≡ b(mód m) ó a ≡m b, si m|(b − a). Es decir:
a ≡ b(mód m) si existe k ∈ Z tal que b − a = km
Nótese que a ≡ b(mód m) si, y sólo si, a ≡ b(mód −m). Por tanto, al hablar de congruencias módulo m podemos suponer que m ∈ N. Además, la relación de congruencia módulo 0 es la relación de igualdad (a ≡ b(mód 0) si, y sólo si, a = b) que no nos aporta nada nuevo. En la relación de congruencia módulo 1 todos los elementos están relacionados con todos los elementos, luego también carece de interés. Nos centraremos entonces en módulos m que sean mayores que 1.
Ejemplo 1.6.1. Claramente, 5 ≡ 17(mód 4) pues 17 − 5 es múltiplo de 4. De la misma forma 5 ≡ 17(mód 6). Sin embargo 5 6 ≡ 15(mód 8) pues 17 − 5 no es múltiplo de 8.
Proposición 1.6.1. Dado m ≥ 2. Entonces la relación ≡m es una relación de equivalencia.
Demostración: Hemos de demostrar que la relación es reflexiva, simétrica y transitiva.
Reflexiva: Dado que 0 = a − a es múltiplo de m tenemos que para cualquier a ∈ Z se verifica que a ≡ a(mód m).
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20 NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
Simétrica: Supongamos que a ≡ b(mód m). Entonces m|(b − a), luego m|(a − b), es decir, b ≡ a(mód m).
Transitiva: a ≡ b(mód m) =⇒ m|(b − a) b ≡ c(mód m) =⇒ m|(c − b)
=⇒ m|[(b − a) + (c − b)] =⇒ m|(c − a) =⇒ a ≡ c(mód m)
Como ejercicio se pide probar que a ≡ b(mód m) si, y sólo si, a mód m = b mód m. Puesto que para cada m la relación ≡m es de equivalencia, podemos considerar el conjunto cociente. Este conjunto será denotado por Zm. La clase de un número entero a en Zm será denotada por [a]m o simplemente [a]. Veamos a continuación qué conjunto es Zm.
Ejemplo 1.6.2. Comenzemos con el conjunto Z 2. Para ello calculemos las clases de equivalencia.
[0] 2 = {a ∈ Z : 0 ≡ a(mód 2)} Ahora bien, 0 ≡ a(mód 2) si, y sólo si, 2 |(a − 0), es decir, [0] 2 está constituida por todos los números múltiplos de 2 (números pares) De la misma forma se tiene que
[1] 2 = {a ∈ Z : 1 ≡ a(mód 2)} = {a ∈ Z : a mód 2 = 1 mód 2 }
es decir, los números impares. Se tiene entonces que
[0] 2 = {· · · , − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 , 6 , · · · } [1] 2 = {· · · , − 5 , − 3 , − 1 , 1 , 3 , 5 · · · }
Y como todo número entero pertenece a [0] 2 o a [1] 2 deducimos que Z 2 = {[0] 2 , [1] 2 }. De la misma forma se comprueba que
[0] 3 = {· · · , − 6 , − 3 , 0 , 3 , 6 , · · · } [1] 3 = {· · · , − 5 , − 2 , 1 , 4 , 7 , · · · } [2] 3 = {· · · , − 4 , − 1 , 2 , 5 , 8 , · · · }
y que Z 3 = {[0] 3 , [1] 3 , [2] 3 } En general, dado m ≥ 2 y r tal que 0 ≤ r < m se verifica que
[r]m = {a ∈ Z : a mód m = r}
es decir, en la clase de r están los números enteros que al dividir por m da resto r, y puesto que al dividir un número entre m el resto sólo puede tomar los valores 0 , 1 , · · · , m − 1 deducimos que
Zm = {[0]m, [1]m, · · · , [m − 1]m}
Vamos a continuación a estudiar la estructura algebraica de estos conjuntos. Para ello necesitamos el siguiente lema:
Lema 1.6.1. Sean a, b, c, d ∈ Z y m ≥ 2. Entonces:
a ≡ c(mód m) b ≡ d(mód m)
=⇒ a + b ≡ c + d(mód m)
a ≡ c(mód m) b ≡ d(mód m)
=⇒ ab ≡ cd(mód m)
Demostración:
a ≡ c(mód m) =⇒ m|(c − a) b ≡ d(mód m) =⇒ m|(d − b)
=⇒ m|(c − a + d − b) =⇒ m|(c + d − (a + b)) =⇒ a + b ≡ c + d(mód m)
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