¡Descarga Aprendizaje de Matemáticas a través del Lenguaje de Programación R en Educación Secundaria y más Monografías, Ensayos en PDF de Literatura solo en Docsity!
ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN doi: 10.24844/EM3001.
Aprendizaje de las matemáticas a través
del lenguaje de programación R
en Educación Secundaria
Learning Mathematics through the R Programming
Language in Secondary Education
Álvaro Briz Redón
Ángel Serrano Aroca^1
Resumen. El aprendizaje de la programación por medio de los ordenadores constituye una gran ventaja a nivel de competencias en la época actual. Ade- más, en un sentido estrictamente educacional, la programación puede dotar a los alumnos que la estudian y practican de una mayor capacidad de razona- miento lógico, pensamiento estructurado o incluso una mayor imaginación. Así pues, el primer objetivo de este trabajo es revisar algunos estudios que señalan las múltiples ventajas que puede suponer para el alumnado el aprendizaje de la programación durante su educación secundaria. El segundo y principal objetivo es plantear el uso de uno de los lenguajes de programación más populares del momento, el R, como una herramienta para tratar contenidos propios de la asignatura de Matemáticas. Esto es especial- mente interesante debido a la presencia de contenidos en el currículo que se prestan claramente al diseño de algoritmos y a una experimentación mayor que la que permite la enseñanza tradicional. Esta metodología de aprendizaje fue puesta en práctica con 33 alumnos espa- ñoles de entre 14 y 15 años de edad, los cuales utilizaron el lenguaje R para Fecha de recepción: 24 de mayo de 2017. Fecha de aceptación: 25 de noviembre de 2017 (^1) Departamento de Ciencias Aplicadas y Tecnológicas, Facultad de Veterinaria y Ciencias Experimenta- les, Universidad Católica de Valencia San Vicente Mártir, Valencia, España, [email protected]
Álvaro Briz Redón • Ángel Serrano Aroca tratar cuestiones relativas a la resolución de ecuaciones polinómicas. La expe- riencia permitió comprobar grandes ventajas de la metodología, aunque tam- bién algunas desventajas para ciertos alumnos, debido a la complejidad intrínseca de la programación, como se desprendió del análisis correlacional de la encuesta realizada a los mismos. En cualquier caso, estas desventajas podrían subsanarse mediante una aplicación de la metodología más prolon- gada en el tiempo. Palabras clave: educación matemática; pensamiento computacional; educación secundaria; lenguaje de programación. Abstract. Learning to program using computers constitutes a great advantage for students in order to gain competencies nowadays. Furthermore, programming can help them to develop skills such as logical reasoning, structured and/or even creative thinking from an educational point of view. Therefore, the first objective of this work is to review several studies that discuss the multiple benefits that students can obtain from learning to program in secondary education. The second and main purpose of this study seeks to show the possibility of learning mathematical concepts with the aid of one of the most popular pro- gramming languages currently available, R. This is especially interesting because some mathematical contents in the curriculum are easy to teach via algorithmic design and experimentation. Besides, these contents are unable to be taught in this way when using traditional teaching methods. This learning methodology was tested with 33 students from Spain aged 14- years, which used the R programming language to study polynomial equations. The experience provided sufficient information for observing great advantages and yet some disadvantages for certain students due to the intrinsic complexity of programming, as it was revealed through the correlational analysis of the survey that was taken by the participants. In any case, these disadvantages would likely be solved by a longer implementation of the methodology. Keywords: mathematics education; computational thinking; secondary educa- tion; programming language.
Álvaro Briz Redón • Ángel Serrano Aroca subproblemas más sencillos, la definición y explicación de un modelo basado en el entorno máquina-lenguaje donde se está trabajando (Du Boulay, 1986), la ligera modificación de conjuntos de instrucciones para resolver problemas parecidos (Linn y Dalbey, 1989), o el planteamiento constante de problemas aplicados constituyen algunos ejemplos metodológicos de enseñanza de la programación que se pueden considerar exitosos. A principios de los años 70 se concluye en un estudio que el uso del lenguaje Logo puede potenciar la capacidad lectora de algunos alumnos, además de aumentar el interés por aprender y el nivel de autoconfianza en muchos de ellos (Feurzeig y Lukas, 1972). Por este motivo Papert (1972) defendió el aprendizaje de las matemáticas de un modo activo y práctico, en contra de lo que proponía la enseñanza tradicional. Según este autor, conocer conceptos sin saber de qué manera se construyen es insuficiente, motivo por el cual también propuso el aprendizaje mediante la ayuda de la programación. Diversos estudios realizados con el lenguaje Logo han demostrado que la programación puede facilitar la conceptualización de variables matemáticas como la algebraica (Noss, 1986), contribuye muy significativamente al desarrollo de la competencia en la resolución de problemas (Battista y Clements, 1987) y afecta positivamente ciertas áreas del funcionamiento y logro cognitivo (Clements, 1987). Otros autores, como Du Boulay (1978), pusieron a prueba la enseñanza de las matemáticas mediante la programación con profesores de Primaria en formación que mostraban dificultades y hasta un cierto desagrado hacia las mismas. De este modo, según Howe et al. (1982), la razón principal de enseñar matemáticas mediante la programación se debe a que el alumno necesita replantearse los conceptos matemáticos para poder traducirlos a un lenguaje que el ordenador comprenda, pudiendo favorecer la adquisición de estrategias en la resolución de problemas. Además, el conocimiento ganado en programación puede también ser utilizado para discutir conceptos y problemas clásicos de matemáticas (Feurzeig et al ., 2011). Otros lenguajes que se están incorporando con fuerza durante los últimos años son el Scratch (Resnick, 2009), R (Team, 2000) o Python (Van Rossum y Drake, 2003), ya que los lenguajes como Logo, Basic o Pascal, que son referentes históricos, están siendo desplazados por estos programas más modernos. Por ejemplo, Misfeldt y Ejsing-Duun (2015) elaboraron una experiencia con niños de 11 años de edad cuya tarea era diseñar y programar juegos sencillos para iPad en el lenguaje Hopscotch, lo cual garantizó desde el primer momento la elevada motivación de los alumnos, al mismo tiempo que les permitió aprender lenguaje algebraico sencillo, ángulos y sistemas de coordenadas.
Aprendizaje de las matemáticas a través del lenguaje de programación R en Educación Secundaria Akpinar y Aslan (2015) aplicaron el lenguaje Scratch para la creación de un entorno de aprendizaje que permitiese el estudio de la probabilidad. Pese a que Scratch no dispone de elementos específicos para el tratamiento de cuestiones probabilísticas, la puesta en práctica de situaciones experimentales y simuladas pudo ayudar a mejorar la destreza de los alumnos hacia esta rama de las mate- máticas. Respecto al Scratch, es importante mencionar el proyecto ScratchMaths (Benton et al ., 2016) que se desarrolló, inicialmente, en cuatro escuelas primarias de Londres con estudiantes de 9 a 11 años y se centra en el aprendizaje de los alumnos por medio de este lenguaje sobre cuatro objetivos básicos: explorar, explicar, predecir y compartir, los cuales garantizan un aprendizaje íntegro en los alumnos. Otro de los muchos trabajos recientes acerca del lenguaje Scratch en educación es el estudio de Foerster et al. (2016) aplicado a una clase de alumnos, también de unos 11 años, con la idea de que aprendieran sobre congruencias de polígonos y construcción de teselaciones, lo cual permitió demostrar, meses después, los posibles efectos positivos a largo plazo que puede producir una metodología de estas características. De forma más específica, algunos autores han comprobado que el uso de la programación mejora el rendimiento de estudiantes de todos los niveles, como Wang et al. (2016) que analizaron los efectos del aprendizaje de la programación sobre dos grupos: estudiantes especialmente dotados para las matemáticas y alum- nos de un nivel considerado medio. En este estudio, si bien los niños espe- cialmente hábiles en matemáticas se beneficiaron aún más con la metodología, los resultados fueron significativamente buenos en ambos grupos, en términos de capacidad de resolución de problemas y motivación. Sin embargo, Lye y Koh (2014) concluyen que para el aprovechamiento de cualquier nueva metodología de este tipo es necesario el establecimiento de un entorno de aprendizaje basado en la resolución de problemas de forma constructiva. Esto debe incluir, básicamente, el procesado de datos y la reflexión continua, aunque siempre de forma creciente en cuanto a dificultad y que el docente actúe como guía del proceso. De acuerdo con todos los estudios previos, la hipótesis del presente trabajo se basa en que la enseñanza de las matemáticas puede resultar aún más efec- tiva en potenciar el desarrollo de contenidos y destrezas propios de la asignatura en la etapa de educación secundaria si elegimos un lenguaje de programación como el R, que es uno de los más populares del momento y ofrece grandes ventajas.
Aprendizaje de las matemáticas a través del lenguaje de programación R en Educación Secundaria Desde el punto de vista de contenidos matemáticos, el objetivo consistió en simplemente obtener todas las soluciones enteras de una ecuación polinómica de coeficientes enteros, y alcanzar este objetivo principal requirió del uso de diferentes técnicas y métodos de programación, al mismo tiempo que permitió el aprendizaje y/o refuerzo de variados conceptos matemáticos. 2.4 sesiones Respecto a la temporalidad del estudio, se impartieron cuatro sesiones de 50 minutos a cada uno de los dos grupos, realizando un total de ocho sesio- nes de implantación de esta nueva metodología. Las dos primeras sesiones consistieron en una introducción básica a los elementos y operaciones prin- cipales que pueden realizarse mediante el lenguaje R. Las dos últimas se dedicaron a poner en práctica, mediante este mismo lenguaje, la resolución de ecuaciones polinómicas de coeficientes enteros. El proceso de obtención de las soluciones de este tipo de ecuaciones requiere de dos pasos: obtener todos los divisores del término independiente del polinomio y, seguidamente, comprobar cuáles de estos divisores son solución, pues son los únicos can- didatos enteros. En la Figura 1 se muestra un esquema que representa el orden en que se plantearon los diferentes contenidos y problemas a lo largo de las cuatro sesiones. Las elipses contienen los conceptos matemáticos básicos que fueron tratados de acuerdo con los problemas propuestos, los cuales se muestran dentro de rectángulos redondeados.
Álvaro Briz Redón • Ángel Serrano Aroca Figura 1. Esquema de la secuencia didáctica seguida durante las cuatro sesiones. 2.5 encuesta Con el fin de estudiar lo exitosa que resultó la metodología empleada, se pasó a los alumnos una encuesta con diversas preguntas en relación a las sesiones recibidas. Para medir con cierta precisión los efectos que sobre ellos tuvo la nueva metodología, las preguntas referentes a las sesiones fueron acompañadas de otras, totalmente generales, que valoraban su aptitud y actitud hacia las Matemáticas, la Informática y la combinación de ambas. Las preguntas que se hicieron al respecto son las que forman parte del test mtas ( Mathematics and Technology Attitudes Scale ) diseñado por Pierce et al. (2007). El test consta de 20 preguntas divididas en cinco categorías (cuatro preguntas para cada una) que podrían traducirse, a partir de su denominación original, de la forma
Álvaro Briz Redón • Ángel Serrano Aroca P8 Soy capaz de manejar cualquier programa que necesito para el colegio. P9 Tengo una mente buena para las matemáticas. P10 Soy capaz de obtener buenos resultados en matemáticas. P11 Soy capaz de manejar las dificultades en matemáticas. P12 Tengo confianza en mí mismo sobre mi dominio de las matemáticas. P13 Me interesa aprender cosas nuevas sobre matemáticas. P14 En matemáticas eres recompensado por tus esfuerzos. P15 Disfruto aprendiendo matemáticas. P16 Siento satisfacción cuando resuelvo problemas de matemáticas. P17 Me gusta utilizar aplicaciones informáticas para aprender matemáticas. P18 Usar aplicaciones informáticas para aprender matemáticas vale la pena. P19 Las matemáticas son más interesantes con aplicaciones informáticas. P20 Las aplicaciones informáticas me ayudan a aprender matemáticas mejor. P21 Las clases en las que hemos usado R me han resultado interesantes. P22 Las clases en las que hemos usado R me han resultado divertidas. P23 He comprendido los programas y códigos que el profesor ha escrito en el lenguaje R. P24 He sido capaz de modificar algunos códigos en R para resolver nuevos problemas. P25 He sido capaz de escribir por mí mismo algunas instrucciones en el lenguaje R. P26 Me ha resultado fácil adaptarme a la sintaxis del lenguaje R. P27 He descubierto la necesidad de usar el ordenador para resolver ciertas ecuaciones. P28 He reforzado o ampliado mis conocimientos sobre ecuaciones polinómicas. P29 He adquirido nuevos conocimientos matemáticos que desconocía. P30 He repasado las notas elaboradas por el profesor antes de cada nueva clase. Tabla 1. Códigos y preguntas de la encuesta a valorar por los alumnos con la escala utilizada de 1 para totalmente en desacuerdo y 6 para totalmente de acuerdo.
Aprendizaje de las matemáticas a través del lenguaje de programación R en Educación Secundaria Figura 2. Encuesta con las 30 preguntas clasificadas por categorías en 9 bloques (5 para el test mtas, 4 para las preguntas directas sobre las sesiones). Dentro de cada uno de los sectores de este gráfico se indica el número de preguntas incluidas en la categoría correspondiente.
- RESULTADOS 3.1 sesiones Como parte inicial de la primera sesión, se practicaron las operaciones mate- máticas básicas, tratando la consola del lenguaje como una simple calcula- dora. Inmediatamente después los alumnos comenzaron a crear variables numéricas y a realizar operaciones sencillas entre ellas. Posteriormente intro- dujimos las listas de números y se enseñó a trabajar con ellas por medio de las operaciones básicas que se les asocia: extracción o sustitución de uno o varios elementos, reducción o ampliación de listas, etcétera. Para terminar con la primera sesión, se explicó el concepto de variable lógica o booleana (de tipo true o false ) mediante diversos ejemplos. La segunda sesión se dedicó principalmente a la implementación de bucles en el lenguaje R. Se partió de los más simples, cuyo objetivo suele ser mostrar una cierta cantidad de números ordenados por pantalla. Se propuso también la construcción de bucles que requiriesen del uso de variables lógicas (explicán- dose la condición de tipo Si ) o del editado de una lista de números. Se propuso a los alumnos el diseño de un bucle que almacenase todos los números pares (positivos) inferiores o iguales a 10. Como ya se habían explicado los operadores lógicos básicos, no les fue demasiado difícil obtener tal bucle, el
Aprendizaje de las matemáticas a través del lenguaje de programación R en Educación Secundaria referencia a la hora de obtener divisores, lo cual constituía un objetivo funda- mental para cubrir el tema de resolución de ecuaciones polinómicas. De esta forma, los alumnos no tardaron en adivinar que bastaba con modi- ficar el código previo sobre números pares para resolver este nuevo problema, aunque algunos se encontraron con dificultades. La falta de atención sobre la manera en que estaba construido el bucle relativo a los número pares llevó a la modificación de la condición de paridad ( i %% 2 == 0 ) por una nueva del tipo i %% n == 0 , como puede verse en la Figura 5. Lo que evalúa esta condición no son los posibles divisores de n , sino los números de los que n es divisor. Obvia- mente, la ejecución del bucle anterior con esta modificación solo puede producir el mayor divisor de n , que no es otro que el propio n , como pudieron apreciar los estudiantes que llevaron a cabo este cambio. Figura 5. Código en lenguaje R que pretende, erróneamente, producir los divisores del núme- ro 100. Tras unos minutos, la mayoría de los alumnos consiguió darse cuenta de que la modificación requerida respecto del bucle anterior era ligeramente superior, siendo imprescindible invertir los papeles de i y n para plantear la condición n %% i == 0 , como puede verse en la Figura 6. Figura 6. Código en R para poder obtener correctamente todos los divisores positivos del número 100.
Álvaro Briz Redón • Ángel Serrano Aroca Este último código, que ahora sí es correcto, es un ejemplo de cómo la modi- ficación del código que resuelve un problema puede permitir la fácil resolución de otro de naturaleza similar, si bien es necesario ser cuidadoso y realizar todos los cambios necesarios. Sobre este mismo problema fue planteada la posibilidad de optimizar el proceso que se estaba implementando, reduciendo la cantidad de números intervinientes en el bucle. Por ser este asunto de mayor complejidad, se aconsejó a los alumnos que sustituyeran el valor de 100 ( en i in c(1:100)) por números inferiores, para ver en qué medida el resultado se veía afectado. Tras varios intentos, algunos ya comenzaron a intuir que a partir de cierto valor límite no se producían cambios en cuanto a los divisores encontrados, develándose final- mente que solo era necesario ejecutar el proceso repetitivo hasta i = n / 2 , es decir, hasta i = 50 para el caso del número 100. De esta forma, los estudiantes pudieron reforzar su conocimiento sobre los divisores de un número y apreciar la necesidad de reducir el coste de los programas siempre que sea posible. Por último, para tener completamente resuelto el problema de obtener los divisores de un número, se especificó la necesidad de considerar también los divisores negativos del número dado. Normalmente, cuando se piensa en los divisores de un número positivo, son excluidos los posibles candidatos inferiores a 0, pero para la resolución de ecuaciones polinómicas de coefi- cientes enteros es necesario que también sean considerados. Una fácil modificación del código que genera los divisores de 100, para que también se almacenen los divisores negativos, puede apreciarse en la Figura 7. Figura 7. Código en R para poder obtener todos los divisores, positivos y negativos, del número 100. Aunque esta forma fue la considerada por gran parte del alumnado, algunos estudiantes intentaron hacer lo que se muestra en la Figura 8.
Álvaro Briz Redón • Ángel Serrano Aroca Una vez resuelto completamente el problema de obtener todos los divisores de un número dado, para llegar al objetivo final de implementar la resolución de ecuaciones polinómicas solo quedaba diseñar otro bucle, el cual fue tratado durante la cuarta y última sesión. En primer lugar se debían obtener los divisores de su término indepen- diente mediante el código construido en la sesión anterior, partiendo de una ecuación polinómica cualquiera. Enseguida, un bucle debía recorrer el con- junto de divisores (previamente almacenados en una lista de números) para seleccionar aquellos que verificasen la ecuación. Por tanto, la condición a incluir en este nuevo bucle valoraba directamente si cada divisor era solu- ción, o no, de la ecuación planteada. Un primer intento consistió en escribir explícitamente la relación correspondiente a la ecuación dentro de la con- dición. Si, por ejemplo, en la ecuación polinómica de grado 5 con expresión algebraica x^5 - 35x^4 + 470x^3 - 3010x^2 + 9129x – 10395 = 0 , la condición que debía implementarse era x^5 – 35x^4 + 470x^3 – 3010x^2 + 9129x – 10395 == 0 , tomando x el valor de cada uno de los divisores del término independiente. Con la intención de refinar la evaluación de la condición de ser solución, se dedicaron unos minutos a repasar el concepto de función matemática y a explicar cómo pueden ser implementadas y utilizadas en el lenguaje R. De esta manera, si la función que representa a un polinomio vale 0 para cierto divisor, tal divisor es una solución de la ecuación polinómica. Con todo esto, las figuras 10 y 11 contienen los bloques de código que llevaron a cabo los estudiantes para obtener las soluciones de la ecuación de quinto grado previamente enunciada, tratando al polinomio como una función matemática, p(x) , cuya definición se realiza al inicio del código incluido en la Figura 11. Figura 10. Código en R para obtener los divisores del número 10395. No se muestran en la imagen los divisores que se obtienen por ser un total de 64.
Aprendizaje de las matemáticas a través del lenguaje de programación R en Educación Secundaria Figura 11. Resolución de la ecuación x^5 - 35x^4 + 470x^3 - 3010x^2 + 9129x – 10395 = 0 en lenguaje R. 3.2 encuestas Los resultados de los cuatro bloques dedicados a las sesiones de aplicación de la metodología se muestran en la Figura 12 y exceptuando los resultados para la variable dedicación a las sesiones , las otras tres variables implicadas de esta parte de la encuesta presentan valores medios claramente superiores al central de 3,5. Figura 12. Diagramas de cajas para las respuestas de los alumnos en las cuatro categorías con las preguntas sobre las sesiones impartidas. La puntuación media de dedicación a las sesiones muestra que el compromiso de trabajo que adquirieron los estudiantes fue más bien bajo. Ante la falta de
Aprendizaje de las matemáticas a través del lenguaje de programación R en Educación Secundaria ese aspecto, sin importar tanto su mayor o menor desempeño e interés por el lenguaje de programación R. Figura 13. Gráfica de correlaciones entre los 9 bloques de preguntas del encuesta. El intervalo [-1,1] se representa en escala de colores: el azul más intenso representa una mayor correlación positiva, y el rojo justo lo contrario. 3.2.2 Análisis por preguntas El análisis de las respuestas siguiendo los bloques/categorías determinados, tanto los del mtas como los propios del desarrollo de las sesiones, permite llegar a alguna conclusión sobre cómo transcurrieron las mismas y los efectos que pudieron producir en los alumnos. De este modo, se han analizado directamente las posibles relaciones entre todas y cada una de las 30 preguntas, en busca de un conocimiento más completo.
Álvaro Briz Redón • Ángel Serrano Aroca Figura 14. Correlaciones entre las preguntas, desde la P1 hasta la P30. Solo se colorean las casillas correspondientes a aquellas correlaciones con valor superior a 0,6, que son las más destacables. La Figura 14 muestra las correlaciones de mayor relevancia producidas dentro del conjunto de las 30 preguntas. En esta gráfica se distinguen algunas agru- paciones de preguntas consecutivas muy correlacionadas, por corresponderse con los propios bloques previamente definidos como los de confianza con la tecnología (P5-P8), confianza con las matemáticas (P9-P12) y uso de la tecno- logía para aprender matemáticas (P17-P20). La fuerte relación entre preguntas de un mismo bloque es esperable, pero no todos los bloques o categorías muestran el mismo comportamiento. De hecho, dentro del de confianza con la tecnología (P5-P8), altamente correlacionado internamente, las preguntas P6 y P8 tienen poco que ver entre sí, lo cual indica que el buen uso de los dispositivos digitales no siempre implica un buen manejo de los programas informáticos que se utilizan en las aulas, y viceversa.
