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La posición de una partícula que vibra, en función del tiempo, viene dada por la gráfica a), y la de
todas las partículas en función de la distancia en la gráfica b). ¿Cual es la ecuación de la onda y su
velocidad de propagación?.
t(s)
5
2 6 10
Y(cm)
5
1 3 5
Y(cm)
x(cm)
Y(x,t) = Ψ (x,t) =A cos[ (kx − ωt) + φ]^ A=5cm=0.05m
Si t=
Si x=
φ = π/
Y(x,t) =0.05 cos[ ( x t) + ] 0.04 8 2
π π π −
k=2 π / λ
T=8s
λ =4cm =0.04m
ω =2 π /T Fase inicial
y=
0.04 3 v = = 5 10 m / s T 8
λ (^) − = ⋅
La función de onda de una onda transversal en una cuerda tensa viene dada por la ecuación
y = 0.03 sen(2 t - 3x).
donde x e y se expresan en cm y t en segundos. Determinar:
a) Amplitud, período, longitud de onda y velocidad de propagación de la onda.
b) El desplazamiento respecto de la posición de equilibrio en x = 0.2, para t = 0.2 s y t = 0.4 s.
c) Las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración de oscilación de las partículas de la cuerda.
A=0.03cm
2 2 T s 3.1415s T 2 2 k 3 2.094m 3
π ω = = → = π =
π = = → λ = π = λ
Si t=0.2s
Si x=0.
dY(x,t) v= =0.03 cos[2t 3x] 2=0.06 cos[2t 3x] dt
− ⋅ −
Y(0.2,t) =0.03 sen[2t −0.6]
2 2 v m / s T 3 3
λ π = = = π
a)
b)
Y(0.2,0.2) =0.03 sen[0.4 −0.6]=-0.006 cm
Y(0.2,0.4) =0.03 sen[0.8 −0.6]=0.006 cm Si t=0.2s
Si x=0.
dv(x,t) a= =0.06 (-sen[2t 3x]) 2=-0.12sen[2t 3x] dt
− ⋅ −
c)
2 2 2 2 2
y(x, t) y(x, t) v t x
∂ ∂
∂ ∂
2 2 2
2 2 2
y(x, t) A exp(ik(x vt)) (-ikv)(-ikv) A exp(ik(x vt)) (-ikv) t
=A exp(ik(x vt)) (-i) (kv) A exp(ik(x vt)) (kv)
∂ = − = − = ∂
− = − −
2 2 2
2
y(x, t) A exp(ik(x vt)) (ik)(ik) A exp(ik(x vt)) (ik) x
= - A exp(ik(x vt)) (k)
∂ = − = − = ∂
−
2 2 2 (-i) = (-1) (i) = − 1
2 2 2 − A exp(ik(x − vt)) (kv) = v -A exp(ik(x −vt)) (k)
O
F
v v
f ' f
v v
En este caso la velocidad de las ondas v=c=3 10^8 m/s
v =c
Foco, v =0 F Observador, v =?o
v o
v ( v ) O f ' f v
− −
v vT f
λ = =
Lo real (emite el semáforo)=rojo
R
v f = λ
Lo aparente (recibe el conductor)=verde
v
v f ' = λ
R
O
v
v v v^ v
v
+ = (^) λ λ (^) R
O
v
1 1 v v
v
+ = (^) λ λ (^)
v^ (^ )
v
R
v O
v v vO
= v v
λ
λ
λ = =
v O v
R v^ v v
λ − λ
λ
=
( (^) v)
v
R −λ v
λ
(^6005)
600
c 7.5 10
75 /s
0 m
− = =
v v O f v
=
O F
O v F v
v
3 v =79km/h=79 10 m/3600s=21.9m/sF
v =35km/h=9.7m/s O
f =310Hz
O
F
v v f ' f
v v
O O
F F
v ( v ) v v f ' f f v ( v ) v v
O
F
v v 340 9. f ' f 310 284Hz v v 340 21.
v =720km/h=200m/sF
h=1000m
e=1000m
v =0 O
v
v =0O
v
θ
θ
v' F
O
F
v v f ' f
v v
− F
v f v ( v ' )
− − F
v 340 f 435 307.2Hz v v ' 340 141.
v =0F
v
α
v' O
O
F
v v ' f ' f v v
h'=200m
v =36Km/h=10m/s O
α
sen 200 2 tg = cos 300 3
α α = = α
α =33.7º
o
o
v' cos = v
α v'O = v cosO α =8.3m / s
e=v t=10 30=300m O
v O
v ( v ' ) O f v
v v 'O f v
435 424.3Hz 340
Un murciélago que vuela con velocidad de 5m/s, está persiguiendo un insecto. El murciélago emite un
chillido que el insecto percibe como una frecuencia de 40.2 kHz. El murciélago recibe de vuelta un eco
de 40.4 kHz, ¿Cuál es la velocidad del insecto? ¿Cuál es la frecuencia emitida por el murciélago? (La
velocidad del sonido en el aire es v=340 m/s.) (Febrero 2015)
El murcielago recibe de vuelta un ECO de f=40.4kHz
v =340m/s
Observador
Foco
v in sec to
v M =5m/s
O
F
v ( v ) f " f ' v ( v )
ECO de f"=40.4kHz
¿Que emite el foco?
M
in sec to
v v f " f ' v v
Lo que percibe al principio (^) f ' =40.2kHz
(^3 3) M
in sec to
v v 40.4 10 40.2 10 v v
Un murciélago que vuela con velocidad de 5m/s, está persiguiendo un insecto. El murciélago emite un
chillido que el insecto percibe como una frecuencia de 40.2 kHz. El murciélago recibe de vuelta un eco
de 40.4 kHz, ¿Cuál es la velocidad del insecto? ¿Cuál es la frecuencia emitida por el murciélago? (La
velocidad del sonido en el aire es v=340 m/s.) (Febrero 2015)
El murcielago recibe de vuelta un ECO de f=40.4kHz
v =340m/s
Observador
Foco
v in sec to
v M =5m/s
3 3
in sec to
340 v
1.005(340 + v in sec to ) = 345
in sec to
40.2 340 v
in sec to
v 340 3.3m / s
EJEMPLO: Dada la función Y = 5 cos (40πx – 0.2πt). Demostrar si dicha ecuación es una función
de onda. Calcular en este caso la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de
propagación de la onda.
2 2 2 2 2
(x, t) (x, t) v t x
∂ Ψ ∂ Ψ
∂ ∂
y(x, t)
t
∂
∂
y(x, t)
x
∂ = ∂ 2 2 2
y(x, t) 5cos(40 x 0.2 t)(40 ) x
∂ = − π − π π ∂
2
2
y(x, t)
t
∂
∂
2 2 2
( 0.2 ) v 40
− π
π
v 40
=
− 5sen(40 x π − 0.2 t)( 0.2 )π − π −5sen(40 x π − 0.2 t)(40 )π π
2 −5cos(40 x π − 0.2 t)( 0.2 )π − π
EJEMPLO: Dada la función Y = 5 cos (40πx – 0.2πt). Demostrar si dicha ecuación es una función
de onda. Calcular en este caso la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de
propagación de la onda.
Y = A cos(kx − ω + φt ) (^) A =5m
2 1 m 40 20
π λ = = π
0.1 3 v 5 10 m / s 20
− = = ⋅
2 k 40
π = = π λ
2
T
π ω = = π
2 1 T 10s 0.2 0.
π = = = π
1 f 0.1Hz T
= =
